Definícia racionalizácie radikálov (matematika)

Racionalizácia radikálov je matematický proces, ktorý sa vykonáva, keď je v menovateli kvocient s radikálmi alebo koreňmi. Týmto spôsobom môžu byť uľahčené matematické operácie tam, kde sú zahrnuté kvocienty s radikálmi a inými typmi matematických objektov.

Typy kvocientov s radikálmi

Je dôležité spomenúť niektoré typy kvocientov s radikálmi, ktoré možno racionalizovať. Predtým, ako sa však naplno pustíme do procesu zefektívnenia, je potrebné zapamätať si niekoľko dôležitých pojmov. Najprv predpokladajme, že máme nasledujúci výraz: \(\sqrt[m]{n}\). Toto je koreň \(m\) čísla \(n\), to znamená, že výsledkom uvedenej operácie je číslo také, že jeho umocnením \(m\) dostaneme číslo \(n\) v dôsledku toho). Mocnina a odmocnina sú inverzné operácie, a to takým spôsobom, že: \(\sqrt[m]{{{n^m}}} = n\).
Na druhej strane stojí za zmienku, že súčin dvoch rovnakých koreňov sa rovná odmocnine súčinu, teda že: \(\sqrt[m]{n}\sqrt[m]{p} = \sqrt[m ]{{np}}\). Tieto dve vlastnosti budú našimi najlepšími spojencami pri racionalizácii.

Najbežnejší a najjednoduchší typ kvocientu s radikálom, ktorý môžeme nájsť, je nasledujúci:

\(\frac{a}{{b\sqrt c }}\)

Kde \(a\), \(b\) a \(c\) môžu byť akékoľvek reálne čísla. Racionalizačný proces v tomto prípade pozostáva z nájdenia spôsobu, ako získať v kvociente výraz \(\sqrt {{c^2}} = c\), aby sme sa zbavili radikálu. V tomto prípade stačí vynásobiť \(\sqrt c \) čitateľa aj menovateľa:

\(\frac{a}{{b\sqrt c }} = \frac{a}{{b\sqrt c }}\frac{{\sqrt c }}{{\sqrt c }} = \frac{{ a\sqrt c }}{{b\sqrt c \sqrt c }}\)

Pamätajúc na to, čo bolo spomenuté vyššie, vieme, že \(\sqrt c \sqrt c = \sqrt {{c^2}} = c\). Preto nakoniec dostaneme:
\(\frac{a}{{b\sqrt c }} = \frac{a}{{bc}}\sqrt c \)

Týmto spôsobom sme racionalizovali predchádzajúci výraz. Tento výraz nie je nič iné ako konkrétny prípad všeobecného výrazu, ktorý je nasledujúci:

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}}\)

Kde \(a\), \(b\), \(c\) sú ľubovoľné reálne čísla a \(n\), \(m\) sú kladné mocniny. Racionalizácia tohto výrazu je založená na rovnakom princípe ako predchádzajúci, teda získajte výraz \(\sqrt[n]{{{c^n}}} = c\) v menovateli. Môžeme to dosiahnuť vynásobením \(\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}\) čitateľa aj menovateľa:

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}} = \frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}} }\frac{{\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}{{\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}} = \frac{{a\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}\)

Produkt radikálov v menovateli môžeme vyvinúť takto: \(\sqrt[n]{{{c^m}}}\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}} = \sqrt[n]{{{c^m}{c^ {n – m}}}} = \sqrt[n]{{{c^{m + \left( {n – m} \right)}}}} = \sqrt[n]{{{c^n}}} = c\). Preto racionalizovaný kvocient zostáva takto:

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}} = \frac{a}{{bc}}\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}\)

Iný typ kvocientu s radikálmi, ktorý možno racionalizovať, je ten, v ktorom máme v menovateli binom s odmocninou:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }}\)

