Čo sú Maxwellove rovnice a ako sú definované?

Angel Zamora Ramirez | júl 2022
Titul z fyziky

Pred týmito rovnicami sa hovorilo, že elektrické a magnetické sily sú „sily na diaľku“, neboli známe žiadne fyzikálne prostriedky, pomocou ktorých by k tomuto typu interakcie došlo. Po mnohých rokoch výskumu na elektriny Y magnetizmusMichael Faraday tušil, že v priestore medzi nábojmi a elektrickými prúdmi by muselo byť niečo fyzické, čo by im umožnilo vzájomne pôsobiť a prejavovať všetky elektrické a magnetické javy, ktoré boli známe, ich najskôr označoval ako „siločiary“, čo viedlo k myšlienke existencie elektromagnetického poľa.

Na základe Faradayovej myšlienky James Clerk Maxwell rozvíja teóriu poľa reprezentovanú štyrmi parciálnymi diferenciálnymi rovnicami. Maxwell to nazval „elektromagnetickou teóriou“ a ako prvý začlenil tento typ matematického jazyka do fyzikálnej teórie. Maxwellove rovnice v ich diferenciálnej forme pre vákuum (to znamená v neprítomnosti dielektrických a/alebo polarizovateľných materiálov) sú nasledovné:

\(\nabla \cdot \vec{E}=\frac{\rho }{{{\epsilon }_{0}}}\)
\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\čiastočné \vec{B}}{\čiastočné t}\)
\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)
\(\nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}\vec{J}+{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac {\čiastočné \vec{E}}{\čiastočné t}\)
Maxwellove rovnice pre vákuum v jeho diferenciálnom tvare

Kde \(\vec{E}~\)je elektrické pole, \(\vec{B}~\)je magnetické pole, \(\rho ~\)je hustota nabíjačka, \(\vec{J}~~\)je vektor spojený s a elektrický prúd, \({{\epsilon }_{0}}~\)je elektrická permitivita vákua a \({{\mu }_{0}}~~\)je magnetická permeabilita vákua. Každá z týchto rovníc zodpovedá a zákona elektromagnetizmu a má význam. Nižšie stručne vysvetlím každú z nich.

Gaussov zákon

\(\nabla \cdot \vec{E}=\frac{\rho }{{{\epsilon }_{0}}}\)
Gaussov zákon pre elektrické pole

Táto prvá rovnica nám hovorí, že elektrické náboje sú zdrojmi elektrického poľa, toto elektrické pole sa „odkláňa“ priamo od nábojov. Okrem toho je smer elektrického poľa diktovaný znakom elektrického náboja, ktorý ho vytvára, a ako blízko sú siločiary, indikuje veľkosť samotného poľa. Nižšie uvedený obrázok trochu zhŕňa to, čo bolo práve spomenuté.

Ilustrácia 1. Zo Studiowork.- Diagram elektrických polí generovaných dvoma bodovými nábojmi, jedným pozitívnym a jedným negatívnym.

Tento zákon vďačí za svoj názov matematikovi Johannovi Carlovi Friedrichovi Gaussovi, ktorý ho sformuloval na základe svojej vety o divergencii.

Gaussov zákon pre magnetické pole

\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)

Gaussov zákon pre magnetické pole

Tento zákon nemá konkrétny názov, ale nazýva sa tak kvôli jeho podobnosti s predchádzajúcou rovnicou. Význam tohto výrazu je, že neexistuje žiadny „magnetický náboj“ podobný „elektrickému náboju“, to znamená, že neexistujú žiadne magnetické monopóly, ktoré sú zdrojom magnetického poľa. To je dôvod, prečo ak rozlomíme magnet na polovicu, stále budeme mať dva podobné magnety, oba so severným pólom a južným pólom.

Faradayov zákon

\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\čiastočné \vec{B}}{\čiastočné t}\)
Faradayov indukčný zákon

Toto je slávny indukčný zákon, ktorý sformuloval Faraday, keď v roku 1831 zistil, že meniace sa magnetické polia sú schopné indukovať elektrické prúdy. Táto rovnica znamená, že magnetické pole, ktoré sa mení s časom, je schopné indukovať okolo neho vzniká elektrické pole, ktoré zase môže spôsobiť pohyb elektrických nábojov a vytvoriť a Prúd. Aj keď to na prvý pohľad môže znieť veľmi abstraktne, za fungovaním motorov, elektrických gitár a indukčných varných dosiek stojí Faradayov zákon.

Zákon Ampère-Maxwell

\(\nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}\vec{J}+{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac {\čiastočné \vec{E}}{\čiastočné t}\)

Prvá vec, ktorú nám táto rovnica hovorí, je, že elektrické prúdy vytvárajú magnetické polia okolo smeru prúdu a to veľkosť generovaného magnetického poľa závisí od veľkosti tohto, to bolo to, čo pozoroval Oersted a čo neskôr Ampère dokázal formulovať. Za touto rovnicou je však niečo kuriózne, a to druhý člen na strane zákona rovnice zaviedol Maxwell, pretože tento výraz bol pôvodne nekonzistentný s ostatnými to najmä viedlo k porušeniu zákona o zachovaní elektrického náboja. Aby sa tomu vyhol, Maxwell jednoducho zaviedol tento druhý výraz, aby celá jeho teória bola konzistentná, tento výraz dostal názov „výtlačný prúd“ a v tom čase neexistovali žiadne experimentálne dôkazy, ktoré by to podporovali. bude zálohovať

Ilustrácia 2. De Rumruay.- Elektrický prúd pretekajúci cez kábel vytvára okolo neho magnetické pole podľa Ampérovho zákona.

