Определение арифметической прогрессии

Последовательность чисел \({a_1},\;{a_2},{a_3}, \ldots\) называется арифметической прогрессией, если разность между двумя последовательными числами равна одному и тому же числу \(d\), это да:

\({a_{n + 1}} - {a_n} = d\)

Число \(d\) называется разностью арифметической прогрессии.

Элемент \({a_1}\) называется первым элементом арифметической последовательности.

Элементы арифметической прогрессии можно выразить через первый элемент и его разность, то есть:

\({a_1},{a_1} + d, {a_1} + 2d, {a_1} + 3d\)

Это первые четыре элемента арифметической прогрессии; В общем случае \(k – \)-й элемент выражается следующим образом:

\({a_k} = {a_1} + \left( {k – 1} \right) d\)

Из вышеприведенного выражения получаем:

\({a_k} – {a_l} = {a_1} + \left( {k – 1} \right) d – \left( {{a_1} + \left( {l – 1} \right) d} \right )\)

\({a_k} – {a_l} = \left( {k – l} \right) d\)

Приведенное выше выражение эквивалентно:

\({a_k} = {a_l} + \left( {k – l} \right) d\)

Примеры для арифметической прогрессии

1. Найдите разность арифметической прогрессии: \(3,8,13,18,\ldots\) и найдите элементы \({a_{20}},\;{a_{99}}\)

Решение

Поскольку \(5 = 8 - 3 = 13 - 8 = 18 - 3\), мы можем сделать вывод, что разница составляет:

\(д = 5\)

\({a_{20}} = {a_1} + \left( {20 – 1} \right) d = 3 + 19\left( 5 \right) = 98\)

\({a_{99}} = {a_1} + \left( {99 – 1} \right) d = 3 + 98\left( 5 \right) = 493\)

2. В арифметической прогрессии имеем: \({a_{17}} = 20\;\) и \({a_{29}} = – 130\), определите разность арифметической прогрессии и запишите первые 5 элементов.

Решение

Утомительный

\({a_k} – {a_l} = \left( {k – l} \right) d\)

\({a_{29}} – {a_{17}} = \left( {29 – 17} \right) d\)

\( – 130 – 20 = \влево( {12} \вправо) д\)

\(– 150 = \влево({12} \вправо) г\)

\(12д = – 150\)

\(d = – \frac{{150}}{{12}} = – \frac{{25}}{2}\)

Чтобы найти первые 5 элементов; мы вычислим \({a_1}\):

\({a_k} = {a_1} + \left( {k – 1} \right) d\)

\({a_{17}} = {a_1} + \left( {17 – 1} \right)\left( { – \frac{{25}}{2}} \right)\)

\(20 = {a_1} + \left( {16} \right)\left( { – \frac{{25}}{2}} \right)\)

\(20 = {а_1} – 200\)

\({a_1} = 20 + 200 = 220\)

Первые 5 элементов:

\(220,220 + \left( { – \frac{{25}}{2}} \right),220 + 2\left( { – \frac{{25}}{2}} \right),220 + 3 \left( { – \frac{{25}}{2}} \right),220 + 4\left( { – \frac{{25}}{2}} \right)\)

\(220,\frac{{415}}{2},195,\frac{{365}}{2},170\)

Многоугольные числа и сумма первых \(n\) элементов арифметической прогрессии

треугольные числа

Треугольные числа \({T_n}\;\) образуются из арифметической прогрессии: \(1,2,3,4 \ldots \); следующим образом.

\({Т_1} = 1\)

\({T_2} = 1 + 2 = 3\)

\({T_3} = 1 + 2 + 3 = 6\)

\({T_4} = 1 + 2 + 3 + 4 = 10\)

квадратные числа

Квадратные числа \({C_n}\;\) образуются из арифметической прогрессии: \(1,3,5,7 \ldots \); следующее

\({С_1} = 1\)

\({С_2} = 1 + 3 = 4\)

\({С_3} = 1 + 3 + 5 = 9\)

\(С {\;_4} = 1 + 3 + 5 + 7 = 16\)

пятиугольные числа

Квадратные числа \({P_n}\;\) образуются из арифметической прогрессии: \(1,3,5,7 \ldots \); следующее

\({P_1} = 1\)

\({P_2} = 1 + 4 = 5\)

\({P_3} = 1 + 4 + 7 = 12\)

\({P_4} = 1 + 4 + 7 + 10 = 22\)

Далее мы покажем формулу для нахождения суммы первых \(n\) элементов арифметической прогрессии.

Учитывая арифметическую прогрессию, \({a_1}, {a_2} = {a_1} + d, {a_3} + 2d, \ldots., {a_n} = {a_1} + \left( {n - 1} \right) д\). Для вычисления суммы \({S_n} = {a_1} + {a_2} + {a_3} + \ldots + {a_n};\) можно использовать формулу:

\({S_n} = \frac{{n\left( {{a_1} + {a_n}} \right)}}{2}\)

что эквивалентно

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{a_1} + \left( {n – 1} \right) d} \right)}}{2}\)

Применяя предыдущую формулу, получаются формулы для вычисления треугольных, квадратных и пятиугольных чисел; которые показаны в следующей таблице.

многоугольное число	\({а_1}\)	\(г\)	Формула
Треугольный \(n - \)th	1	1	\({T_n} = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\)
Квадрат \(n - \)th	1	2	\({C_n} = {n^2}\)
Пятиугольный \(n - \)th	1	3	\({P_n} = \frac{{n\left( {3n – 1} \right)}}{2}\)

Пример многоугольных чисел

3. Из примера 2 вычислить \({S_{33}}\).

