Как формулируется теорема Фалеса?

Согласно теореме Фалеса, при наличии нескольких параллельных прямых прямая \(Т\) называется трансверсальной к параллельным прямым, если она пересекает каждую из параллельных прямых.

На рисунке 1 прямые \({T_1}\) и \({T_2}\) пересекаются с параллельными прямыми \({L_1}\) и \({L_2}.\)

Теорема Фалеса (слабая версия)
Если несколько параллелей определяют конгруэнтные отрезки (одинаковую меру) в одной из двух своих трансверсалей, они также будут определять конгруэнтные отрезки в других трансверсалях.

На рисунке 2 черные линии параллельны, и вы должны:
\({A_1}{A_2} = {A_2}{A_3} = {A_3}{A_4}.\)
Мы можем гарантировать следующее:
\({B_1}{B_2} = {B_2}{B_3} = {B_3}{B_4}.\)

Говорят, что мудрый Фалес Милетский измерил высоту пирамиды Хеопса, для этого использовал тени и применение свойств подобия треугольников. Теорема Фалеса является фундаментальной для развития концепции подобия треугольников.

Соотношения и свойства пропорций

Одно отношение - это частное двух чисел с делителем, отличным от нуля; то есть:

\(\frac{a}{b}\;{\rm{с\;}}b \ne 0\)

Пропорция – это равенство двух отношений, то есть:

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k,\)

\(k\) также называется константой пропорциональности.

Свойства пропорций

Если \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k\), то для \(m \ne 0:\;\)

\(\frac{{ma}}{{mb}} = \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k\)

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{{a + c}}{{b + d}} = \frac{{a - c}}{{b - г}} = к\)

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{f}{g} = \frac{{a + c + f}}{{b + d + g}} = к\)

\(\frac{{a \pm b}}{b} = \frac{{c \pm d}}{d}\)

Примеры

\(\frac{9}{{24}} = \frac{{15}}{{40}} = \frac{{9 + 15}}{{24 + 40}} = \frac{{24}} {{64}}\)

\(\frac{9}{{24}} = \frac{{15}}{{40}} = \frac{{15 – 9}}{{40 – 24}} = \frac{6}{{ 16}}\)

\(\frac{{9 + 24}}{{24}} = \frac{{15 + 40}}{{40}}\)\(\frac{{33}}{{24}} = \frac {{55}}{{40}}\)

Говорят, что пара отрезков \(\overline {AB} \) и \(\overline {CD} \) пропорциональна отрезкам \(\overline {EF} \) и \(\overline {GH} \) если выполняется пропорция:

\(\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{{EF}}{{GH}}\)

Где \(AB\;\) обозначает длину отрезка \(\overline {AB} .\)

Теорема Фалеса

Возвращаясь к определению, несколько параллелей определяют пропорциональные соответствующие отрезки в своих поперечных линиях.

На рисунке 3 прямые параллельны, и мы можем гарантировать:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\ (\frac{{{A_2}{A_3}}}{{{A_3}{A_4}}} = \frac{{{B_2}{B_3}}}{{{B_3}{B_4}}}\)\( \frac{{{A_2}{A_4}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_2}{B_4}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_3}{A_4}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_3}{B_4}}}\)\(\frac{{{A_1}{A_3}}}{{{A_1}{A_2}}} = \frac{{{B_1}{B_3}}}{{{B_1}{B_2}}}\)

Заметим, что первые две предыдущие пропорции эквивалентны следующим пропорциям:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\ (\frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}}\)Из вышеперечисленного мы получаем:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac {{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3} + {A_3}{A_4}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3} + {B_3}{B_4}}} "=" \frac{{{A_1}{A_4}}}{{{B_1}{B_4}}}\)

Во многих случаях лучше работать с предыдущими пропорциями, и в этом случае:

\(\frac{{{A_i}{A_j}}}{{{B_i}{B_j}}} = k\)

Обратная теорема Фалеса

Если несколько прямых определяют пропорциональные соответствующие отрезки в своих поперечных прямых, то прямые параллельны.

Если на рисунке 4 выполняется

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}}\)

Тогда мы можем утверждать, что: \({L_1}\parallel {L_2}\parallel {L_3}.\)

Обозначение \({L_1}\parallel {L_2}\), читаемое как \({L_1}\), параллельно \({L_2}\).

Из предыдущей пропорции получаем:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac {{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_1}{A_3}}}{{{ Б_1}{Б_3}}}\)

Разделение отрезка на несколько частей одинаковой длины

На конкретном примере мы проиллюстрируем, как разделить отрезок на части одинаковой длины.

Разделите отрезок \(\overline {AB} \) на 7 отрезков одинаковой длины

Исходная ситуация

Проведите вспомогательную прямую, проходящую через один из концов отрезка

С помощью циркуля на вспомогательной линии проводят 7 отрезков одинаковой длины.

Нарисуйте линию, соединяющую концы последнего нарисованного сегмента и другой конец сегмента, который нужно разделить.

Их проводят параллельно последней только что проведенной линии, проходящей через точки пересечения дуг окружности со вспомогательной линией.

Для данного сегмента \(\overline {AB} \) говорят, что точка \(P\) сегмента делит сегмент \(\overline {AB} \) в отношении \(\frac{{AP} } {{ПБ}}.\)

Деление отрезка в заданном соотношении

Дан отрезок \(\overline {AB} \) и два положительных целых числа \(a, b\); точку \(P\), которая делит отрезок в отношении \(\frac{a}{b};\;\), можно найти следующим образом:

1. Разделите отрезок \(\overline {AB} \) на \(a + b\) отрезков одинаковой длины.
2. Возьмем \(a\) отрезков, считая от точки \(A\).

