Definícia kvadratickej funkcie

Kvadratická funkcia reálnej premennej, ktorej tvar je vyjadrený.

\(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\)

Kde premenná je \(x\), \(a, b\) a c sú reálne konštanty, nazývané koeficienty kvadratickej funkcie s \(a \ne 0.\)

Tabuľka uvádza všeobecné príklady kvadratických funkcií a situácie, ktoré môžu modelovať, aby neskôr ilustrovala ich priamu aplikáciu zo skutočných problémov.

Kvadratická funkcia	Situáciu, ktorú môžete modelovať
\(f\left( x \right) = {x^2}\)	Premenná \(y\) je plocha štvorca, ktorého strana meria \(x\).
\(f\left( x \right) = \pi {x^2}\)	Premenná \(y\) je oblasť kruhu, ktorého polomer je \(x\).
\(f\left( x \right) = 100 – 4,9{x^2}\)	Premenná \(y\) je výška objektu, ktorý bol spadnutý vo výške 100 a \(x\) je uplynutý čas.
\(f\left( x \right) = 60\left( {{\bf{sin}}45^\circ } \right) x – 4,9{x^2}\)	Premenná \(y\) je výška delovej gule hodenej pod uhlom 45° rýchlosťou 60 m/s a \(x\) je uplynutý čas.

Všeobecný vzorec a kvadratická funkcia

Ak pre \(x = \alpha \) je kvadratická funkcia nula, potom číslo je \(\alpha \) nazýva sa koreň kvadratickej funkcie, áno, \(\alpha \) je riešením kvadratickej rovnice

\(a{x^2} + bx + c = 0\)

Všeobecný vzorec na riešenie kvadratických rovníc máme, že korene kvadratickej funkcie sú:

\(\alpha = \frac{{ – b + \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}},\;\;\beta = \frac{{ – b – \sqrt {{b ^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

Z vyššie uvedeného vyplýva nasledujúci vzťah medzi koreňmi a koeficientmi kvadratickej funkcie:

\(\alpha + \beta = – \frac{b}{a},\;\;\alpha \beta = \frac{c}{a}\)

Prostredníctvom významných produktov sa vytvára nasledujúca identita:

\(a{x^2} + bx + c = a\left( {x – \alpha } \right)\left( {x – \beta } \right)\)

Podobným spôsobom ako vo všeobecnom vzorci sa stanovuje, že kvadratická funkcia môže byť vyjadrená vo forme:

\(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k\)

S \(h = – \frac{b}{{2a}}\) a \(k = – \frac{{{b^2} – 4ac}}{a}\)

Riešením rovnice:

\(a{\left( {x – h} \right)^2} + k = 0\)

Je získané:

\(\left| {x – h} \right| = \sqrt { – \frac{k}{a}} \)

\(x = h \pm \sqrt { – \frac{k}{a}} \)

Z uvedeného možno usúdiť, že \(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k\), len ak konštanty \(k\) a \(a\) sú z opačné znamienka, táto kvadratická funkcia má reálne korene, ktoré sú: \(h + \sqrt { – \frac{k}{a}} ,\;\;h – \sqrt { – \frac{k}{a} } \).

Ak majú konštanty \(k\) a \(a\) rovnaké znamienko, potom kvadratická funkcia nemá žiadne skutočné korene.

Keď \(k = 0,\;\;\) kvadratická funkcia má iba jeden koreň.

Príklady aplikované na skutočný život

Príklad aplikácie 1: Ekonomika

Škola chce zorganizovať futbalový turnaj, kde každý tím hrá s každým iným tímom iba raz. Existuje rozpočet 15 600 USD na náklady na arbitráž, ak sú náklady na arbitráž 200 USD na hru. Koľko tímov sa môže prihlásiť do turnaja?