Решение

В этом случае \({a_1} = 200\) и \(d = – \frac{{25}}{2}\)

применение

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{a_1} + \left( {n – 1} \right) d} \right)}}{2}\)

\({S_{33}} = \frac{{34\left( {2\left( {200} \right) + \left( {33 – 1} \right)\left( { – \frac{{25 }}{2}} \справа)} \справа)}}{2}\)

\({S_{33}} = 17\влево( {400 + 16\влево( { – 25} \вправо)} \вправо) = 17\влево( 0 \вправо) = 0\)

средние арифметические

Для двух чисел \(a\;\) и \(b,\) числа \({a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}}\) называются \(k\) означает арифметические числа \(a\;\) и \(b\); если последовательность \(a,{a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}},b\) является арифметической прогрессией.

Чтобы знать значения \(k\) средних арифметических чисел \(a\;\) и \(b\), достаточно знать разность арифметической прогрессии, для этого необходимо следующее обдуманный:

\(a = {a_1}, {a_2}, {a_3}, \ldots, {a_{k + 1}}, {a_{k + 2}} = b,\)

Из вышеизложенного устанавливаем соотношение:

\(b = a + \left( {k + 2 – 1} \right) d\)

Решая относительно \(d\), получаем:

\(d = \frac{{b - a}}{{k + 1}}\)

Примеры

4. Найдите 7 средних арифметических между числами от -5 до 25.

Решение

При подаче заявления

\(d = \frac{{b - a}}{{k + 1}}\)

с \(b = 25,\;a = – 5\) и \(k = 7\;\):

\(d = \frac{{25 – \left( { – 5} \right)}}{{7 + 1}} = \frac{{30}}{8} = \frac{{15}}{4 }\)

7 средних арифметических:

\( – \frac{5}{4},\;\frac{5}{2},\;\frac{{25}}{4},10,\frac{{55}}{4},\ гидроразрыв {{35}}{2}, \ гидроразрыв {{85}}{4}\)

9. Один человек внес 2000 долларов в качестве первоначального взноса на покупку холодильника, а остаток оплатил своей кредитной картой в течение 18 месяцев без процентов. Он должен платить 550 долларов в месяц, чтобы погасить долг, который он приобрел, чтобы заплатить за свой холодильник.

к. Какова стоимость холодильника?

б. Если бы вы заплатили остаток в течение 12 месяцев без процентов, сколько будет ежемесячный платеж?

Решение

к. В этом случае:

\({a_{19}} = 2000 + 18\влево({550} \вправо)\)

\({a_{19}} = 2000 + 9900 = 11900\)

б. Между числами 2000 и 11900 надо найти 11 средних арифметических, для которых:

\(d = \frac{{11900 – 2000}}{{12}} = 825\)

5. Для последовательности \(7,\;22,\;45,\;76,115,162\) найдите следующие 3 элемента и общее выражение элемента \(n\).

Решение

Рассматриваемая последовательность не является арифметической прогрессией, так как \(22 – 7 \ne 45 – 22\), но мы можем составить последовательность с различиями двух последовательных элементов, а в следующей таблице показаны Результаты:

Элементы последовательности \({b_n}\)	Последовательность \(\;{c_n} = {b_n} – {b_{n – 1}}\)	\(d = {c_{n + 1}} - {c_n}\)
\({b_1} = 7\)	\({c_1} = {b_1}\)
\({b_2} = 22\)	\({c_2} = {b_2} – {b_1} = 15\)	\({c_2} – {c_1} = 8\)
\({b_3} = 45\)	\({c_3} = {b_3} – {b_2} = \)23	\({c_3} – {c_2} = 8\)
\({b_4} = 76\)	\({c_4} = {b_4} – {b_3} = 31\)	\({c_4} – {c_3} = 8\)
\({b_5} = 115\)	\({c_5} = {b_5} – {b_4} = 39\)	\({c_5} – {c_4} = 8\)
\({b_6} = 162\)	\({c_6} = {b_6} – {b_5} = 47\)	\({c_6} – {c_5} = 8\)

Третий столбец приведенной выше таблицы говорит нам, что последовательность \(15,\;23,31,39,\;47, \ldots .\); — арифметическая прогрессия, разность которой равна \(d = 8\).

Далее мы запишем элементы последовательности \({b_n}\) в терминах последовательности \({c_n},\)

\({b_1} = {c_1}\)

\({b_2} = {c_1} + {c_2}\)

\({b_3} = {b_2} + {c_3} = {c_1} + {c_2} + {c_3}\)

\({b_4} = {b_3} + {c_4} = {c_1} + {c_2} + {c_3} + {c_4}\)

В целом у вас есть:

\({b_n} = {c_1} + {c_2} + {c_3} + \ldots + {c_n}\;\)

При подаче заявления

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{c_1} + \left( {n – 1} \right) d} \right)}}{2}\)

С \({c_1} = 7\) и \(d = 8,\) мы получаем:

\({b_n} = \frac{{n\left( {14 + \left( {n – 1} \right) 8} \right)}}{2}\)

\({b_n} = n\влево( {7 + 4\влево( {n – 1} \вправо)} \вправо)\)

\({b_n} = n\влево({4n + 3} \вправо)\)

Применяя предыдущую формулу: \({b_7} = 217,\;{b_8} = 280,\;{b_9} = 351\)