Ako je definovaná Tálesova veta?

Z Thalesovej vety, pri niekoľkých rovnobežných priamkach, sa hovorí, že priamka \(T\) je priečna k rovnobežkám, ak pretína každú z rovnobežiek.

Na obrázku 1 sú priamky \({T_1}\) a \({T_2}\) priečne k rovnobežkám \({L_1}\) a \({L_2}.\)

Thalesova veta (slabá verzia)
Ak niekoľko rovnobežiek určuje zhodné segmenty (ktoré merajú rovnako) v jednej zo svojich dvoch priečnych línií, určia tiež zhodné segmenty v ostatných priečnych líniách.

Na obrázku 2 sú čierne čiary rovnobežné a musíte:
\({A_1}{A_2} = {A_2}{A_3} = {A_3}{A_4}.\)
Vieme zabezpečiť nasledovné:
\({B_1}{B_2} = {B_2}{B_3} = {B_3}{B_4}.\)

Hovorí sa, že múdry Thales z Milétu zmeral výšku Cheopsovej pyramídy, použil na to tiene a použitie vlastností podobnosti trojuholníkov. Thalesova veta je základom pre rozvoj konceptu podobnosti trojuholníkov.

Pomery a vlastnosti proporcií

Jeden pomer je podielom dvoch čísel, pričom deliteľ je iný ako nula; to znamená:

\(\frac{a}{b}\;{\rm{with\;}}b \ne 0\)

Pomer je rovnosť dvoch pomerov, to znamená:

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k,\)

\(k\) sa tiež nazýva konštanta proporcionality.

Vlastnosti proporcií

Ak \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k\), potom pre \(m \ne 0:\;\)

\(\frac{{ma}}{{mb}} = \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k\)

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{{a + c}}{{b + d}} = \frac{{a – c}}{{b – d}} = k\)

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{f}{g} = \frac{{a + c + f}}{{b + d + g}} = k\)

\(\frac{{a \pm b}}{b} = \frac{{c \pm d}}{d}\)

príklady

\(\frac{9}{{24}} = \frac{{15}}{{40}} = \frac{{9 + 15}}{{24 + 40}} = \frac{{24}} {{64}}\)

\(\frac{9}{{24}} = \frac{{15}}{{40}} = \frac{{15 – 9}}{{40 – 24}} = \frac{6}{{ 16}}\)

\(\frac{{9 + 24}}{{24}} = \frac{{15 + 40}}{{40}}\)\(\frac{{33}}{{24}} = \frac {{55}}{{40}}\)

Dvojica segmentov \(\overline {AB} \) a \(\overline {CD} \) je údajne úmerná segmentom \(\overline {EF} \) a \(\overline {GH} \) ak je pomer splnený:

\(\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{{EF}}{{GH}}\)

Kde \(AB\;\) označuje dĺžku segmentu \(\overline {AB} .\)

Thalesova veta

Vráťme sa k definícii, niekoľko rovnobežiek určuje proporcionálne zodpovedajúce segmenty v ich priečnych čiarach.

Na obrázku 3 sú priamky rovnobežné a môžeme zabezpečiť:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\ (\frac{{{A_2}{A_3}}}{{{A_3}{A_4}}} = \frac{{{B_2}{B_3}}}{{{B_3}{B_4}}}\)\( \frac{{{A_2}{A_4}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_2}{B_4}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_3}{A_4}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_3}{B_4}}}\)\(\frac{{{A_1}{A_3}}}{{{A_1}{A_2}}} = \frac{{{B_1}{B_3}}}{{{B_1}{B_2}}}\)

Všimnime si, že prvé dva predchádzajúce proporcie sú ekvivalentné nasledujúcim proporciám:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\ (\frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}}\)Vyššie dostaneme:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac {{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3} + {A_3}{A_4}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3} + {B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_4}}}{{{B_1}{B_4}}}\)

Pri mnohých príležitostiach je lepšie pracovať s predchádzajúcimi proporciami a v tomto prípade:

\(\frac{{{A_i}{A_j}}}{{{B_i}{B_j}}} = k\)

Obráť Thalesovu vetu

Ak niekoľko čiar určuje proporcionálne zodpovedajúce segmenty vo svojich priečnych čiarach, potom sú čiary rovnobežné

Ak je na obrázku 4 splnená

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}}\)

Potom môžeme potvrdiť, že: \({L_1}\paralelný {L_2}\paralelný {L_3}.\)

Zápis \({L_1}\paralelný {L_2}\), čítaný \({L_1}\) je paralelný k \({L_2}\).