Vyhlásenie problému: Musíme nájsť funkciu, ktorá vypočíta počet zhôd, keď máme \(n\) tímy, aby sme ich spočítali, budeme predpokladať, že tím 1 hrá prvý so všetkými ostatnými, to znamená \(n – 1\) zápasy. Tím 2 by teraz hral so všetkými ostatnými, to znamená s \(n – 2\), keďže už hral s tímom 1. Tím 3 už bude hrať s tímami 1 a 2, takže bude musieť hrať s n-3 tímami.

Na základe vyššie uvedených úvah sa dostávame k:

\(f\left( n \right) = n – 1 + n – 2 + \ldots + 2 + 1\)

\(f\left( n \right) = \frac{{n\left( {n – 1} \right)}}{2}\)

Nákladová funkcia je:

\(C\left( n \right) = 200f\left( n \right) = 100n\left( {n – 1} \right)\)

S rozpočtom 15 600 USD máme rovnicu:

\(100n\vľavo( {n – 1} \vpravo) = 15600\)

riešenie rovnice

\(100n\left( {n – 1} \right) = 15600\) Počiatočná situácia
\(n\left( {n – 1} \right) = 156\) Vydeľte každú stranu rovnice 100
\({n^2} – n – 156 = \) Pridajte \( – 156\) na každú stranu rovnice
\(\left( {n – 13} \right)\left( {n + 12} \right) = 0\) Máme \(\left( { – 13} \right)\left( {12} \right ) = – 156\) a \( – 13 + 12 = – 1\)
Bolo to zohľadnené.
Riešenia rovnice \(n = – 12,\;13\)
Odpoveď: Rozpočet je dostatočný na registráciu 13 tímov.

Príklad aplikácie 2: Ekonomika

Jedna metropolitná dopravná autobusová spoločnosť zistila, že za osem hodín denne každý z jej autobusov prepraví v priemere tisíc cestujúcich. Aby ste mohli svojim pracovníkom zvýšiť plat, budete musieť zvýšiť cestovné, ktoré je v súčasnosti 5 USD; Ekonóm vypočítal, že na každé peso, o ktoré sa zvýši cestovné, stratí každý kamión v priemere 40 cestujúcich denne. Spoločnosť vypočítala, že na pokrytie zvýšenia platu musí každý deň získať dodatočných 760 USD na kamión O koľko sa musí zvýšiť cestovné?

Vyjadrenie problému: Nech \(x\) je množstvo pesos, o ktoré lístok stúpne, pre ktoré \(5 + x\) je nová cena lístka. Pri rovnakom zvýšení prepraví každý kamión v priemere \(1000 – 40x\) cestujúcich za deň.

Nakoniec, príjem na nákladné auto je:

\(I\vľavo( x \vpravo) = \vľavo( {5 + x} \vpravo)\vľavo( {1000 – 40x} \vpravo) = – 40\vľavo( {x + 5} \vpravo)\vľavo( {x – 25} \vpravo)\)

Na pokrytie zvýšenia platu musí každý autobus zbierať: \(1000\vľavo( 5 \vpravo) + 760 = 5760\)

Nakoniec máme rovnicu:

\( – 40\left( {x + 5} \right)\left( {x – 25} \right) = 5760\)

riešenie rovnice
\( – 40\left( {x + 5} \right)\left( {x – 25} \right) = 5760\) Počiatočná situácia
\(\left( {x + 5} \right)\left( {x – 25} \right) = – 144\) Vydeľte \( – 40\) každú stranu rovnice
\({n^2} – 20n – 125 = – 144\) Bol vyvinutý pozoruhodný produkt
\({n^2} – 20n + 19 = 0\) 144 bolo pridaných ku každému
\(\left( {n – 19} \right)\left( {n – 1} \right) = 0\) Máme \(\left( { – 19} \right)\left( { – 1} \ vpravo) = 19\) a \( – 19 – 1 = – 20\)
faktorizované
Riešenia rovnice \(n = 1,19\)
Odpoveď: Cena lístka môže vzrásť o $ 1 alebo $ 19 pesos.

