Definícia kvadratická/kvartická rovnica

Rovnica druhého stupňa alebo, ak to nie je možné, kvadratická rovnica, vzhľadom na neznámu, je vyjadrená v tvare:
\(a{x^2} + bx + c = 0\)
Kde neznáma je \(x\), pokiaľ \(a, b\) a c sú reálne konštanty, pričom \(a \ne 0.\)

Existuje niekoľko techník na riešenie kvadratických rovníc, vrátane faktorizácie, v takom prípade musíme brať do úvahy nasledujúcu vlastnosť podľa rozlíšenia:

Ak je súčin dvoch čísel nula, potom existujú dve možnosti:

1. Obe sa rovnajú nule.
2. Ak je jedna nenulová, potom druhá je nula

Vyššie uvedené možno vyjadriť takto:
Ak \(pq = 0\), potom \(p = 0\) alebo \(q = 0\).

Praktický príklad 1: vyriešte rovnicu \({x^2} – 8\)=0

\({x^2} – 8 = 0\)	Východisková situácia
\({x^2} – 8 + 8 = 8\)	Pridajte 8 na obe strany rovnice, aby ste vyriešili \({x^2}\)
\(\sqrt {{x^2}} = \sqrt {{2^3}} = \sqrt {{2^2}2} = \sqrt {{2^2}} \sqrt 2 = 2\sqrt 2 \)	Druhá odmocnina sa získa hľadaním izolácie \(x.\) 8 a sú aplikované vlastnosti radikálov a mocností.
\(\left| x \right| = 2\sqrt 2 \)	Získate koreň \({x^2}\)
\(x = \pm 2\sqrt 2 \)

Riešenia \({x^2} – 8\)=0 sú:
\(x = – 2\sqrt 2 ,\;2\sqrt 2 \)

Praktický príklad 2: Vyriešte rovnicu \({x^2} – 144\)=0

\({x^2} – 144 = 0\)	Východisková situácia
\({x^2} – {12^2} = 0\)	Druhá odmocnina zo 144 je 12. Identifikuje sa rozdiel štvorcov.
\(\left( {x + 12} \right)\left( {x – 12} \right) = 0\)	Rozdiel štvorcov je zohľadnený
\(x + 12 = 0\) \(x = – 12\)	Zvažujeme možnosť, že faktor \(x + 12\) sa rovná 0. Získaná rovnica je vyriešená.
\(x – 12 = 0\) \(x = 12\)	Uvažujeme s možnosťou, že faktor \(x – 12\) sa rovná 0. Získaná rovnica je vyriešená.

Riešenia rovnice \({x^2} – 144 = 0\) sú

\(x = – 12,\;12\)

Praktický príklad 3: vyriešte rovnicu \({x^2} + 3x = 0\)

\({x^2} + 3x = 0\)	Východisková situácia
\(x\left( {x + 3} \right) = 0\)	\(x\) sa identifikuje ako spoločný faktor a vykoná sa faktorizácia.
\(x = 0\)	Zvážte možnosť, že faktor \(x\) sa rovná 0.
\(x + 3 = 0\) \(x = – 3\)	Uvažujeme s možnosťou, že faktor \(x – 12\) sa rovná 0. Získaná rovnica je vyriešená.

Riešenia rovnice \({x^2} + 3x = 0\) sú:
\(x = – 3,0\)

Praktický príklad 4: Vyriešte rovnicu \({x^2} – 14x + 49 = 0\)

\({x^2} – 14x + 49 = 0\)	Východisková situácia
\({x^2} – 14x + {7^2} = 0\)	Druhá odmocnina zo 49 je 7 a \(2x\vľavo( 7 \vpravo) = 14x.\) Identifikuje sa dokonalá štvorcová trojčlenka.
\({\left( {x – 7} \right)^2} = 0\)	Dokonalá štvorcová trojčlenka je vyjadrená ako druhá mocnina.
\(x – 7 = 0\) \(x = 7\)

