Čo je Hierarchia operácií?

Hierarchia operácií je matematická konvencia, ktorá stanovuje poradie, v ktorom by sa mali vykonávať kombinované výpočtové akcie ten istý matematický výrok, teda keď existuje matematický výrok, kde sú matematické operácie (sčítanie, odčítanie, násobenie, delenie, mocniny a odmocniny) v kombinácii, tieto musia byť vykonané v špecifickom poradí, aby sa dospelo k výsledku bežné.

Ale prečo je potrebná hierarchia? Aby sme na ňu mohli odpovedať, musíme najprv dobre pochopiť podstatu matematických operácií, ktoré pozostávajú z transformácie, ktorá sa aplikuje na prvky množiny. Predstavme si napríklad množinu reálnych čísel, teda tie čísla, ktoré všetci poznáme. Ak vezmeme číslo a a pripočítame k nemu ďalšie číslo b, dostaneme ďalšie číslo c, ktoré patrí do tej istej množiny reálnych čísel, teda:

a+b = c

Okrem toho poradie, v ktorom sú dodatky prezentované, neovplyvňuje konečný výsledok, to znamená a+b = b+a, táto vlastnosť sa nazýva komutatívnosť. Je dôležité hovoriť o sčítaní, pretože je to základná operácia, od ktorej sú odvodené všetky ostatné. Násobenie nie je nič iné ako séria opakovaných sčítaní. Ak máme opäť číslo a a vynásobíme ho číslom b, robíme niekedy sčítanie čísla b so sebou samým, prípadne sčítanie b krát čísla a so sebou samým. To je tak, keďže násobenie je komutatívne ako sčítanie, znamená to, že:

a⋅b = b⋅a. Vyššie uvedené možno vyjadriť takto:

Môžeme si to jednoducho predstaviť na príklade. Urobme násobenie 5×2:

5×2 = 2×5 = 2+2+2+2+2 = 5+5 = 10

Čo ak teraz musíme vykonať operáciu, pri ktorej sme spojili sčítanie s násobením? Napríklad: a⋅b+c. V akom poradí je potrebné vykonať sčítanie a násobenie? Ktorej operácii musíme dať prednosť? Ak najprv vykonáme násobenie a vyvinieme ho ako súčet, mali by sme:

Ak by sme najprv vykonali sčítanie a potom násobenie, dostali by sme:

Keďže sčítanie je komutatívne, môžeme preskupiť pravú stranu rovnice, aby sme dostali:

Pri porovnaní výsledkov získaných v oboch situáciách je ľahké si uvedomiť, že:

Dospeli sme k záveru, že poradie, v ktorom sa rozhodlo o vykonaní operácií, ovplyvňuje získaný výsledok. To isté sa stane, keď zapojíme sily. Keď zvýšime číslo b na mocninu c, robíme to, že vynásobíme c krát číslo b so sebou samým, to znamená:

Teraz pristúpime k vykonaniu nasledujúcej kombinovanej operácie zahŕňajúcej násobenie a mocninu a⋅b^c v inom poradí ako v predchádzajúcom prípade. Ak najprv uprednostníme moc, máme:

Teraz, ak najprv vykonáme násobenie a potom mocninu, mali by sme:

Využitím komutatívnosti násobenia môžeme pravú stranu rovnice preskupiť ako:

Opäť môžeme porovnať výsledky získané vykonaním operácií v inom poradí, aby sme si uvedomili, že:

Aj v tomto prípade poradie, v ktorom sa operácie vykonávajú, ovplyvňuje získaný výsledok. Takže, aké je poradie, v ktorom sa musia operácie vykonávať? Hierarchia operácií stanovuje, že mocniny sú na vyššej hierarchickej úrovni ako násobenia, a to takým spôsobom, že mocniny majú v matematickom vyjadrení prednosť. Násobenia majú zase vyššiu úroveň hierarchie ako sčítanie.

Ale čo odčítanie, delenie a korene? Odčítanie je opačná operácia sčítania, keď od čísla a odčítame číslo b, dostaneme ďalšie číslo c také, že c+b=a. Niečo podobné sa deje pri delení a odčítaní. Ak vydelíme číslo a číslom b a dostaneme číslo c, našli sme číslo také, že b⋅c=a. A nakoniec výpočtom koreňa b čísla a nájdeme číslo c také, že c^b=a. Tieto ekvivalencie kladú odčítanie, delenie a odmocninu na rovnakú úroveň hierarchie ako sčítanie, násobenie a mocnina.

Postupy pre zátvorky a zátvorky

Čo sa teraz stane, ak chceme dať prioritu niektorým operáciám v matematickom príkaze bez ohľadu na úroveň ich hierarchie? Na tento účel sa používajú zátvorky a hranaté zátvorky. Predpokladajme, že máme vyhlásenie princípu a⋅b+c. S tým, čo sme už povedali, už vieme, že najprv musíme vykonať násobenie a potom sčítanie. Ale čo keby sme chceli, aby to tak nebolo? Aby sme to urobili, museli by sme použiť zátvorky alebo hranaté zátvorky na oddelenie sčítania od násobenia a tým dať prednosť výpočtu sčítania ako prvého, teda: a⋅(b+c). To spôsobí, že príkazy oddelené zátvorkami a hranatými zátvorkami majú najvyššiu prioritu pred všetkými ostatnými operáciami.

Pri všetkom uvedenom vyššie je hierarchia operácií alebo poradie, v ktorom sa musia vykonať, nasledovné:

1) Zátvorky a zátvorky
2) Mocniny a odmocniny
3) Násobenie a delenie
4) Sčítanie a odčítanie

Referencie

h. Behnke, F. Bachman, K. Fladt, W. Suss, H. Gerike, F. Hohenberg, G. Picert, H. Rau & S. h. Gould. (1983). Základy matematiky: I. diel. Cambridge, Massachusetts a Londýn: The MIT Press.