Príklad aplikácie 3: Ekonomika

Predajňa chleba predáva v priemere 1200 rožkov týždenne za 6 dolárov za kus. Jedného dňa sa rozhodol zvýšiť cenu na 9 dolárov za kus; teraz sa jej predaj znížil: týždenne predá v priemere len 750 roliek. Aká by mala byť cena každej žemle, aby bol výnos outletu čo najvyšší? Predpokladajme, že existuje lineárny vzťah medzi dopytom a cenou.

Vyhlásenie problému: Za predpokladu, že existuje lineárny vzťah medzi dopytom D a cenou \(x,\).

\(D = mx + b\)

Keď \(x = 6;D = 1200;\;\), čo generuje rovnicu:

\(1200 = 6m + b\)

Keď \(x = 9;D = 750;\;\) lo a dostaneme rovnicu:

\(750 = 9 m + b\)

Pri riešení systému rovníc je vzťah medzi dopytom a cenou:

\(D = – 150x + 2100 = – 150\vľavo( {x – 14} \vpravo)\)

Príjem sa rovná

\(I\vľavo( x \vpravo) = Dx = – 150x\vľavo( {x – 14} \vpravo)\)

Riešenie

Graf príjmu v parabole, ktorá sa otvára smerom nadol a jeho maximálna hodnota je dosiahnutá na vrchole ktoré možno nájsť spriemerovaním koreňov kvadratickej funkcie, ktorá modeluje príjem. Korene sú \(\alpha = 0,\;\;\beta = 14\).

\(h = \frac{0 + 14}}{2} = 7\)

\(I\vľavo( h \vpravo) = – 150\vľavo( 7 \vpravo)\vľavo( {7 – 14} \vpravo) = 7350\)

Odpoveď

Maximálny príjem je 7 350 USD a dosahuje sa s cenou 7 USD; predaj v priemere 1050 kotúčov týždenne.

Príklad aplikácie 4: Ekonomika

Náklady na výrobu \(n\) stoličiek za jeden deň možno vypočítať pomocou kvadratickej funkcie:

\(C\left( n \right) = {n^2} – 200n + 13000\)

Stanovte si minimálne náklady, ktoré je možné dosiahnuť.

Vyhlásenie o probléme

Graf \(C\left( n \right)\) je parabola, ktorá sa otvára smerom nahor a dosiahne svoj minimálny bod v \(h = – \frac{b}{{2a}} = – \frac{{\ vľavo( { – 200} \vpravo)}}{{2\vľavo( 1 \vpravo)}} = 100\)

\(C\left( {100} \right) = {\left( {100} \right)^2} – 200\left( {100} \right) + 13000 = 3000\)

Odpoveď

Najnižšie možné náklady sa rovnajú 3000 USD a dosahujú sa výrobou 100 stoličiek.

Príklad aplikácie 5: Geometria

Kosoštvorec má plochu 21 cm2; Ak je súčet dĺžok jeho uhlopriečok 17 cm, aká je dĺžka každej uhlopriečky kosoštvorca?

Vyhlásenie problému: Plocha kosoštvorca sa vypočíta takto:

\(A = \frac{{Dd}}{2}\)

S \(D\) a \(d\) dĺžkami jeho uhlopriečok je tiež známy:

\(D + d = 7\)

\(D = 17 – d\)

Nahradením získate:

\(A = \frac{{\left( {17 – d} \right) d}}{2}\)

Nakoniec dostaneme rovnicu

\(\frac{{\left( {17 – d} \right) d}}{2} = 21\)

Riešenie
\(\frac{{\left( {17 – d} \right) d}}{2} = 21\) Počiatočná situácia
\(\left( {17 – d} \right) d = 42\) Vynásobte \( – 40\) každú stranu rovnice
\({d^2} – 17d + 42 = 0\) Produkt bol vyvinutý.
\(\left( {d – 14} \right)\left( {d – 3} \right) = 0\) Máme \(\left( { – 14} \right)\left( { – 3} \ vpravo) = 42\) a \( – 14 – 3 = – 17\)
faktorizované
Riešenia rovnice \(d = 3,14\)
odpoveď:

Uhlopriečky kosoštvorca merajú 14 cm a 3 cm.

