Определение рационализации радикалов (математика)

Рационализация радикалов — это математический процесс, который осуществляется при наличии в знаменателе частного с радикалами или корнями. Таким образом можно упростить математические операции, в которых участвуют частные с радикалами и другими типами математических объектов.

Типы частных с радикалами

Важно упомянуть некоторые типы частных с радикалами, которые можно рационализировать. Однако, прежде чем полностью погрузиться в процесс оптимизации, необходимо запомнить несколько важных понятий. Во-первых, предположим, что у нас есть следующее выражение: \(\sqrt[m]{n}\). Это корень \(m\) числа \(n\), то есть результатом указанной операции является число, возведение которого в степень \(m\) дает нам число \(n\) в результате). Степень и корень являются обратными операциями, так что: \(\sqrt[m]{{{n^m}}} = n\).
С другой стороны, стоит упомянуть, что произведение двух равных корней равно корню произведения, то есть, что: \(\sqrt[m]{n}\sqrt[m]{p} = \sqrt[m]{{np}}\). Эти два свойства станут нашими лучшими союзниками при рационализации.

Самый распространенный и простой тип частного с радикалом, который мы можем найти, следующий:

\(\frac{a}{{b\sqrt c}}\)

Где \(a\), \(b\) и \(c\) могут быть любыми действительными числами. Процесс рационализации в этом случае состоит в том, чтобы найти способ получить в частном выражение \(\sqrt {{c^2}} = c\), чтобы избавиться от радикала. В этом случае достаточно умножить на \(\sqrt c\) и числитель, и знаменатель:

\(\ frac{a}{{b\sqrt c}} = \frac{a}{{b\sqrt c}}\frac{{\sqrt c}}{{\sqrt c}} = \frac{{ а\sqrt c }}{{b\sqrt c \sqrt c }}\)

Вспоминая вышесказанное, мы знаем, что \(\sqrt c \sqrt c = \sqrt {{c^2}} = c\). Таким образом, окончательно получаем, что:
\(\frac{a}{{b\sqrt c}} = \frac{a}{{bc}}\sqrt c \)

Таким образом, мы рационализировали предыдущее выражение. Это выражение есть не что иное, как частный случай общего выражения, которое имеет следующий вид:

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}}}\)

Где \(a\), \(b\), \(c\) — любые действительные числа, а \(n\), \(m\) — положительные степени. Рационализация этого выражения основана на том же принципе, что и предыдущее, то есть получить выражение \(\sqrt[n]{{{c^n}}} = c\) в знаменателе. Мы можем добиться этого, умножив на \(\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}\) как числитель, так и знаменатель:

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}} = \frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}} } \ frac {{\ sqrt [n] {{{c ^ {n - m}}}}}}{{\sqrt[n]{{{c^{n - m}}}}}} = \frac{{a\sqrt[n]{{{c^{n - m}}}}}}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}}\)

Мы можем развить произведение радикалов в знаменателе следующим образом: \(\sqrt[n]{{{c^m}}}\sqrt[n]{{{c^{n - m}}}} = \sqrt[n]{{{c^m}{c^ {n – m}}}} = \sqrt[n]{{{c^{m + \left( {n – m} \right)}}}} = \sqrt[n]{{{c^n}}} = c\). Следовательно, рационализированное частное остается следующим:

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}} = \frac{a}{{bc}}\sqrt[n]{{{c^{n - м}}}}\)

Другой тип частного с радикалами, который можно рационализировать, — это тот, в котором мы имеем двучлен с квадратными корнями в знаменателе:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e}}\)

