Definícia ekvivalentných zlomkov

Dva alebo viac zlomkov sa považuje za ekvivalentné, ak predstavujú rovnaké množstvo, teda ak
\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\;,\)
zlomky \(\frac{a}{b}\) a \(\frac{c}{d}\) sú považované za ekvivalentné.

Ekvivalentné zlomky: Grafické zobrazenie

Zoberme si štvorec, ktorý rozdelíme na štvrtiny, tretiny, osminy a dvanástiny.

Z predchádzajúcich obrázkov vidíme nasledujúce ekvivalencie:

Ako získať jednu alebo niekoľko ekvivalentných frakcií?

Existujú dve základné metódy na získanie frakcie ekvivalentnej danej frakcii.

1. Vynásobte čitateľa a menovateľa rovnakým kladným číslom.

Príklady:

\(\frac{3}{4} = \frac{{3\left( 5 \right)}}{{4\left( 5 \right)}} = \frac{{15}}{{20}} \)

\(\frac{3}{4} = \frac{{3\left( 7 \right)}}{{4\left( 7 \right)}} = \frac{{21}}{{28}} \)

\(\frac{5}{8} = \frac{{5\left( 6 \right)}}{{8\left( 6 \right)}} = \frac{{30}}{{56}} \)

2. Delí sa rovnakým kladným spoločným deliteľom čitateľa a menovateľa.

\(\frac{{52}}{{56}} = \frac{{52 \div 4}}{{56 \div 4}} = \frac{{13}}{{14}}.\)

\(\frac{{80}}{{140}} = \frac{{80 \div 20}}{{140 \div 20}} = \frac{4}{7}.\)

\(\frac{{21}}{{57}} = \frac{{21 \div 3}}{{57 \div 3}} = \frac{7}{{19}}\)

Keď sa v zlomku delí čitateľ aj menovateľ tým istým spoločným deliteľom iným ako 1, hovorí sa, že zlomok bol zmenšený.

neredukovateľné frakcie

Zlomok sa nazýva nezredukovateľný zlomok, ak sa najväčší spoločný deliteľ čitateľa a menovateľa rovná 1.

Ak \(gcd\left( {a, b} \right) = 1,\) zlomok \(\frac{a}{b}\) sa nazýva nezredukovateľný zlomok.

Daný zlomok \(\frac{a}{b}\) na získanie zlomku ekvivalentného tomuto zlomku a ktorý je tiež neredukovateľný zlomok, čitateľ a čitateľ sú delené najväčším spoločným deliteľom \(a\;\) a \(b.\)

Nasledujúca tabuľka ukazuje príklady neredukovateľných a redukovateľných frakcií; ak je redukovateľný, ukazuje, ako získať neredukovateľný ekvivalentný zlomok.

Zlomok	Najväčší spoločný deliteľ	Neredukovateľné	neredukovateľný ekvivalentný zlomok
\(\frac{{14}}{{42}}\)	7	Nie	\(\frac{{14}}{{42}} = \frac{{14 \div 7}}{{42 \div 7}} = \frac{2}{7}\)
\(\frac{3}{{25}}\)	1	Áno	\(\frac{3}{{25}}\)
\(\frac{{21}}{{201}}\)	3	Nie	\(\frac{{21 \div 3}}{{20\;1 \div 3}} = \frac{7}{{67}}\)
\(\frac{5}{{24}}\)	1	Áno	\(\frac{5}{{24}}\)
\(\frac{{72}}{{1125}}\)	9	Nie	\(\frac{{72}}{{1125}} = \frac{{72 \div 9}}{{1125 \div 9}} = \frac{8}{{125}}\)

Ekvivalentné zlomky: slovné znázornenie.

Nasledujúca tabuľka ukazuje dva rôzne spôsoby zobrazenia ekvivalentných informácií z číselného hľadiska.