Význam posuvného prúdu je rovnaký ako v prípade magnetického poľa premenná indukuje elektrické pole, elektrické pole, ktoré sa mení s časom, je schopné generovať pole magnetické. Prvým experimentálnym potvrdením posunového prúdu bolo preukázanie existencie elektromagnetické vlny od Heinricha Hertza v roku 1887, viac ako 20 rokov po zverejnení teórie Maxwell. Prvé priame meranie posuvného prúdu však vykonal M. R. Van Cauwenberghe v roku 1929.

svetlo je elektromagnetické vlnenie

Jednou z prvých ohromujúcich predpovedí vytvorených Maxwellovými rovnicami je existencia elektromagnetické vlny, ale nielen to, odhalili aj to, že svetlo muselo byť vlnou tohto Typ. Aby sme to trochu videli, pohráme sa s Maxwellovými rovnicami, ale predtým tu je forma akejkoľvek vlnovej rovnice:

\({{\nabla }^{2}}u=\frac{1}{{{v}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial {{ t}^{2}}}\)
Všeobecný tvar vlnovej rovnice v troch rozmeroch.

Kde \({{\nabla }^{2}}\) je Laplaciovský operátor, \(u\) je vlnová funkcia a \(v\) je rýchlosť vlny. S Maxwellovými rovnicami budeme pracovať aj v prázdnom priestore, teda pri absencii elektrických nábojov a elektrických prúdov iba elektrické a magnetické polia:

\(\nabla \cdot \vec{E}=0\)

\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\čiastočné \vec{B}}{\čiastočné t}\)

\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)

\(\nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\)

A použijeme aj nasledujúce identity vektorový počet:

\(\nabla \times \left( \nabla \times \vec{A} \right)=\nabla \left( \nabla \cdot \vec{A} \right)-{{\nabla }^{2}} \time{A}\)

Ak použijeme túto identitu na elektrické a magnetické polia pomocou Maxwellových rovníc pre prázdny priestor vyššie, dostaneme nasledujúce výsledky:

\({{\nabla }^{2}}\vec{E}={{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac{{{\partial }^{2} }\vec{E}}{\čiastočné {{t}^{2}}}\)

\({{\nabla }^{2}}\vec{B}={{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac{{{\partial }^{2} }\vec{B}}{\čiastočné {{t}^{2}}}\)

Všimnite si podobnosť týchto rovníc s vlnovou rovnicou vyššie, v záver, elektrické a magnetické polia sa môžu správať ako vlny (elektromagnetické vlny). Ak definujeme rýchlosť týchto vĺn ako \(c\) a porovnáme tieto rovnice s vlnovou rovnicou vyššie, môžeme povedať, že rýchlosť je:

\(c=\frac{1}{\sqrt{{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}}}\)

\({{\mu }_{0}}\) a \({{\epsilon }_{0}}\) sú magnetická permeabilita a elektrická permitivita vákua a obe sú konštanty univerzálie, ktorých hodnoty sú \({{\mu }_{0}}=4\pi \times {{10}^{-7}}~~T\cdot m/A\) a \({{\ epsilon } 0}}=8,8542\krát {{10}^{-12}}~{{C}^{2}}/N\cdot m~\), nahradením týchto hodnôt dostaneme, že hodnota \(c\) je \(c=299 792 458\frac{m}{s}\približne 300 000~km/s\), čo je presne rýchlosť svetlo.

Touto malou analýzou môžeme získať tri veľmi dôležité závery:

1) Elektrické a magnetické polia sa môžu správať ako vlny, to znamená, že existujú elektromagnetické vlny, ktoré sa môžu šíriť aj vo vákuu.

2) Svetlo je elektromagnetické vlnenie, ktorého rýchlosť závisí od magnetickej permeability a permitivity prostredia, ktorým sa šíri, má svetlo v prázdnom priestore rýchlosť približne 300 000 km/s.

3) Keďže magnetická permeabilita a elektrická permitivita sú univerzálne konštanty, potom rýchlosť svetla je tiež univerzálna konštanta, ale to tiež znamená, že jej hodnota nezávisí z rámec od ktorej sa meria.

Toto posledné tvrdenie bolo vo svojej dobe značne kontroverzné.Ako je možné, že rýchlosť o svetlo je rovnaké bez ohľadu na pohyb osoby, ktorá ho meria, a pohyb svetelného zdroja. svetlo? Rýchlosť niečoho musí byť relatívna, však? No, toto bol prelom pre fyziku tej doby a tento jednoduchý, ale hlboký fakt viedol k rozvoju Teórie špeciálnej relativity Albertom Einsteinom v roku 1905.