Riešenie \({x^2} – 14x + 49 = 0\) je:
\(x = 7\)

Praktický príklad 5: Vyriešte rovnicu \(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)

\(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)	Východisková situácia
\(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)	Produkt \(\left( {10} \right)\left( {12} \right) = 120 = \left( { – 8} \right)\left( { – 15} \right)\)
\(\left( {10{x^2} – 8x} \right) – 15x + 12 = 0\)	Vyjadruje sa ako \( – 23x = – 18x – 15\)
\(2x\vľavo( {5x – 4} \vpravo) – 3\vľavo( {5x – 4} \vpravo) = 0\)	Identifikujte \(2x\) ako spoločný faktor v prvom sčítaní a rozpočítajte ho. Identifikujte \( – 3\) ako spoločný faktor v druhom sčítaní a rozpočítajte ho.
\(\left( {5x – 4} \right)\left( {2x – 3} \right) = 0\)	Faktor spoločného činiteľa \(5x – 4\)
\(5x – 4 = 0\) \(x = \frac{4}{5}\)	Zvažujeme možnosť, že faktor \(5x – 12\) sa rovná 0. Získaná rovnica je vyriešená.
\(2x – 3 = 0\) \(x = \frac{3}{2}\)	Zvážte možnosť, že faktor \(2x – 3\) sa rovná 0. Získaná rovnica je vyriešená.

Riešenia \(10{x^2} – 23x + 12 = 0\) sú:
\(x = \frac{4}{5},\;\frac{3}{2}\)

Praktický príklad 6: Vyriešte rovnicu \({x^2} + 4x + 1 = 0\)

\({x^2} + 4x + 1 = 0\)	Východisková situácia Trojčlenka nie je dokonalý štvorec
\({x^2} + 4x + 1 – 1 = – 1\)	Pridajte -1 na každú stranu rovnice.
\({x^2} + 4x = – 1\)	Keďže \(\frac{1}{2}\left( 4 \right) = 2\) pridaním \({2^2}\), dostaneme dokonalý štvorec.
\({x^2} + 4x + 4 = – 1 + 4\)	Pridajte \({2^2}\;\) na každú stranu rovnice. Ľavá strana je dokonalý štvorec.
\({\left( {x + 2} \right)^2} = 3\)	Dokonalá štvorcová trojčlenka je vyjadrená ako druhá mocnina.
\(\sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2}} = \pm \sqrt 3 \)	Vezmite druhú odmocninu každej strany rovnice
\(\left| {x + 2} \right| = \sqrt 3 \) \(x = – 2 \pm \sqrt 3 \)	Riešenie pre \(x\).

Riešenia \({x^2} + 4x + 1 = 0\) sú:
\(x = – 2 – \sqrt 3 ,\; – 2 + \sqrt 3 \)

Praktický príklad 7: Vyriešte rovnicu \(5{x^2} + 3x – 1 = 0\)

\(5{x^2} + 3x – 1 = 0\)	Východisková situácia Trojčlenka nie je dokonalý štvorec.
\(5{x^2} + 3x – 1 + 1 = 1\)	Pridajte 1 na každú stranu rovnice
\(\frac{1}{5}\left( {5{x^2} + 3x} \right) = \frac{1}{5}\left( 1 \right)\)	Vynásobte každou stranou rovnice tak, aby sa koeficient \({x^2}\) rovnal 1.
\({x^2} + \frac{3}{5}x = \frac{1}{5}\)	produkt je distribuovaný Pretože \(\frac{1}{2}\left( {\frac{3}{5}} \right) = \frac{3}{{10}}\), pridaním \({\left( { \frac{3}{{10}}} \right)^2} = \frac{9}{{100}}\) dáva dokonalý štvorcový trojčlen.
\({x^2} + \frac{3}{5}x + \frac{9}{{100}} = \frac{1}{5} + \frac{9}{{100}}\)	Pridajte 3 na obe strany rovnice, aby ste vyriešili \({\left( {x + 2} \right)^2}\)
\({\left( {x + \frac{3}{{10}}} \right)^2}\)=\(\frac{{29}}{{100}}\)	Dokonalá štvorcová trojčlenka je vyjadrená ako kubická dvojčlenka.
\(\sqrt {{{\left( {x + \frac{3}{{10}}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{29}}{{100}}} \ )	Vezmite druhú odmocninu každej strany rovnice
\(x = – \frac{3}{{10}} \pm \frac{{\sqrt {29} }}{{10}}\)	Riešenie pre \(x\).