Príklad aplikácie 6: Geometria

Je žiaduce postaviť obdĺžnikový kurník s rozlohou 140 m2 s využitím pomerne dlhého plotu, ktorý bude tvoriť dno kurníka. Ostatné tri strany budú postavené s 34 lineárnymi metrami drôteného pletiva, koľko by mala byť dĺžka a šírka kurníka, aby sa využilo celkové pletivo?

Aká je maximálna plocha, ktorú možno za rovnakých podmienok oplotiť rovnakým pletivom?

Problém: Podľa diagramu sa plocha rovná:

\(A\vľavo( x \vpravo) = x\vľavo( {34 – 2x} \vpravo) = 2x\vľavo( {17 – x} \vpravo)\)

Kde \(x\) je dĺžka strany kolmej na plot.

Ak chcete poznať rozmery obdĺžnika tak, aby mal plochu 140 m2, stačí vyriešiť rovnicu

\(2x\vľavo( {17 – x} \vpravo) = 140\)

Keďže graf \(A\left( x \right)\) je parabola, ktorá sa otvára smerom nadol na výpočet maximálnej hodnoty plochy, stačí vypočítať vrchol paraboly.

Odpovede
Miery obdĺžnika o výmere 140 m2
Dĺžka strany kolmej na plot

\(x\) Dĺžka strany rovnobežnej s plotom

\(34 – 2x\)
10 14
7 20

Prvá súradnica vrcholu je \(h = \frac{17}}{2}\) a

\(A\vľavo( h \vpravo) = \frac{{289}}{2}\)

Plocha je maximálna, keď kolmá strana meria \(\frac{{17}}{2}\;\)m a rovnobežná strana meria 17m, meria 17m, hodnota maximálnej dosiahnutej plochy je \(\frac{ {289}} {2}\)m2.

Graf kvadratickej funkcie

Z geometrického hľadiska sú korene body, kde graf funkcie pretína os \(x\).

Z výrazu

\(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k,\)

Stanovíme všeobecný tvar grafu kvadratickej funkcie.

Prvý prípad \(a > 0\) a \(k > 0\)

\(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k\)

\(X\)	\(f\vľavo( x \vpravo)\)
\(h – 1\)	\(a + k\)
\(h – 2\)	\(4a + k\)
\(h – 3\)	\(9a + k\)
\(h – 4\)	\(16a + k\)
\(h\)	\(k\)
\(h + 1\)	\(a + k\)
\(h + 2\)	\(4a + k\)
\(h + 3\)	\(9a + k\)
\(h + 4\)	\(16a + k\)

V tomto prípade graf vyhovuje:

Symetrický: S osou symetrie \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) To je \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \vpravo)\)

Je nad osou \(x\) a nepretína ju. To znamená, že \(f\left( x \right) > 0\) nemá žiadne skutočné korene.

Najnižší bod na grafe je v bode \(\vľavo( {h, k} \vpravo)\). To je \(f\left( x \right) \ge f\left( h \right) = k\)

Druhý prípad \(a < 0\) a \(k < 0\)

\(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k\)

\(X\)	\(f\vľavo( x \vpravo)\)
\(h – 1\)	\(a + k\)
\(h – 2\)	\(4a + k\)
\(h – 3\)	\(9a + k\)
\(h – 4\)	\(16a + k\)
\(h\)	\(k\)
\(h + 1\)	\(4a + k\)
\(h + 2\)	\(9a + k\)
\(h + 3\)	\(4a + k\)
\(h + 4\)	\(16a + k\)

V tomto prípade graf vyhovuje:

Symetrický: S osou symetrie \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) To je \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \vpravo)\)

Je pod osou \(x\) a nepretína ju. To znamená, že \(f\left( x \right) < 0\) nemá žiadne skutočné korene. Najvyšší bod na grafe je v bode \(\vľavo( {h, k} \vpravo)\). To je \(f\left( x \right) \le f\left( h \right) = k\) Tretí prípad \(a > 0\) a \(k \le 0\).

