Definícia exponenciálnej funkcie

Exponenciálna funkcia modeluje rôzne prírodné javy a sociálne a ekonomické situácie, preto je dôležité identifikovať exponenciálne funkcie v rôznych kontextoch.

Pripomeňme si, že pre číslo je definované \({a^1} = a,{a^2} = aa,\;{a^3} = aaa\), vo všeobecnosti platí, že pre ľubovoľné \(n\ ) prirodzené číslo:

V prípade \(a \ne 0\), máme toto: \({a^0} = 1,\;\) v skutočnosti, keď \(a \ne 0,\) má zmysel vykonať operáciu \ (\frac{a}{a} = 1;\) pri aplikácii zákona o exponentoch máme:

\(\frac{a}{a} = 1\)

\({a^{1 – 1}} = 1\)

\({a^0} = 1.\)

Keď \(a = 0\), predchádzajúca úvaha nedáva zmysel, preto výrazu \({0^0},\) chýba matematická interpretácia.

V prípade, že \(b > 0\) a platí, že \({b^n} = a,\), hovorí sa, že \(b\) je n-tá odmocnina \(a\) a zvyčajne je označené ako \ (b = {a^{\frac{1}{n}}},\;\) alebo \(b = \sqrt[n]{a}\).

Keď \(a < 0\), neexistuje žiadne reálne číslo \(b\) také, že \({b^2} = a;\), pretože \({b^2} \ge 0;\;\ ) tak vyjadrenia formy \({a^{\frac{m}{n}}}\), nebude braný do úvahy pre \(a < 0.\) V nasledujúcom algebraickom výraze: \({a^n}\) \(a \ ) sa nazýva základ a \(n\) sa nazýva nazývaný exponent, \({a^n}\) sa nazýva mocnina\(\;n\) z \(a\) alebo sa nazýva aj \(a\) k mocnine \(n,\;\)se dodržiavať nasledujúce zákony z exponentov:

\({a^n}{a^m} = {a^{n + m}}\)	\(\frac{{{a^n}}}{{{a^m}}} = {a^{n – m}}\)	\({\left( {{a^n}} \right)^m} = {a^{nm}} = {\left( {{a^m}} \right)^n}\)
\(\frac{1}{{{a^n}}} = {a^{ – n}}\)	\({a^n} = \frac{1}{{{a^{ – n}}}}\)	\({\left( {\frac{1}{a}} \right)^n} = \frac{1}{{{a^n}}}\)
\({\left( {ab} \right)^n} = {a^n}{b^n}\)	\({\left( {{a^{\frac{1}{n}}}} \right)^m} = {\left( {{a^m}} \right)^{\frac{1} {n}}} = {a^{\frac{m}{n}}}\)	\({a^0} = 1\) pre každé \(a \ne 0\)

Exponenciálna funkcia má tvar:

\(f\left( x \right) = {a^x}\)

kde \(a > 0\) je konštanta a nezávislá premenná je exponent \(x\).

Aby sme urobili analýzu exponenciálnej funkcie, zvážime tri prípady

Prípad 1 Keď základ \(a = 1.\)

V tomto prípade \(a = 1,\) funkcia \(f\left( x \right) = {a^x}\) je konštantná funkcia.

Prípad 2 Keď základ \(a > 1\)

V tomto prípade máme nasledovné:

Hodnota \(x\)
\(x < 0\)	\(0 < {a^x} < 1\)
\(x = 0\)	\({a^0} = 1\)
\(0 < x < 1\)	\(1 < {a^x} < a\)
\(x = 1\)	\({a^x} = 1\)
\(x > 1\)	\(a < {a^x}\)

Funkcia \(f\left( x \right) = {a^x}\) je striktne rastúca funkcia, to znamená, že ak \({x_2} > {x_1}\), potom:

\({a^{{x_2}}} > a_{}^{{x_2}}\)

\(f\left( {{x_2}} \right) > f\left( {{x_1}} \right)\)

Keď je jav modelovaný pomocou exponenciálnej funkcie, s \(a > 1\), hovoríme, že predstavuje exponenciálny rast.

Prípad 2 Keď je základ \(a < 1\).