Slovná fráza	Ekvivalentná fráza (číselne)	Argumentácia
V roku 1930 v Mexiku 4 ľudia z 25 hovorili rodným jazykom.	V roku 1930 v Mexiku 16 ľudí zo 100 hovorilo rodným jazykom.	Oba údaje boli vynásobené 4
V roku 1960 v Mexiku 104 ľudí z každých 1000 ľudí hovorilo rodným jazykom.	V roku 1960 v Mexiku 13 ľudí zo 125 hovorilo rodným jazykom	Oba údaje boli delené 8.

Ekvivalentné zlomky: desatinné zastúpenie

V tabuľke nižšie sú uvedené rôzne desatinné čísla a ekvivalentné zlomky, ktoré ich reprezentujú.

Desatinné číslo	Zlomok	ekvivalentný zlomok	Operácie
\(0.25\)	0,25=\(\frac{{25}}{{100}}\)	0,25=\(\frac{1}{4}\)	\(25 \div 25 = 1\) \(100 \div 25 = \)
\(1.4\)	\(1,4 = 1 + \frac{4}{{10}} = \frac{{14}}{{10}}\)	\(1,4 = \frac{7}{5}\)	\(14 \div 2 = 1\) \(10 \div 2 = 5\)
\(0.145\)	\(0,145 = \frac{{145}}{{1000}}\)	\(0,145 = \frac{{29}}{{200}}\)	\(145 \div 5 = 29\) \(1000 \div 5 = 200\)

Ekvivalentné zlomky: Zastúpenie ako percento

V tabuľke nižšie sú uvedené rôzne desatinné čísla a ekvivalentné zlomky, ktoré ich reprezentujú.

Desatinné číslo	Zlomok	ekvivalentný zlomok	Operácie
20%	\(\frac{{20}}{{100}\)	\(\frac{1}{5}\)	\(20 \div 20 = 1\) \(100 \div 20 = 5\)
150%	\(\frac{{150}}{{100}}\)	\(\frac{3}{2}\)	\(150 \div 50 = 3\) \(100 \div 50 = 2\)
55%	\(\frac{{55}}{{100}}\)	\(\frac{{11}}{{20}}\)	\(55 \div 11 = 5\) \(100 \div 5 = 20\)

Ekvivalentné frakcie: od heterogénnych po homogénne

Vzhľadom na dva heterogénne zlomky \(\frac{a}{b}\) a \(\frac{c}{d}\) môžeme nájsť dva zlomky homogénne takým spôsobom, že jeden zlomok je ekvivalentný zlomku \(\frac{a}{b}\;\) a druhý \(\frac{c}{d}\).

Ďalej si ukážeme dva postupy na vykonanie toho, čo je uvedené v predchádzajúcom odseku.

Všimnime si:

\(\frac{a}{b} = \frac{{a\left( d \right)}}{{b\left( d \right)}}\)

\(\frac{c}{d} = {\rm{\;}}\frac{{c\left( b \right)}}{{d\left( b \right)}}\)

Nasledujúca tabuľka ukazuje niekoľko príkladov.

F. heterogénne	Operácie	F. homogénne
\(\frac{4}{5}\), \(\frac{2}{3}\)	\(\frac{{4\left( 3 \right)}}{{5\left( 3 \right)}} = \frac{{12}}{{15}}\) \(\frac{{2\left( 5 \right)}}{{3\left( 5 \right)}} = \frac{{10}}{{15}}\)	\(\frac{{12}}{{15}}\), \(\frac{{10}}{{15}}\)
\(\frac{7}{{12}}\), \(\frac{4}{{18}}\)	\(\frac{{7\left( {18} \right)}}{{12\left( {18} \right)}} = \frac{{126}}{{216}}\) \(\frac{{4\left( {12} \right)}}{{18\left( {12} \right)}} = \frac{{48}}{{216}}\)	\(\frac{{126}}{{216}},\) \(\frac{{48}}{{216}}\)
\(\frac{7}{{10}}\), \(\frac{3}{{14}}\), \(\frac{5}{4}\)	\(\frac{{7\left( {14} \right)\left( 4 \right)}}{{10\left( {14} \right) 4}} = \frac{{392}}{{ 560}}\) \(\frac{{3\left( {10} \right)\left( 4 \right)}}{{14\left( {10} \right)\left( 4 \right)}} = \frac{ {120}}{{560}}\) \(\frac{{5\left( {10} \right)\left( {14} \right)}}{{4\left( {10} \right)\left( {14} \right)}} = \frac{700}}{{560}}\)	\(\frac{{392}}{{560}}\), \(\frac{{120}}{{560}},\) \(\frac{{700}}{{560}}\)