Примеры

Деление отрезка \(\overline {AB} \) в соотношении \(\frac{a}{b}\)

Причина	Количество частей, на которые делится сегмент	Расположение точки \(P\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{4}{3}\)	\(4 + 3 = 7\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = 6 = \frac{6}{1}\)	\(6 + 1 = 7\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{2}{3}\)	\(2 + 3 = 5\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{3}{2}\)	\(3 + 2 = 5\)

Прикладные примеры теоремы Фалеса

приложение 1: Три участка простираются от улицы Сол до улицы Луна, как показано на рисунке 5.

Боковые границы представляют собой отрезки, перпендикулярные улице Луна. Если общая площадь участков по улице Сола составляет 120 метров, определить площадь каждого участка по указанной улице, если она также известна:

\({A_1}{A_2} = 10{\rm{m}},\;{A_2}{A_3} = 40{\rm{m}},\;{A_3}{A_4} = 20{\rm{ m}},\;{A_4}{A_5} = 30{\rm{m}}.\)

Постановка задачи

Поскольку линии перпендикулярны улице Луна, то они параллельны друг другу, применяя теорему Фалеса, мы можем утверждать:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}},\; \;\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_1}{A_4}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_1}{B_4}}}\;,\;\;\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_1}{A_5}} } = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_1}{B_5}}}\)Из вышеперечисленного мы можем заключить:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_1}{A_4}}}{{{B_1}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_5}}}{{{B_1}{B_5}}}\;\)

Точно так же мы можем сделать вывод:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_4}{A_5}}}{{{B_4}{B_5}}}\)

Решение

Для определения константы пропорциональности \(k,\) воспользуемся свойствами пропорций:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_4}{A_5}}}{{{B_4}{B_5}}} = \frac{{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3} + {A_3}{A_4} + {A_4}{A_5}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3} + { B_3}{B_4} + {B_4}{B_5}}} = \frac{{{A_1}{A_5}}}{{{B_1}{B_5}}} = \frac{{100}}{{120}} = \frac{5}{6}\)

Из вышесказанного получаем:
\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{5}{6}\)\(\frac{{{B_1}{B_2}}}{ {{A_1}{A_2}}} = \frac{6}{5}\)\({B_1}{B_2} = \frac{6}{5}{A_1}{A_2} = \frac{6}{ 5}\влево({10}\вправо) = 12.\)

Аналогично:

\({B_2}{B_3} = \frac{6}{5}{A_2}{A_3} = \frac{6}{5}\left( {40} \right) = 48\)\({B_3} {B_4} = \frac{6}{5}{A_3}{A_4} = \frac{6}{5}\left( {20} \right) = 24\)\({B_4}{B_5} = \frac{6}{5}{A_4}{A_5} = \frac{6 }{5}\влево({30}\вправо) = 36\)

Отвечать

Сегмент	\({B_1}{B_2}\)	\({B_2}{B_3}\)	\({B_3}{B_4}\)	\({B_4}{B_5}\)
Длина	12м	48м	24м	36м

приложение 2: Графический дизайнер разработал полку в форме параллелограмма и разместит 3 полки, как показано на рисунке. На рис. 6 точки E и F являются серединами сторон \(\overline {AD} \) и \(\overline {BC} ,\) соответственно. Вы должны сделать разрезы в полках, чтобы иметь возможность делать сборки. В какой части полок делать разрезы?

Постановка задачи: В силу условий, которые приведены в задаче, выполняется следующее:

\(ED = EA = CF = BF\)

В качестве вспомогательных построений продолжим стороны \(\overline {CB} \) и \(\overline {DA} \). Через точку A проведена прямая через \(A\) параллельно стороне \(\overline {EB} \) и через точку \(C\;\) проведена прямая параллельно стороне \(\overline {ДФ} \).

Мы будем использовать обратную теорему Фалеса, чтобы показать, что отрезки \(\overline {EB} \) и \(\overline {DF} \) параллельны, чтобы применить теорему Фалеса.

Решение

По построению четырехугольник \(EAIB\) является параллелограммом, поэтому мы имеем, что EA=BI, поскольку они являются противоположными сторонами параллелограмма. Сейчас:

\(\frac{{DE}}{{EA}} = \frac{{BF}}{{BI}} = 1\)

Применяя обратную обратную теорему Фалеса, мы можем заключить:

\(\overline {AI} \parallel \overline {EB} \parallel \overline {DF} \parallel \overline {JC} \)

Принимая за их секущей отрезки \(\overline {AI} \parallel \overline {EB} \parallel \overline {DF} \parallel \overline {JC} \) и отрезки BC и CI; как:

\(FC = BF = BI\)\(CH = HG = GA\)

Принимая \(\overline {AD} \parallel \overline {BC} \) и отрезки \(\overline {AC} \) и \(\overline {EB} \) в качестве их секущей, будем иметь:

\(\frac{{EG}}{{GB}} = \frac{{AG}}{{GC}} = \frac{{AG}}{{CH + HG}} = \frac{{AG}} {{2\влево( {AG} \вправо)}} = \frac{1}{2}\)

Аналогично показано, что:

\(\frac{{DH}}{{HF}} = 2\)

Ответы

В точках \(G\;\) и \(H\) должны быть сделаны диагональные разрезы \(\overline {AC} \) так, чтобы:

\(\frac{{AG}}{{AC}} = \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{1}{3}\)

То же самое верно для полок \(\overline {EB} \) и \(\overline {DF} \).