Tento prípad je podobný ako v prvom prípade, rozdiel je v tom, že teraz máme jeden skutočný koreň (keď \(k = 0\) ) alebo dva skutočné korene.

V tomto prípade graf vyhovuje:

Symetrický: S osou symetrie \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) To je \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \vpravo)\)

Pretína os \(x\), to znamená, že má aspoň jeden skutočný koreň.

Najnižší bod na grafe je v bode \(\vľavo( {h, k} \vpravo)\). To je \(f\left( x \right) \ge f\left( h \right) = k\)

Štvrtý prípad \(a < 0\) a \(k \ge 0\). Tento prípad je podobný druhému prípadu, rozdiel je v tom, že teraz máme jeden skutočný koreň (keď \(k = 0\) ) alebo dva skutočné korene. V tomto prípade graf vyhovuje:

Symetrický: S osou symetrie \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) To je \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \vpravo)\)

Najnižší bod na grafe je v bode \(\vľavo( {h, k} \vpravo)\). To je \(f\left( x \right) \le f\left( h \right) = k\)

Graf kvadratickej funkcie sa nazýva parabola a jej prvky na zvýraznenie sú os symetrie, body, kde sa pretína na os \(x\) a vrchol, čo je bod na grafe funkcie, kde dosiahne svoj najnižší alebo najvyšší bod v závislosti od prípad.

Na základe vykonanej analýzy môžeme konštatovať:

Parabola spojená s kvadratickou funkciou \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) má svoj vrchol na \(\left( {h, k} \right)\), kde :

\(h = – \frac{b}{{2a}},\;\;k = f\left( h \right)\)

príklady

Kvadratická funkcia \(y = {x^2}\)	dôležité prvky
Vrchol paraboly	\(\left( {0,0} \right)\)
Os symetrie paraboly	\(x = 0\)
Pretína sa s osou \(x\).	\(\left( {0,0} \right)\)

Kvadratická funkcia \(y = – \frac{1}{2}{\left( {x – 2} \right)^2}\)	dôležité prvky
Vrchol paraboly	\(\left( {2,0} \right)\)
Os symetrie paraboly	\(x = 2\)
Pretína sa s osou \(x\).	\(\left( {2,0} \right)\)

Kvadratická funkcia \(y = {\left( {x + 2} \right)^2} – 4\)	dôležité prvky
Vrchol paraboly	\(\left( { – 2, – 4} \right)\)
Os symetrie paraboly	\(x = – 2\)
Pretína sa s osou \(x\).	\(\left( { – 4,0} \right);\left( {0,0} \right)\)

Kvadratická funkcia \(y = – \frac{1}{2}{\left( {x – 9} \right)^2} + 8\)	dôležité prvky
Vrchol paraboly	\(\left( {9,8} \right)\)
Os symetrie paraboly	\(x = 9\)
Pretína sa s osou \(x\).	\(\left( {5,0} \right);\left( {13,0} \right)\)

Kvadratická funkcia \(y = {x^2} + 1\)	dôležité prvky
Vrchol paraboly	\(\left( {0,1} \right)\)
Os symetrie paraboly	\(x = 0\)
Pretína sa s osou \(x\).	Nemá