Nevýhodou tohto spôsobu je, že v procese je možné vyrobiť veľmi veľké množstvá; V mnohých prípadoch sa tomu dá vyhnúť, ak sa počíta najmenší spoločný násobok menovateľov a druhá metóda je založená na výpočte najmenšieho spoločného násobku.

Najmenší spoločný násobok pri počítaní zlomkov

Ďalej na dvoch príkladoch, ako získať homogénne zlomky pomocou najmenšieho spoločného násobku menovateľov, ktorý bude spoločným menovateľom príslušných zlomkov.

Zvážte zlomky: \(\frac{7}{{12}}\), \(\frac{4}{{18}}.\)

Najmenší spoločný násobok \(12\) a \(18\) je \(36\); teraz

\(36 \div 12 = 3\)

\(36 \div 18 = 2\)

\(\frac{7}{{12}} = \frac{{7\left( 3 \right)}}{{12\left( 3 \right)}} = \frac{{21}}{{36 }},\)

\(\frac{4}{{18}} = \frac{{4\left( 2 \right)}}{{18\left( 2 \right)}} = \frac{8}{{36}} \)

Teraz zvážte zlomky: \(\frac{7}{{10}}\), \(\frac{3}{{14}}\), \(\frac{5}{4}\)

Najmenší spoločný násobok \(10\), \(14\) a \(3\) je \(140\); teraz

\(140 \div 10 = 14\)

\(140 \div 14 = 10\)

\(140 \div 4 = 35\)

\(\frac{7}{{10}} = \frac{{7\left( {14} \right)}}{{10\left( {14} \right)}} = \frac{{98} }{{140}},\)

\(\frac{3}{{14}} = \frac{{3\left( {10} \right)}}{{14\left( {10} \right)}} = \frac{{30} }{{140}}\)

\(\frac{5}{4} = \frac{{5\left( {35} \right)}}{{4\left( {35} \right)}} = \frac{{175}}{ {140}}\)

Z predchádzajúcich obrázkov si všimneme nasledujúcu skutočnosť:

\(\frac{1}{4} = \frac{3}{{12}}\)

Tu sú ďalšie príklady.

F. heterogénne	min spoločných menovateľov	Operácie	F. homogénne
\(\frac{1}{{14}}\) \(\frac{1}{{18}}\)	126	\(126 \div 14 = 9\) \(\frac{1}{{14}} = \frac{{1\left( 9 \right)}}{{14\left( 9 \right)}} = \frac{9}{{126}} \) \(126 \div 18 = 7\) \(\frac{1}{{18}} = \frac{{1\left( 7 \right)}}{{18\left( 7 \right)}} = \frac{7}{{126}} \)	\(\frac{9}{{126}}\), \(\frac{7}{{126}}\)
\(\frac{5}{6}\) \(\frac{2}{{15}},\) \(\frac{4}{9}\)	90	\(90 \div 6 = 15\) \(\frac{5}{6} = \frac{{5\left( {15} \right)}}{{6\left( {15} \right)}} = \frac{{75}}{ {90}}\) \(90 \div 15 = 6\) \(\frac{2}{{15}} = \frac{{2\left( {15} \right)}}{{15\left( 6 \right)}} = \frac{{30}}{ {90}}\) \(90 \div 9 = 10\) \(\frac{4}{9} = \frac{{4\left( {10} \right)}}{{9\left( {10} \right)}} = \frac{{40}}{ {90}}\)	\(\frac{{75}}{{90}}\), \(\frac{{30}}{{90}}\), \(\frac{{40}}{{90}}\)