Definícia zmiešaných, jednotkových, homogénnych a heterogénnych frakcií

Zmiešané. Zmiešaný zlomok sa skladá z celého čísla väčšieho alebo rovného jednej a z vlastného zlomku, všeobecný pravopis zlomku zmiešané je v tvare: \(a + \frac{c}{d},\), ktorého kompaktný zápis je: \(a\frac{c}{d},\;\), teda: \(a\ zlomok{c}{d} = a + \frac{c}{d}\). Číslo \(a\) sa nazýva celá časť zmiešaného zlomku a číslo \(\frac{c}{d}\) sa nazýva jeho zlomková časť.

homogénne. Ak majú dva alebo viac zlomkov rovnakého menovateľa, hovorí sa, že sú ako zlomky. Napríklad zlomky \(\frac{3}{4},\) \(\frac{7}{4},\) \(\frac{1}{4},\) \(\frac{{ 10}}{4}\) sú homogénne, pretože všetky majú rovnakého menovateľa, ktorým je v tomto prípade \(4\). Zatiaľ čo zlomky \(\frac{3}{4},\) \(\frac{7}{4},\) \(\frac{1}{4},\) \(\frac{5} { 2}\) nie sú homogénne zlomky, pretože menovateľ \(\frac{5}{2}\) je \(2\) a menovateľ ostatných zlomkov je \(4\). Jednou z výhod homogénnych zlomkov je, že aritmetické operácie sčítania a odčítania funkcií sú veľmi jednoduché.

heterogénne

. Ak dva alebo viac zlomkov, z ktorých aspoň dva nemajú rovnakého menovateľa, potom sa tieto zlomky nazývajú heterogénne zlomky. Nasledujúce zlomky sú heterogénne: \(\frac{3}{5},\;\) \(\frac{7}{5}\), \(\frac{1}{4},\) \(\ frac{2}{5}\).

jednotný. Zlomok sa identifikuje ako jednotka, ak sa čitateľ rovná 1 \(1,\) \(2\). Nasledujúce zlomky sú príklady jednotkových zlomkov: \(\frac{1}{2},\;\) \(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{4}\), \(\;\frac{1}{5}\).

Slovné vyjadrenie zmiešaného zlomku

zmiešaná frakcia	Verbálny prejav
\(3\frac{1}{2} = \)	Tri a pol celé
\(5\frac{3}{4} = \)	Päť celých čísel a tri štvrtiny
\(10\frac{1}{8} = \)	Desať celých čísel s osminou

Premena zmiešanej frakcie na nesprávnu frakciu

Zmiešané frakcie sú užitočné na odhad, napríklad je ľahké stanoviť:

\(5\frac{1}{{20}} > 4\frac{9}{{10}}\)

Zmiešané zlomky sú však zvyčajne nepraktické na vykonávanie operácií, ako je násobenie a delenie, a preto je dôležité, ako ich previesť na zmiešaný zlomok.

Predchádzajúci obrázok predstavuje zmiešaný zlomok \(2\frac{3}{4}\), teraz sa každé celé číslo skladá z štyri štvrtiny, takže v 2 celých číslach je 8 štvrtín a k nim musíme pridať ďalšie 3 štvrtiny, tj. povedať:

\(2\frac{3}{4} = \frac{{2\left( 4 \right) + 3}}{4} = \frac{{11}}{4}\)

Všeobecne:

\(a\frac{c}{d} = \frac{{ad + c}}{d}\)

Nasledujúca tabuľka ukazuje ďalšie príklady.

zmiešaná frakcia	Operácie, ktoré sa majú vykonať	nesprávny zlomok
\(3\frac{1}{2}\)	\(\frac{{3\left( 2 \right) + 1}}{2}\)	\(\frac{7}{2}\)
\(5\frac{3}{4}\)	\(\frac{{5\left( 4 \right) + 3}}{4}\)	\(\frac{{23}}{4}\)
\(10\frac{1}{8}\)	\(\frac{{10\left( 8 \right) + 1}}{8}\)	\(\frac{{81}}{8}\)

Konverzia nesprávnej frakcie na zmiešanú frakciu

Ak chcete previesť nesprávny zlomok na zmiešaný zlomok, vypočítajte podiel a zvyšok po delení čitateľa menovateľom. Získaný kvocient bude celočíselnou časťou zmiešaného zlomku a správny zlomok bude \(\frac{{{\rm{zvyšok}}}}{{{\rm{menovateľ}}}}\)

Príklad

Ak chcete previesť \(\frac{{25}}{7}\) na zmiešaný zlomok:

Za vykonané operácie získame:

V tabuľke nižšie sú uvedené ďalšie príklady.

nesprávny zlomok	Výpočet podielu a zvyšku	nesprávny zlomok
\(\frac{{25}}{7}\)		\(3\frac{4}{7}\)
\(\frac{{35}}{8}\)		\(4\frac{3}{8}\)
\(\frac{{46}}{5}\)		\(9\frac{1}{5}\)

Každodenné používanie zmiešaných a správnych frakcií

V každodennom živote musíme merať, nakupovať, porovnávať ceny, ponúkať zľavy; na meranie potrebujeme merné jednotky a tie nie vždy ponúkajú celé jednotky produktov a nie vždy platíte celým množstvom mincí jednotky.

