Čo je Diracova rovnica a ako je definovaná?

Paul Adrien Maurice Dirac (1902-1984) navrhol koncom roku 1928 jednu z rovníc s najväčším významom a dôsledky vo fyzike súčasnej doby, a to preto, že zjednocuje princípy kvantovej mechaniky s princípmi relativity.

Cenová ponuka (APA)

Evelyn Maitee Marin | Aug. 2022
Priemyselný inžinier, MSc z fyziky a EdD

Táto rovnica môže byť vyjadrená niekoľkými spôsobmi, pričom najkompaktnejšie a najjednoduchšie je to, čo sa považuje za jednu z najestetickejších rovníc vo vede:

\(\left( {i\nabla - \frac{{mc}}{h}} \right) = 0\)

Kde:
i: pomyselná jednotka
m: pokojová hmotnosť elektrónu
• Planckova redukovaná konštanta
c: rýchlosť svetla
: sčítací operátor parciálnych derivácií
: matematická vlnová funkcia elektrónu

Absolútna hodnota druhej mocniny vlnovej funkcie predstavuje pravdepodobnosť nájsť časticu v určitej polohe vzhľadom na jej Energia, rýchlosť, okrem iných parametrov, ako aj jeho evolúcie načas. Inými slovami, rovnica Paula Diraca využíva matice pôsobiace na vektory a predstavuje vývoj Schrödingerovej rovnice v relativistickej kvantovej fyzike.

Diracova rovnica sa pôvodne používala na opis správania elektrónu bez interakcie, hoci jej použiteľnosť siaha až do popis subatomárnych častíc, keď sa pohybujú rýchlosťou blízkou rýchlosti svetla. Diracovi sa podarilo vysvetliť v subatomárnom meradle duálne správanie vlny a častice, ktoré už bolo v tom čase známe, pretože zvažoval vlastnosti častíc, ako je moment hybnosti vnútorný alebo točiť.

Ďalším z významných prínosov Diracovej rovnice je predpoveď antihmoty, ktorej existenciu neskôr (v roku 1932) preukázal Carl D. Anderson pomocou oblačnej komory, pomocou ktorej identifikoval pozitrón. Tiež to do značnej miery vysvetľuje jemnú štruktúru identifikovanú v atómových spektrálnych čiarach.

Obrázok ukazuje slávnu fotografiu urobenú počas konferencie „Fotóny a elektróny“ v roku 1927, kde sú vyobrazení niektorí z najvýznamnejších vedcov v histórii. V nebeskom obvode je Paul Dirac.

Pozadie rovnice Dirac

Aby sme porozumeli úvahám, ktoré vzal Dirac pri vývoji svojej rovnice, ako aj základoch, na ktorých bol založený jeho prístup, je dôležité poznať predchádzajúce teórie Model.

Po prvé, existuje slávna Schrödingerova rovnica kvantovej mechaniky, publikovaná v roku 1925, ktorá prevádza veličiny na kvantové operátory. Táto rovnica používa vlnovú funkciu (), pričom východiskovým bodom je klasická rovnica energie E = p2/2m a zahŕňa pravidlá kvantovania pre hybnosť (p) aj energiu (A):

\(ih\frac{\partial }{{\partial t}}\left( {r, t} \right) = \left[ {\frac{{{h^2}}}{{2m}}{\ nabla ^2} + V\left( {r, t} \right)} \right]\left( {r, t} \right)\)

Parciálna derivácia /t vyjadruje vývoj systému vzhľadom na čas. Prvý výraz v hranatej zátvorke sa vzťahuje na Kinetická energia (\({\nabla ^2} = \frac{\partial }{{\partial r}}\left( {r, t} \right)\)), pričom druhý výraz sa týka potenciálna energia.

Poznámka: V Einsteinovej teórii relativity musia premenné priestoru a času vstupovať rovnako do rovnice, čo nie je prípad Schrödingerovej rovnice, v ktorej sa čas javí ako derivácia a poloha ako druhá derivácia.

Teraz, po stáročia, sa vedci pokúšali nájsť model fyziky, ktorý by zjednotil rôzne teórie a v prípade Schrödingerova rovnica berie do úvahy hmotnosť (m) a náboj elektrónu, ale nezohľadňuje relativistické efekty, ktoré sa prejavujú pri vysokých rýchlosti. Z tohto dôvodu vedci Oskar Klein a Walter Gordon v roku 1926 navrhli rovnicu, ktorá zohľadňuje princípy relativity:

\({\left( {ih\frac{\partial }{{\partial t}}} \right)^2} = \left[ {{m^2}{c^4} + c{\left( { - ih\bar \nabla } \right)}^2}} \right]\)

Problém s Klein-Gordonovou rovnicou je, že je založená na Einsteinovej, v ktorej je energia na druhú, takže táto (Klein-Gordon) rovnica obsahuje druhú mocninu vzhľadom na čas, čo znamená, že má dve riešenia, čo umožňuje záporné hodnoty času, čo nedáva zmysel fyzické. Rovnako má nevýhodu pri generovaní hodnôt pravdepodobnosti menších ako nula ako riešení.

V snahe vyriešiť nezrovnalosti vyplývajúce zo záporných riešení určitých veľkostí, ktoré nepodporujú tieto výsledky, začal Paul Dirac od Klein-Gordonovej rovnice k linearizoval a v tomto postupe zaviedol dva parametre vo forme matíc dimenzie 4, známych ako Diracove alebo tiež Pauliho matice, a ktoré sú reprezentáciou algebry točiť. Tieto parametre sú označené ako  a ` (v energetickej rovnici sú reprezentované ako E = pc + mc2):

Tým, čo je rovnosť je splnená, podmienkou je, že ´2 = m2c4

Vo všeobecnosti kvantizačné pravidlá vedú k operáciám s derivátmi, ktoré sa vzťahujú na skalárne vlnové funkcie, avšak parametre α a β sú matice 4x4, diferenciálne operátory zasahujú do štvorrozmerného vektora (), známeho ako spinor.

Diracova rovnica rieši problém negatívnej energie prezentovaný Klein-Gordonovou rovnicou, ale stále sa objavuje riešenie negatívnej energie; to znamená častice s vlastnosťami podobnými vlastnostiam iného roztoku, ale s opačným nábojom, Dirac to nazval antičastice. Ďalej, s Diracovou rovnicou sa ukazuje, že spin je výsledkom aplikácie relativistických vlastností na kvantový svet.