Hodnota \(x\)
\(x < 0\)	\({a^x} > 1\)
\(x = 0\)	\({a^0} = 1\)
\(0 < x < 1\)	\(0 < {a^x} < 1\)
\(x = 0\)	\({a^x} = 1\)
\(x > 1\)	\(0 < {a^x} < a < 1\)

Keď \(a < 1\), funkcia \(f\left( x \right) = {a^x}\) je striktne klesajúca funkcia, teda ak \({x_2} > {x_1}\ ), takže:

\({a^{{x_2}}} < a_{}^{{x_1}}\) \(f\left( {{x_2}} \right) < f\left( {{x_1}} \right) \) Keď je jav modely s exponenciálnou funkciou, s \(a < 1\), hovoríme, že predstavuje rozpad alebo pokles exponenciálny. Nasledujúci graf znázorňuje správanie \({a^x}\) v troch rôznych prípadoch.

Aplikácie exponenciálnej funkcie

Príklad 1 Populačný rast

Budeme označovať pomocou \({P_0}\) počiatočnú populáciu a pomocou \(r \ge 0\) mieru rastu populácie, ak miera populácie zostane v priebehu času konštantná; funkcia

\(P\left( t \right) = {P_0}{\left( {1 + r} \right)^t};\)

Nájdite počet obyvateľov v čase t.

Praktický príklad 1

Počet obyvateľov Mexika v roku 2021 je 126 miliónov a predstavuje ročný nárast o 1,1 %, Ak sa tento rast udrží, aká populácia bude v Mexiku v roku 2031, v roku 2021?

Riešenie

V tomto prípade \({P_o} = 126\) a \(r = \frac{{1.1}}{{100}} = 0.011\), takže by ste mali použiť:

\(P\left( t \right) = {P_0}{\left( {1 + .0011} \right)^t}\)

Nasledujúca tabuľka ukazuje výsledky

rok	uplynutý čas (\(t\))	Kalkulácia	Obyvateľstvo (milióny)
2021	0	\(P\left( t \right) = 126{\left( {1.0011} \right)^0}\)	126
2031	10	\(P\left( t \right) = 126{\left( {1.0011} \right)^{10}}\)	140.57
2051	30	\(P\left( t \right) = 126{\left( {1.0011} \right)^{30}}\)	174.95

Príklad 2 Výpočet zloženého úroku

Banky ponúkajú ročnú úrokovú sadzbu, no skutočná sadzba závisí od toho, na koľko mesiacov ju investujete; Ak vám napríklad ponúknu ročnú úrokovú sadzbu r %, skutočná mesačná sadzba je \(\frac{r}{{12}}\) %, dvojmesačná sadzba je \(\frac{r}{6}\)%, štvrťročné je \(\frac{r}{4}\)%, štvrťročné je \(\frac{r}{3}\)% a semester je \(\frac{r}{2}\)%.

Praktický príklad 2

Predpokladajme, že investujete 10 000 do banky a ponúkne vám nasledujúce ročné úrokové sadzby:

Termínované vklady	Ročná sadzba	obdobia v roku	skutočná sadzba	Peniaze naakumulované za \(k\) mesiacov
dva mesiace	0.55%	6	\(\frac{{0,55\% }}{6} = 0,091667{\rm{\% }}\)	\(10 000{\left( {1 + 0,00091667} \right)^{\frac{k}{2}}}\)
tri mesiace	1.87%	4	\(\frac{{1,87\% }}{4} = 0,4675{\rm{\% }}\)	\(10 000{\left( {1 + 0,00461667} \right)^{\frac{k}{3}}}\)
šesť mesiacov	1.56%	2	\(\frac{{1,56\% }}{4} = 0,78{\rm{\% }}\)	\(10 000{\left( {1 + 0,0078} \right)^{\frac{k}{6}}}\)

Číslo \(e\), Eulerov konštantný a nepretržitý úrok.

Teraz predpokladajme, že máme počiatočný kapitál \(C\) a investujeme ho s pevnou sadzbou \(r > 0\) a rozdelíme rok na \(n\) období; kapitál naakumulovaný za rok sa rovná:

\(A = \;C{\left( {1 + \frac{r}{n}} \right)^n}\)

Aby sme analyzovali, ako sa akumulovaný kapitál správa, keď \(n\), rastie, prepíšeme akumulovaný kapitál za jeden rok:

\(A = \;C{\left( {1 + \frac{r}{n}} \right)^n}\)\(A = \;C{\left( {1 + \frac{1} {{\frac{n}{r}}}} \right)^{\left( {\frac{n}{r}} \right) r}},\)

vykonaním \(m = \frac{n}{r}\), dostaneme:

\(A = C{\left( {1 + \frac{1}{m}} \right)^{mr}}\)\(A = C{\left( {{{\left( {1 + \ frac{1}{m}} \right)}^m}} \right)^r}.\)

Ako \(n\) rastie, rastie aj \(m = \frac{n}{r}.\)

Ako \(m = \frac{n}{r},\) rastie, výraz \({\left( {1 + \frac{1}{m}} \right)^m}\) sa približuje k tomu, čo sa nazýva Eulerova konštanta alebo číslo:

\(e \približne 2,718281828 \ldots .\)

Eulerova konštanta nemá konečný alebo periodický desatinný výraz.