Riešenia \(5{x^2} + 3x – 1 = 0\) sú:
\(x = – \frac{{3 + \sqrt {29} }}{{10}},\; – \frac{{3 – \sqrt {29} }}{{10}}\)

Postup použitý vo vyššie uvedenej rovnici sa použije na nájdenie toho, čo sa nazýva všeobecný vzorec pre kvadratické riešenia.

Všeobecný vzorec rovnice druhého stupňa.

Všeobecný vzorec kvadratických rovníc

V tejto časti nájdeme všeobecný spôsob riešenia kvadratickej rovnice

S \(a \ne 0\) uvažujme rovnicu \(a{x^2} + bx + c = 0\).

\(a{x^2} + bx + c = a\left( {{x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}} \right) = 0\)

Keďže \(a \ne 0\) stačí vyriešiť:

\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\)

\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\)	Východisková situácia
\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} – \frac{c}{a} = – \frac{c}{a}\)	Pridajte \( – \frac{c}{a}\) na každú stranu rovnice.
\({x^2} + \frac{b}{a}x = – \frac{c}{a}\)	Keďže \(\frac{1}{2}\left( {\frac{b}{a}} \right) = \frac{b}{{2a}}\), pridaním \({\left( { \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}}\) dáva dokonalú štvorcovú trojčlenku.
\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} = \frac{{{b^2}} }{{4{a^2}}} – \frac{c}{a}\)	Ľavá strana rovnice je dokonalá štvorcová trojčlenka.
\({\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = \frac{{{b^2} – 4{a^2}c}}{{4{ a^2}}}\)	Dokonalá štvorcová trojčlenka je vyjadrená ako druhá mocnina. Algebraický zlomok je hotový.
\(\sqrt {{{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{b^2} – 4{a^ 2}c}}{{4{a^2}}}} \)	Vezmite druhú odmocninu každej strany rovnice.
\(\left| {x + \frac{b}{{2a}}} \right| = \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} }}{{2a} }\)	Uplatňujú sa radikálne vlastnosti.
\(x + \frac{b}{{2a}} = \pm \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} }}{{2a}}\)	Platia vlastnosti absolútnej hodnoty.
\(x + \frac{b}{{2a}} – \frac{b}{{2a}} = \pm \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} } }{{2a}} – \frac{b}{{2a}}\)	Na každú stranu rovnice pridajte \( – \frac{b}{{2a}}\), aby ste vyriešili \(x\)
\(x = \frac{{ – b \pm \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)	Algebraický zlomok je hotový.

Člen \({b^2} – 4{a^2}c\) sa nazýva diskriminant kvadratickej rovnice \(a{x^2} + bx + c = 0\).

Keď je diskriminant vyššie uvedenej rovnice záporný, riešenia sú komplexné čísla a neexistujú žiadne skutočné riešenia. Komplexné riešenia nebudú zahrnuté v tejto poznámke.

Vzhľadom na kvadratickú rovnicu \(a{x^2} + bx + c = 0\), ak \({b^2} – 4{a^2}c \ge 0\). Potom riešenia tejto rovnice sú:

\(\alpha = \frac{{ – b + \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

\(\beta = \frac{{ – b – \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

Výraz:

\(x = \frac{{ – b \pm \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

Nazýva sa Všeobecný vzorec kvadratickej rovnice.

