Определение принципа/уравнения Бернулли

Принцип Бернулли, часто также называемый уравнением Бернулли, является одним из наиболее важных понятий в гидродинамике и гидромеханике. Она была сформулирована швейцарским физиком и математиком Даниэлем Бернулли в 1738 году как часть его работы "гидродинамика” и часть сохранения энергии в движущейся идеальной жидкости.

Представим следующую ситуацию: У нас есть шланг, по которому течет вода, которая выходит из шланга с определенной скоростью и определенным давлением. Затем приступаем к частичному закрытию пальцем выходного отверстия шланга; делая это, мы видим, как вода теперь выходит с большей скоростью. Это пример действия принципа Бернулли.

Идеальные жидкости в движении

Принцип Бернулли применим к движущимся идеальным жидкостям, поэтому, прежде чем перейти к объяснению этого принципа, важно упомянуть, что мы подразумеваем под идеальной жидкостью. Идеальная жидкость — это упрощение реальной жидкости, это сделано потому, что описание жидкости Ideal математически проще и дает нам полезные результаты, которые впоследствии можно распространить на случай жидкости. настоящий.

Есть четыре предположения, которые делают жидкость идеальной, и все они связаны с потоком:

• Устойчивый поток. Устойчивый поток — это поток, при котором скорость, с которой движется жидкость, одинакова в любой точке пространства. Другими словами, мы предполагаем, что жидкость не испытывает турбулентности.

• Несжимаемость: Также предполагается, что идеальная жидкость несжимаема, то есть имеет постоянную плотность в любое время.

• Невязкость: Вязкость – это свойство жидкостей, которое, в общих чертах, представляет собой сопротивление, которое жидкость оказывает движению. Вязкость можно рассматривать как аналог механического трения.

• Безвихревой поток: с этим предположением мы имеем в виду тот факт, что движущаяся жидкость не совершает никакого кругового движения вокруг какой-либо точки своего пути.

Делая эти предположения и имея идеальную жидкость, мы значительно упрощаем математическую обработку и мы также обеспечиваем сохранение энергии, что является отправной точкой к принципу Бернулли.

Объяснение уравнения Бернулли

Рассмотрим идеальную жидкость, движущуюся по трубе, как показано на следующем рисунке:

Теперь мы воспользуемся теоремой о работе и кинетической энергии, которая является еще одним способом выражения закона сохранения энергии. Она говорит нам, что:

\(W = {\rm{\Delta}}K\)

Где \(W\) - полная механическая работа, а \({\rm{\Delta}}K\) - изменение кинетической энергии между двумя точками. В этой системе мы имеем два типа механической работы: одна совершается под действием силы тяжести, действующей на жидкость, а другая — под действием давления жидкости. Пусть \({W_g}\) будет механической работой, совершаемой силой тяжести, а \({W_p}\) будет механической работой, совершаемой давлением, тогда мы можем сказать, что:

\({W_g} + {W_p} = {\rm{\Delta}}K\)

Поскольку гравитация является консервативной силой, механическая работа, совершаемая ею, будет равна разнице гравитационной потенциальной энергии между двумя точками. Начальная высота, на которой находится жидкость, равна \({y_1}\), а конечная высота равна \({y_2}\), поэтому мы имеем:

\({W_g} = - {\rm{\Delta}} мг{\rm{\Delta}}y = - {\rm{\Delta}}мг\влево( {{y_2} - {y_1}} \вправо )\)

Где \({\rm{\Delta}}m\) – это часть массы жидкости, проходящая через определенную точку, а \(g\) – ускорение свободного падения. Поскольку идеальная жидкость несжимаема, то \({\rm{\Delta}}m = \rho {\rm{\Delta}}V\). Где \ (\ rho \) - плотность жидкости, а \ ({\ rm {\ Delta}} V \) - часть объема, протекающая через точку. Подставляя это в приведенное выше уравнение, мы получаем:

\({W_g} = - \rho g{\rm{\Delta}}V\left( {{y_2} - {y_1}} \right)\)

Рассмотрим теперь механическую работу, совершаемую давлением жидкости. Давление — это сила, действующая на единицу площади, то есть \(F = PA\). С другой стороны, механическая работа определяется как \(W = F{\rm{\Delta}}x\), где \(F\) - приложенная сила, а \({\rm{\Delta}}x\) — смещение, осуществляемое в этом случае по оси абсцисс. В этом контексте мы можем думать о \({\rm{\Delta}}x\) как о длине части жидкости, протекающей через определенную точку. Объединив оба уравнения, мы получим \(W = PA{\rm{\Delta}}x\). Мы можем понять, что \(A{\rm{\Delta}}x = {\rm{\Delta}}V\), то есть это часть объема, протекающая через эту точку. Следовательно, мы имеем, что \(W = P{\rm{\Delta}}V\).

В начальный момент над системой совершается механическая работа, равная \({P_1}{\rm{\Delta }}V\) и в конечной точке система совершает над окружением механическую работу, равную \({P_2}{\rm{\Delta }}В\). Тогда механическая работа, вызванная давлением жидкости, будет равна работе, совершаемой над системой, за вычетом работы, которую она совершает над своим окружением, то есть:

\({W_p} = {P_1}{\rm{\Delta}}V - {P_2}{\rm{\Delta}}V = \left( {{P_1} - {P_2}} \right){\rm {\ Дельта}} V \)

Наконец, разница в кинетической энергии \({\rm{\Delta}}K\) будет равна кинетической энергии в конечной точке минус кинетическая энергия в начальной точке. То есть:

\({\rm{\Delta}}K = \frac{1}{2}{\rm{\Delta}}mv_2^2 - \frac{1}{2}{\rm{\Delta}}mv_1^ 2 = \frac{1}{2}{\rm{\Delta}}m\left( {v_2^2 – v_1^2} \right)\)

Из вышеизложенного мы знаем, что \({\rm{\Delta}}m = \rho {\rm{\Delta}}V\). Вышеупомянутое уравнение тогда выглядит так:

\({\rm{\Delta}}K = \frac{1}{2}\rho {\rm{\Delta}}V\left({v_2^2 - v_1^2} \right)\)

Подставляя все полученные результаты в уравнение сохранения энергии, получаем, что:

\(\left( {{P_1} – {P_2}} \right){\rm{\Delta}}V – \rho {\rm{\Delta}}V\left( {{y_2} – {y_1}} \right) = \frac{1}{2}\rho {\rm{\Delta}}V\left( {v_2^2 - v_1^2} \right)\)

Мы можем факторизовать член \({\rm{\Delta}}V\) в обеих частях уравнения, это приводит к:

\({P_1} – {P_2} – \rho g\left( {{y_2} – {y_1}} \right) = \frac{1}{2}\rho \left( {v_2^2 – v_1^2 } \верно)\)

Разрабатывая недостающие продукты, мы должны:

\({P_1} – {P_2} – \rho g{y_2} + \rho g{y_1} = \frac{1}{2}\rho v_2^2 – \frac{1}{2}\rho v_1^ 2\)

Переставляя все члены в обеих частях уравнения, получаем, что:

\({P_1} + \rho g{y_1} + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = {P_2} + \rho g{y_2} + \frac{1}{2}\rho v_2^ 2\)

Это уравнение представляет собой отношение между начальным состоянием и конечным состоянием нашей системы. Наконец, мы можем сказать, что:

\(P + \rho gy + \frac{1}{2}\rho {v^2} = константа\)

Это последнее уравнение является уравнением Бернулли, из которого выведен его принцип. Принцип Бернулли — это закон сохранения движущейся идеальной жидкости.

Рекомендации

Дэвид Холлидей, Роберт Резник и Джерл Уокер. (2011). Основы физики. США: John Wiley & Sons, Inc.