Definícia neeuklidovskej geometrie

V podstate neeuklidovské geometrie sú tie, ktoré vznikajú spochybňovaním tzv Euklidov 5. postulát, preto je nevyhnutná všeobecná charakteristika diela Euklida, ktorý bol gréckym matematikom a geometrom, ktorého dielo je paradigmatické pre Geometria, považovať za jedného z jej zakladateľov. Je to známe s istotou bezpečnosť ktorý žil v meste Alexandria, kultúrnom ohnisku staroveku, okolo roku 300 pred Kristom. c.

Jeho práca Prvky začína sériou „zásad“, ktoré tvoria zoznam 23 definícií; nasleduje 5 postulátov, odkazujúcich na postavy konkrétne geometrické; a 5 všeobecných axióm, spoločných pre ostatné matematické disciplíny. Ďalej, po princípoch, Euclid predstavuje „propozície“ dvoch typov: problémy, na ktoré sa odkazuje

budova figúr s pravidlom a kompasom; a vety, odkazujúce na demonštráciu vlastností, ktoré niekt geometrické obrazce.

Euklidov piaty postulát

Uvádza, že „Ak priamka, ktorá padá na dve ďalšie priamky, spôsobí, že vnútorné uhly tej istej strany sú menšie ako dve priamky, potom, ak sú dve čiary predĺžené na neurčito, stretnú sa na strane, na ktorej sú uhly menšie ako dva rovno”. Ak by boli uhly správne, potom by takéto čiary podľa definície č. 23 boli rovnobežné ("Rovnobežné čiary sú čiary, ktoré, ak sú v rovnakej rovine a sú predĺžené na neurčito, sa nestretávajú v žiadnom smere.”).

Tento postulát, zložitejší ako predchádzajúce, nebol sám o sebe nespochybniteľný: nebolo evidentné, že predlžovanie priamky na neurčito, pretínali by sa na strane, kde uhly boli menšie ako dva pravé uhly, keďže by sa to nedalo dokázať budova. Potom zostala otvorená možnosť, že sa čiary k sebe donekonečna približovali bez toho, aby sa niekedy pretínali.

Pokusy dokázať piaty postulát

To je dôvod, prečo od antiky až do polovice 19. storočia existovala séria neúspešných pokusov dokázať piaty postulát: dôkaz bol vždy dosiahnutý; ale zavádza nejaký ďalší dodatočný postulát (logicky ekvivalentný piatemu), odlišný od postulátov Euklida. To znamená, že piaty postulát nebolo možné dokázať, ale bol nahradený ekvivalentným.

Príkladom toho je postulát Johna Playfair (s. XVIII): “Jeden bod rovnobežný s touto priamkou prechádza bodom mimo priamky, ktorá je v rovnakej rovine." (známy ako "paralelný postulát”). Neeuklidovské geometrie vznikajú práve z neúspešných pokusov dokázať piaty postulát euklidovského systému.

Saccheriho test absurdity

V roku 1733 sa taliansky matematik Girolamo Saccheri pokúsil dokázať nezmyselnosť Euklidovho piateho postulátu. Na tento účel postavil štvoruholník (známy ako „Saccheriho štvoruholník“, v ktorom jeden pár uhlov je pravý uhol) a uviedol, že piaty postulát je ekvivalentný tvrdeniu, že charakteristické uhly (tie oproti páru pravých uhlov) tohto štvoruholníka sú tiež pravé uhly. potom sú tri hypotéza možné, vzájomne sa vylučujúce: že dva charakteristické uhly sú pravé, ostré alebo tupé. Aby sa dokázal piaty postulát absurditou, bolo potrebné dokázať (bez toho, aby sme sa uchýlili k piatemu predpokladal), že hypotézy tupého a ostrého uhla implikovali rozpor, a preto boli falošné.

Saccherimu sa podarilo dokázať, že hypotéza tupého uhla je rozporuplná, no v prípade ostrého uhla sa mu to nepodarilo. Naopak, odvodil sériu teorémov konzistentných a nezlučiteľných s euklidovskou geometriou. Nakoniec dospel k záveru, že vzhľadom na zvláštnosť týchto teorémov musí byť hypotéza nepravdivá. Následne veril, že piaty postulát dokázal ako absurdný; čo však urobil, bolo neúmyselne dokázať dôležitý súbor viet neeuklidovskej geometrie.

„Simultánny“ objav neeuklidovských geometrií

Carl F. Gauss v devätnástom storočí ako prvý tušil, že piaty postulát nemožno dokázať z ostatných štyroch (to znamená, že bol nezávisle) a pri koncipovaní možnosti neeuklidovskej geometrie, ktorá bola založená na štyroch euklidovských postulátoch a na negácii piaty. Svoj objav nikdy nezverejnil: považuje sa to za prípad simultánny objav, pretože mal troch nezávislých referentov (sám Gauss, János Bolyai a Nikolaj Lobačevskij).

Popretie k piaty zákona of Euclidean implikuje dve možnosti (preberá ekvivalentnú formuláciu Playfair): cez bod mimo priamky, buď žiadne paralelné prechody, alebo viac ako jeden paralelný prechod. Medzi neeuklidovskými geometriami nájdeme napr.imaginárny“ od Lobačevského, neskôr známeho ako „hyperbolický"- podľa, "Daný vonkajší bod k priamke, nekonečné pretínajúce sa priamky, nekonečné nepretínajúce sa priamky a iba dve rovnobežné priamky prechádzajú týmto bodom.“, na rozdiel od jedinečnej euklidovskej paralely; alebo eliptická geometria Bernharda Riemanna, ktorá hovorí, že „Bodom mimo čiary neprechádza žiadna rovnobežka s touto čiarou.”.

Aplikácie a dôsledky objavu

V súčasnosti je známe, že v lokálnom priestore dávajú obe geometrie približné výsledky. Rozdiely sa objavia, keď je fyzický priestor opísaný jednou alebo druhou geometriou, berúc do úvahy veľké vzdialenosti. Aj keď naďalej používame euklidovskú geometriu, keďže je to tá, ktorá najjednoduchšie popisuje náš priestor v lokálnom meradle, objav neeuklidovských geometrií bola rozhodujúca, nakoľko znamenala radikálnu premenu chápania právd vedecký.

Dovtedy sa predpokladalo, že euklidovská geometria skutočne opisuje priestor. Pri dokazovaní možnosti opísať to inou geometriou, inými postulátmi, bolo potrebné premyslieť kritériá, podľa ktorých bolo možné predpokladať jedno alebo druhé vysvetlenie, ako napr.pravda”.

Bibliografia

MARTINEZ LORCA, A. (1980) „Etika Sokrata a jej vplyv na myslel si Occidental“, v Revista Baética: Estudios de Arte, Geografia a história, 3, 317-334. Univerzita v Malage.

Témy neeuklidovskej geometrie