Máme nasledujúce približné hodnoty

\(C{\left( {{{\left( {1 + \frac{1}{m}} \right)}^m}} \right)^r} \približne C{e^r},\) \(C{\left( {1 + \frac{r}{n}} \right)^{ns}} \približne C{e^{rs}}.\)

K výrazu:

\(A = \;C{e^r},\)

Môžeme to interpretovať dvoma spôsobmi:

1.- Ako maximálna suma, ktorú môžeme nahromadiť za rok, keď investujeme kapitál \(C,\;\) pri ročnej sadzbe \(r.\)

2.- Ako sumu, ktorú by sme nazhromaždili za rok, ak by sa náš kapitál priebežne reinvestoval ročným tempom \(r.\)

\(T\left( s \right) = \;C{e^{rs}},\)

je suma akumulovaná, ak sú \(s\) roky investované s nepretržitým úrokom.

Konkrétny príklad 3

Teraz sa vrátime k časti konkrétneho príkladu 2, kde je ročná sadzba 0,55 % v dvojmesačných splátkach. Vypočítajte kapitál, ktorý sa akumuluje, ak je počiatočný kapitál 10 000 a reinvestuje sa pol roka, dva roky, 28 mesiacov.

\(10{\left( {1.00091667} \right)^{\frac{6}{2}}} = 10.{\rm{\;}}027525\)

ako ukazuje tabuľka nižšie, hodnota \(m = \frac{n}{r},\) nie je „malá“ a tabuľka vyššie naznačuje, že \({\left( {1 + \frac{1}{ m}} \right)^m}\) je blízko Eulerovej konštante.

čas	Počet období (\(k\))	Akumulovaný kapitál v tisícoch sa reinvestuje každé dva mesiace
Polrok	3	\(10{\left( {1.00091667} \right)^3} = 10.{\rm{\;}}027525\)
Dva roky	12	\(10{\left( {1.00091667} \right)^{12}} = 10110.{\rm{\;}}557\)
38 mesiacov	19	\(10{\left( {1.00091667} \right)^{19}} = 10.\;175612\)

čas	Čas v rokoch (\(s\))	Akumulovaný kapitál v tisícoch investujte s nepretržitým úrokom
Polrok	\(s = \frac{1}{2}\)	\(10{e^{0,0055\left( {\frac{1}{2}} \right)}} = 10.{\rm{\;}}027538\)
Dva roky	\(s = 2\)	\(10{\left( {1.00091667} \right)^{0.0055\left( 2 \right)}} = 10110.{\rm{\;}}607\)
38 mesiacov	\(s = \frac{{19}}{6}\)	\(10{\left( {1.00091667} \right)^{\frac{{19}}{6}}} = 10.\;175692\)

Príklad 2 Odpisy

Praktický príklad 1

Počítač sa každý rok odpíše o 30 %, ak počítač stojí 20 000 pesos, určte cenu počítača na \(t = 1,12,\;14,\;38\) mesiacov.

V tomto prípade má jeden:

\(P\left( t \right) = 20 000{\rm{\;}}{\left( {1 – 0,30} \right)^t}\)

Dosadením \(t\) v nasledujúcej tabuľke dostaneme \(t\) v rokoch

čas v mesiacoch	čas v rokoch	výpočty	Číselná hodnota
1	\(\frac{1}{{12}}\)	\(P\left( t \right) = 20 000{\rm{\;}}{\left( {1 – 0,30} \right)^{\frac{1}{{12}}}}\)	19414.289
12	1	\(P\left( t \right) = 20 000{\rm{\;}}{\left( {1 – 0,30} \right)^1}\)	14000
14	\(\frac{7}{6}\)	\(P\left( t \right) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – 0,30} \right)^{\frac{7}{6}}}\)	13192.012
38	\(\frac{{19}}{6}\)	\(P\left( t \right) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – 0,30} \right)^{\frac{7}{6}}}\)	6464.0859