Napríklad je bežné, že určité tekutiny sa predávajú v nádobách, ktorých obsah je \(\frac{3}{4}\;\) liter, pol galónu alebo galón a pol. Možno keď si idete kúpiť elektrónku, pýtate si \(\frac{1}{8},\;\) \(\frac{7}{8},{\rm{\;}}\) \({ \rm {3}}\frac{1}{2}\) a nemusíte uvádzať mernú jednotku, ktorou je v tomto prípade palec.

Základné operácie podobných zlomkov

Súčet \(\frac{3}{4}\) a \(\frac{2}{4}\) je ilustrovaný v nasledujúcej schéme:

\(\frac{3}{4} + \frac{2}{4} = \frac{{3 + 2}}{4} = \frac{5}{4}\)

Zatiaľ čo odčítanie sa vykonáva takto:

\(\frac{3}{4} – \frac{2}{4} = \frac{{3 – 2}}{4} = \frac{1}{4}\)

Vo všeobecnosti pre homogénne frakcie:

\(\frac{a}{d} + \frac{b}{d} = \frac{{a + b}}{d}\)

\(\frac{a}{d} – \frac{b}{d} = \frac{{a – b}}{d}\)

Egypťania a jednotkové zlomky

Egyptská kultúra dosiahla pozoruhodný technologický rozvoj a to by sa nestalo bez rozvoja na rovnakej úrovni ako matematika. Existujú historické pozostatky, kde môžete nájsť záznamy o používaní zlomkov v egyptskej kultúre, pričom zvláštnosťou boli iba jednotné zlomky.

Existuje niekoľko prípadov, kedy je zápis zlomku ako súčtu jednotkových zlomkov jednoduchý ako

\(\frac{3}{n} = \frac{1}{n} + \frac{1}{{2n}}\)

V prípade, že \(n = 2q + 1\), teda nepárne, máme toto:

\(\frac{2}{n} = \frac{1}{{q + 1}} + \frac{1}{{n\left( {q + 1} \right)}}\)

Ukážeme si to na dvoch príkladoch.

Na vyjadrenie \(\frac{2}{{11}}\); v tomto prípade máme \(11 = 2\vľavo( 5 \vpravo) + 1\), preto:

\(\frac{2}{{11}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{{11\left( 6 \right)}},\)

to znamená,

\(\frac{2}{{11}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{{66}}\)

Na vyjadrenie \(\frac{2}{{17}}\); v tomto prípade máme \(17 = 2\vľavo( 8 \vpravo) + 1\),

\(\frac{2}{{15}} = \frac{1}{8} + \frac{1}{{120}}\)

Ďalej ukážeme niektoré zlomky ako súčet jednotkových zlomkov,

Zlomok	Vyjadrenie ako súčet jednotkových zlomkov	Zlomok	Vyjadrenie ako súčet jednotkových zlomkov
\(\frac{3}{n}\)	\(\frac{1}{n} + \frac{1}{{2n}}\)	\(\frac{5}{8}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{8}\)
\(\frac{2}{3}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{6}\)	\(\frac{7}{8}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}\)
\(\frac{3}{4}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4}\)	\(\frac{2}{9}\)	\(\frac{1}{5} + \frac{1}{{45}}\)
\(\frac{3}{5}\)	\(\frac{1}{5} + \frac{1}{{10}}\)	\(\frac{5}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{4}{5}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{{20}}\)	\(\frac{7}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{{36}}\)
\(\frac{5}{6}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\)	\(\frac{8}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{3}{7}\)	\(\frac{1}{3} + \frac{1}{{11}} + \frac{1}{{231}}\)	\(\frac{4}{9}\)	\(\frac{1}{3} + \frac{1}{9}\)
\(\frac{4}{7}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{14}}\)	\(\frac{5}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{5}{7}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{{10}}\)	\(\frac{5}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{6}{7}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{{42}}\)	\(\frac{{19}}{{20}}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}\)

Pomocou predchádzajúcej tabuľky môžeme sčítať zlomky a vyjadriť také súčty; ako súčet jednotkových zlomkov.

Príklady heterogénnych frakcií

Príklad 1

\(\frac{2}{5} + \frac{4}{9} = \left( {\frac{1}{3} + \frac{1}{{15}}} \right) + \left ( {\frac{1}{3} + \frac{1}{9}} \right)\)

\(\frac{2}{5} + \frac{4}{9} = \frac{2}{3} + \frac{1}{{15}} + \frac{1}{9}\)

\(\frac{2}{5} + \frac{4}{9} = \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{6}} \right) + \frac{1 }{{15}} + \frac{1}{9}\)

Príklad 2

\(\frac{4}{7} + \frac{5}{9} = \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{14}}} \right) + \left ( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}} \right)\)

\(\frac{2}{7} + \frac{5}{9} = 1 + \frac{1}{{14}} + \frac{1}{{18}}\)

Nakoniec môžeme ten istý zlomok vyjadriť ako súčet jednotkových zlomkov iným spôsobom ako:

\(\frac{8}{{63}} = \frac{1}{8} + \frac{1}{{504}}\)

\(\frac{8}{{63}} = \frac{1}{9} + \frac{1}{{63}}\)

\(\frac{8}{{63}} = \frac{1}{{14}} + \frac{1}{{18}}\)