Z predchádzajúceho podielu dostaneme:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac {{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_1}{A_3}}}{{{ B_1}{B_3}}}\)

Rozdelenie segmentu na niekoľko častí rovnakej dĺžky

Na konkrétnom príklade si ukážeme, ako rozdeliť segment na časti rovnakej dĺžky.

Rozdeľte segment \(\overline {AB} \) na 7 rovnako dlhých segmentov

Východisková situácia

Nakreslite pomocnú čiaru, ktorá prechádza cez jeden z koncov segmentu

S podporou kompasu sa na pomocnú čiaru nakreslí 7 rovnako dlhých segmentov

Nakreslite čiaru, ktorá spája konce posledného nakresleného segmentu a druhý koniec segmentu, ktorý sa má rozdeliť

Sú nakreslené rovnobežne s poslednou práve nakreslenou čiarou, ktorá prechádza bodmi, kde sa oblúky obvodu pretínajú s pomocnou čiarou.

Daný segment \(\overline {AB} \), bod \(P\) tohto segmentu delí segment \(\overline {AB} \) v pomere \(\frac{{AP} } {{PB}}.\)

Rozdelenie segmentu v danom pomere

Daný je segment \(\overline {AB} \) a dve kladné celé čísla \(a, b\); bod \(P\), ktorý delí segment v pomere \(\frac{a}{b};\;\), možno nájsť takto:

1. Rozdeľte segment \(\overline {AB} \) na \(a + b\) segmenty rovnakej dĺžky.
2. Vezmite \(a\) segmenty počítané od bodu \(A\).

príklady

Delenie segmentu \(\overline {AB} \) v pomere \(\frac{a}{b}\)

Dôvod	Počet častí, na ktoré je segment rozdelený	Poloha bodu \(P\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{4}{3}\)	\(4 + 3 = 7\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = 6 = \frac{6}{1}\)	\(6 + 1 = 7\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{2}{3}\)	\(2 + 3 = 5\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{3}{2}\)	\(3 + 2 = 5\)

Aplikované príklady Thalesovej vety

prihláška 1: Tri pozemky siahajú od ulice Sol po ulicu Luna, ako je znázornené na obrázku 5.

Bočné hranice sú segmenty kolmé na ulicu Luna. Ak celkové priečelie pozemkov na ulici Sol meria 120 metrov, určite priečelie každého pozemku na uvedenej ulici, ak je tiež známe:

\({A_1}{A_2} = 10{\rm{m}},\;{A_2}{A_3} = 40{\rm{m}},\;{A_3}{A_4} = 20{\rm{ m}},\;{A_4}{A_5} = 30{\rm{m}}.\)

Vyhlásenie o probléme

Keďže čiary sú kolmé na Luna Street, potom sú navzájom rovnobežné, použitím Thalesovej vety môžeme potvrdiť:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}},\; \;\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_1}{A_4}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_1}{B_4}}}\;,\;\;\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_1}{A_5}} } = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_1}{B_5}}}\)Z vyššie uvedeného môžeme konštatovať:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_1}{A_4}}}{{{B_1}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_5}}}{{{B_1}{B_5}}}\;\)

Podobne môžeme dospieť k záveru:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_4}{A_5}}}{{{B_4}{B_5}}}\)