Praktický príklad 8: vyriešte rovnicu \(3{x^2} – 2x – 5 = 0\)

\(do\)	\(b\)	\(c\)	Diskriminačný	skutočné riešenia
\(3\)	\( – 2\)	\( – 5\)	\({2^2} – 4\vľavo( 3 \vpravo)\vľavo( { – 5} \vpravo) = 4 + 60 = 64\)	\(x = \frac{{ – \left( { – 2} \right) \pm \sqrt {64} }}{{2\left( 3 \right)}} = \frac{{2 \pm 8} }{6}\)

Riešenia rovnice sú:
\(\alpha = – 1,\;\beta = \frac{5}{3}\)

Praktický príklad 9: Vyriešte rovnicu \( – 4{x^2} + 3x + 9 = 0\)

\(do\)	\(b\)	\(c\)	Diskriminačný	skutočné riešenia
\( – 4\)	3	9	\({3^2} – 4\left( { – 4} \right)\left( 9 \right) = 9 + 144 = 153\) \(153 = 9\vľavo( {17} \vpravo)\)	\(x = \frac{{ – 3 \pm \sqrt {9\left( {17} \right)} }}{{2\left( { – 4} \right)}} = \frac{{ – 3 \pm 3\sqrt {17} }}{{ – 8}}\)

Riešenia rovnice sú:
\(\alpha = \frac{{3 – 3\sqrt {17} }}{8},\;\beta = \frac{{3 + 3\sqrt {17} }}{8}\)

Praktický príklad 10: Vyriešte rovnicu \(5{x^2} – 4x + 1 = 0\)

\(do\)	\(b\)	\(c\)	Diskriminačný	skutočné riešenia
\(5\)	-4	\(1\)	\({\left( { – 4} \right)^2} – 4\left( 5 \right)\left( 1 \right) = 16 – 20 = – 4\)	Nemá

Rôzne rovnice

Existujú nekvadratické rovnice, ktoré možno previesť na kvadratickú rovnicu. Uvidíme dva prípady.

Praktický príklad 11: Hľadanie reálnych riešení rovnice \(6x = 5 – 13\sqrt x \)

Po zmene premennej \(y = \sqrt x \) zostáva predchádzajúca rovnica:

\(6{y^2} = 5 – 13r\)

\(6{y^2} + 13r – 5 = 0\)

\(6{y^2} + 15r – 2r – 5 = 0\)

\(3y\left( {2y + 5} \right) – \left( {2y + 5} \right) = 0\)

\(\left( {2y + 5} \right)\left( {3y – 1} \right) = 0\)

Preto \(y = – \frac{2}{5},\;\frac{1}{3}\).

Keďže \(\sqrt x \) označuje iba kladné hodnoty, budeme brať do úvahy iba:

\(\sqrt x = \;\frac{1}{3}\)

odpoveď:

Jediné skutočné riešenie je:
\(x = \frac{1}{9}\)

Spracovaný príklad 12: Vyriešte rovnicu \(\sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} – \sqrt {\frac{{x – 5}}{x}} = \frac{5}{6 }\)

Vykonanie zmeny premennej:

\(y = \sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} \)

Dostaneme rovnicu:

\(y – \frac{1}{y} = \frac{5}{6}\)

\(6{y^2} – 6 = 5r\)

\(6{y^2} – 5r – 6 = 0\)

\(6{y^2} – 9r + 4r – 6 = 0\)

\(3y\vľavo( {2r – 3} \vpravo) + 2\vľavo( {2r – 3} \vpravo) = 0\)

\(\left( {2r – 3} \right)\left( {3y + 2} \right) = 0\)

Možné hodnoty \(y\) sú:

\(y = – \frac{2}{3},\;\frac{3}{2}\)

Z vyššie uvedeného budeme uvažovať len o pozitívnom riešení.

\(\sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} = \frac{3}{2}\)

\(\frac{x}{{x – 5}} = \frac{9}{4}\)

\(4x = 9x – 45\)

\(5x = 45\)

\(x = 9.\)

Riešenia sú \(x = 9.\)