Kvadratická funkcia \(y = – \frac{1}{2}{\left( {x – 2} \right)^2} – 1\)	dôležité prvky
Vrchol paraboly	\(\left( {2, – 1} \right)\)
Os symetrie paraboly	\(x = 2\)
Pretína sa s osou \(x\).	Nemá

Ak existujú skutočné korene kvadratickej funkcie, môžeme z nich vykresliť jej pridruženú parabolu. Predpokladajme, že \(f\left( x \right) = a\left( {x – \alpha } \right)\left( {x – \beta } \right)\)

Na tento účel je potrebné vziať do úvahy nasledovné:

\(\alpha + \beta = – \frac{b}{a}\)

\(\frac{{\alpha + \beta }}{2} = – \frac{b}{{2a}} = h\)

Ako

\(k = f\vľavo( h \vpravo)\)

\(k = f\left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2}} \right)\)

\(k = a\left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2} – \alpha } \right)\left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2} – \ beta } \vpravo)\)

\(k = – \frac{a}{4}{\left( {\alpha – \beta } \right)^2}\)

príklady

Načrtnite graf kvadratickej funkcie \(f\left( x \right) = \frac{1}{4}\left( {x – 3} \right)\left( {x + 6} \right )\)

Riešenie

Korene sú \(\alpha = 3\;\) a \(\beta = – 6\); potom \(h = \frac{{3 – 6}}{2} = – \frac{3}{2}\).

\(k = f\left( { – \frac{3}{2}} \right) = 2\left( { – \frac{3}{2} – 3} \right)\left( { – \frac {3}{2} + 6} \right) = \frac{1}{4}\left( { – \frac{9}{2}} \right)\left( {\frac{9}{2}} \right) = – \frac{{81}}{{16}}\)

Takže môžeme zostaviť nasledujúcu tabuľku

\(f\left( x \right) = 2\left( {x – 3} \right)\left( {x + 6} \right)\)	dôležité prvky
Vrchol paraboly	\(\left( { – \frac{3}{2}, – \frac{{81}}{2}} \right)\)
Os symetrie paraboly	\(x = – \frac{{81}}{2}\)
Pretína sa s osou \(x\).	\(\left( { – 6,0} \right)\;,\;\left( {3,0} \right)\)

Ak chcete načrtnúť graf funkcie:

\(f\left( x \right) = 3{x^2} – 18x + 4\)

Použijeme tie isté nápady, ktoré sme už použili; Na to najprv určíme vrchol.

V tomto prípade \(a = 3;b = – 12,\;c = 4\).

Keďže \(a > 0\), parabola sa “otvorí a \(h = – \frac{b}{{2a}} = – \left( {\frac{{ – 18}}{{3\left ( 2 \right)}}} \right) = 3.\) Ďalej vypočítame \(k:\)

\(k = f\left( h \right) = f\left( 3 \right) = 3{\left( 3 \right)^2} – 18\left( 3 \right) + 4 = – 23\)

Vrchol paraboly je v \(\left( {3, – 23} \right)\) a keďže sa otvára smerom nahor, potom parabola pretína os \(x\;\) a jej os symetrie je \ (x = 3\).

Teraz uvažujme o kvadratickej funkcii

\(f\left( x \right) = – 5{x^2} + 10x – 9\)

V tomto prípade \(a = 3;b = – 12,\;c = 4\).

Keďže \(a < 0\), parabola sa „otvorí“ smerom nadol a \(h = - \frac{b}{{2a}} = - \left( {\frac{{10}}{{\left( 2 \vpravo)\vľavo( { - 5} \vpravo)}}} \vpravo) = 1.\) A Ďalej vypočítame \(k:\) \(k = f\left( h \right) = f\left( 1 \right) = - 5{\left( 1 \right)^2} + 10\left( 1 \ vpravo) - 9 = - 4\) Vrchol parabola je v \(\left( {1, - 4} \right)\) a keďže sa otvára smerom dole, parabola nepretína os \(x\;\) a jej os symetrie je \(x = 1.\)