Riešenie

Na určenie konštanty proporcionality \(k,\) použijeme vlastnosti proporcií:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_4}{A_5}}}{{{B_4}{B_5}}} = \frac{{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3} + {A_3}{A_4} + {A_4}{A_5}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3} + { B_3}{B_4} + {B_4}{B_5}}} = \frac{{{A_1}{A_5}}}{{{B_1}{B_5}}} = \frac{100}}{{120}} = \frac{5}{6}\)

Z vyššie uvedeného dostaneme:
\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{5}{6}\)\(\frac{{{B_1}{B_2}}}{ {{A_1}{A_2}}} = \frac{6}{5}\)\({B_1}{B_2} = \frac{6}{5}{A_1}{A_2} = \frac{6}{ 5}\vľavo( {10} \vpravo) = 12.\)

Analogicky:

\({B_2}{B_3} = \frac{6}{5}{A_2}{A_3} = \frac{6}{5}\left( {40} \right) = 48\)\({B_3} {B_4} = \frac{6}{5}{A_3}{A_4} = \frac{6}{5}\left( {20} \right) = 24\)\({B_4}{B_5} = \frac{6}{5}{A_4}{A_5} = \frac{6 }{5}\left( {30} \right) = 36\)

Odpoveď

Segment	\({B_1}{B_2}\)	\({B_2}{B_3}\)	\({B_3}{B_4}\)	\({B_4}{B_5}\)
Dĺžka	12 m	48 m	24 m	36 m

prihláška 2: Grafik navrhol policu v tvare rovnobežníka a umiestni 3 police, ako je znázornené na obrázku Obrázok 6, body E a F sú stredy strán \(\overline {AD} \) a \(\overline {BC} ,\) resp. Aby ste mohli zostaviť zostavy, musíte do políc urobiť zárezy. V ktorej časti políc by sa mali robiť rezy?

Vyhlásenie problému: Vzhľadom na podmienky, ktoré sú uvedené v probléme, je splnené nasledovné:

\(ED = EA = CF = BF\)

Ako pomocné konštrukcie predĺžime strany \(\overline {CB} \) a \(\overline {DA} \). Cez bod A sa vedie čiara cez \(A\) a rovnobežne so stranou \(\overline {EB} \) a cez bod \(C\;\) sa vedie čiara rovnobežná so stranou \(\overline {DF} \).

Použijeme Konverzu Thalesovej vety, aby sme ukázali, že segmenty \(\overline {EB} \) a \(\overline {DF} \) sú paralelné, aby sme mohli aplikovať Thalesovu vetu.

Riešenie

Podľa konštrukcie je štvoruholník \(EAIB\) rovnobežník, takže máme EA=BI, pretože sú opačnými stranami rovnobežníka. teraz:

\(\frac{{DE}}{{EA}} = \frac{{BF}}{{BI}} = 1\)

Aplikovaním recipročnej recipročnej hodnoty Thalesovej vety môžeme dospieť k záveru:

\(\overline {AI} \paralelný \overline {EB} \paralelný \overline {DF} \paralelný \overline {JC} \)

Vezmeme-li segmenty \(\overline {AI} \parallel \overline {EB} \parallel \overline {DF} \parallel \overline {JC} \) a segmenty BC a CI ako ich transverzály; ako:

\(FC = BF = BI\)\(CH = HG = GA\)

Ak vezmeme \(\overline {AD} \paralelný \overline {BC} \) a segmenty \(\overline {AC} \) a \(\overline {EB} \) ako ich priečniky, získame:

\(\frac{{EG}}{{GB}} = \frac{{AG}}{{GC}} = \frac{{AG}}{{CH + HG}} = \frac{{AG}} {{2\left( {AG} \right)}} = \frac{1}{2}\)

Podobne sa ukazuje, že:

\(\frac{{DH}}{{HF}} = 2\)

Odpovede

Diagonálne rezy \(\overline {AC} \) musia byť urobené v bodoch \(G\;\) a \(H\) tak, aby:

\(\frac{{AG}}{{AC}} = \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{1}{3}\)

To isté platí pre police \(\overline {EB} \) a \(\overline {DF} \).