Где \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) и \(e\;\) - любые действительные числа. Символ \( ± \) указывает, что знак может быть положительным или отрицательным. Двучлен в знаменателе может иметь оба корня или только один, однако мы используем этот случай для получения более общего результата. Центральная идея осуществления процесса рационализации в этом случае та же, что и в предыдущих случаях, только в этом случае мы будем умножать и числитель, и знаменатель на сопряженное бинома, найденного в знаменатель. Сопряженным двучленом называется двучлен, имеющий те же члены, но центральный символ которого противоположен исходному двучлену. Например, сопряжение бинома \(ux + vy\) есть \(ux - vy\). При этом мы имеем:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e}} = \frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e}}\frac{{b\sqrt c \ mp d\sqrt e }}{{b\sqrt c \mp d\sqrt e }} = \frac{{a\left( {b\sqrt c \mp d\sqrt e} \right)}}{{\left( {b\sqrt c \pm d\sqrt e} \right)\left( {b \sqrt c \mp d\sqrt e } \right)}}\)

Символ \( \mp \) указывает на то, что знак может быть положительным или отрицательным, но он должен быть противоположен символу знаменателя для сопряжения биномов. Развивая умножение двучленов знаменателя, мы получаем, что:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{{a\left( {b\sqrt c \mp d\sqrt e } \right)}}{{{ b^2}\sqrt {{c^2}} + bd\sqrt {ce} – bd\sqrt {ce} – {d^2}\sqrt {{e^2}} }}\)

Наконец мы получаем это:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{a}{{{b^2}c - {d^2}e}}\left( {b\ sqrt c \mp d\sqrt e } \right)\)

С этим мы рационализировали частное с радикалом. Эти частные с радикалами обычно можно рационализировать. Далее мы увидим несколько примеров рационализации радикалов.

Примеры

Рассмотрим несколько примеров рационализации с помощью частных с радикалами упомянутого выше типа. Сначала предположим, что у нас есть следующее частное:

\(\frac{3}{{7\sqrt 2 }}\)

В этом случае достаточно умножить числитель и знаменатель на \(\sqrt 2 \)

\(\ frac {3} {{7 \ sqrt 2 }} = \ frac {3} {{7 \ sqrt 2 }} \ frac {{\ sqrt 2 }} {{\ sqrt 2 }} = \ frac {3 }{{7\sqrt 2 \sqrt 2 }}\sqrt 2 = \frac{3}{{7\sqrt 4 }}\sqrt 2 = \frac{3}{{14}}\sqrt 2 \)

Теперь предположим, что у нас есть следующее частное с радикалом:

\(\frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}}}\)

В этом случае у нас есть корень шестой степени из кубической степени. В предыдущем разделе мы упоминали, что если у нас есть радикал вида \(\sqrt[n]{{{c^m}}}\) в знаменателя, мы можем рационализировать частное, умножив числитель и знаменатель на \(\sqrt[n]{{{c^{n –м}}}}\). Сравнивая это со случаем, представленным здесь, мы можем понять, что \(n = 6\), \(c = 4\) и \(m = 3\), поэтому Следовательно, мы можем рационализировать предыдущее частное, умножив числитель и знаменатель на \(\sqrt[6]{{{4^3}}}\):

\(\frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}}} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}} }\frac{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}}{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}\sqrt[6]{{{4^3}}}}}\sqrt[6]{{{4^3} }} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^6}}}}}\sqrt[6]{{{4^3}}} = \ гидроразрыва {{\ sqrt [6] {{{4 ^ 3}}}}} {6} \)

Наконец, предположим, что у нас есть следующая функция:

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }}\)

Как показано в предыдущем разделе, чтобы рационализировать этот тип частного с радикалами, вы должны умножить числитель и знаменатель на сопряженное со знаменателем. В этом случае сопряжение знаменателя будет \(x – \sqrt x \). Поэтому выражение будет таким:

\(\frac{1}{{x + \sqrt x}}\frac{{x - \sqrt x}}{{x - \sqrt x}} = \frac{1}{{\left( {x + \sqrt x } \right)\left( {x – \sqrt x } \right)}}\left( {x – \sqrt x } \right)\)

Развивая умножение сопряженных двучленов знаменателя, окончательно получаем, что:

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }} = \frac{{x – \sqrt x }}{{{x^2} – x}}\)

Рекомендации

Агилар Артуро, Браво Фабиан, Гальегос Херман, Серон Мигель и Рейес Рикардо. (2009). Арифметика. Мексика: образование Пирсона.