Kde \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) a \(e\;\) sú akékoľvek reálne čísla. Symbol \( ± \) označuje, že znamienko môže byť kladné alebo záporné. Binomický menovateľ môže mať oba korene alebo iba jeden, avšak tento prípad používame na získanie všeobecnejšieho výsledku. Ústredná myšlienka uskutočniť racionalizačný proces je v tomto prípade rovnaká ako v predchádzajúcich prípadoch, ibaže v tomto prípade vynásobíme čitateľa aj menovateľa konjugátom dvojčlenky nájdenej v menovateľ. Konjugát dvojčlena je dvojčlen, ktorý má rovnaké pojmy, ale ktorého centrálny symbol je opačný ako pôvodný dvojčlen. Napríklad konjugát dvojčlenky \(ux + vy\) je \(ux – vy\). Ako bolo povedané, potom máme:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }}\frac{{b\sqrt c \ mp d\sqrt e }}{{b\sqrt c \mp d\sqrt e }} = \frac{{a\left( {b\sqrt c \mp d\sqrt e } \right)}}{{\left( {b\sqrt c \pm d\sqrt e } \right)\left( {b \sqrt c \mp d\sqrt e } \right)}}\)

Symbol \( \mp \) označuje, že znamienko môže byť kladné alebo záporné, ale musí byť opačné k symbolu menovateľa, aby bolo možné konjugovať dvojčleny. Vyvinutím násobenia dvojčlenov menovateľa dostaneme, že:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{{a\left( {b\sqrt c \mp d\sqrt e } \right)}}{{{ b^2}\sqrt {{c^2}} + bd\sqrt {ce} – bd\sqrt {ce} – {d^2}\sqrt {{e^2}} }}\)

Nakoniec to dostaneme:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{a}{{{b^2}c – {d^2}e}}\left( {b\ sqrt c \mp d\sqrt e } \vpravo)\)

Týmto sme racionalizovali kvocient s radikálom. Tieto kvocienty s radikálmi sú tie, ktoré možno vo všeobecnosti racionalizovať. Ďalej uvidíme niekoľko príkladov racionalizácie radikálov.

príklady

Pozrime sa na niekoľko príkladov racionalizácie s kvocientmi s radikálmi vyššie uvedeného typu. Najprv predpokladajme, že máme nasledujúci kvocient:

\(\frac{3}{{7\sqrt 2 }}\)

V tomto prípade stačí vynásobiť čitateľa a menovateľa \(\sqrt 2 \)

\(\frac{3}{{7\sqrt 2 }} = \frac{3}{{7\sqrt 2 }}\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = \frac{3 }{{7\sqrt 2 \sqrt 2 }}\sqrt 2 = \frac{3}{{7\sqrt 4 }}\sqrt 2 = \frac{3}{{14}}\sqrt 2 \)

Teraz predpokladajme, že máme nasledujúci kvocient s radikálom:

\(\frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}}}\)

V tomto prípade máme šiestu odmocninu kubickej mocniny. V predchádzajúcej časti sme spomenuli, že ak máme radikál v tvare \(\sqrt[n]{{{c^m}}}\) v menovateľ, môžeme racionalizovať kvocient vynásobením čitateľa a menovateľa pomocou \(\sqrt[n]{{{c^{n –m}}}}\). Ak to porovnáme s tu uvedeným prípadom, môžeme si uvedomiť, že \(n = 6\), \(c = 4\) a \(m = 3\), preto Preto môžeme predchádzajúci kvocient racionalizovať vynásobením čitateľa a menovateľa \(\sqrt[6]{{{4^3}}}\):

\(\frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}}} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}} }\frac{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}}{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}\sqrt[6]{{{4^3}}}}}\sqrt[6]{{{4^3} }} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^6}}}}}\sqrt[6]{{{4^3}}} = \frac{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}}{6}\)

Nakoniec predpokladajme, že máme nasledujúcu funkciu:

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }}\)

Ako je uvedené v predchádzajúcej časti, na racionalizáciu tohto typu kvocientu s radikálmi musíte vynásobiť čitateľa a menovateľa konjugátom menovateľa. V tomto prípade by konjugát menovateľa bol \(x – \sqrt x \). Preto bude výraz vyzerať takto:

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }}\frac{{x – \sqrt x }}{{x – \sqrt x }} = \frac{1}{{\left( {x + \sqrt x } \right)\left( {x – \sqrt x } \right)}}\left( {x – \sqrt x } \right)\)

Rozvíjaním násobenia konjugovaných binomických čísel menovateľa nakoniec získame, že:

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }} = \frac{{x – \sqrt x }}{{{x^2} – x}}\)

Referencie

Aguilar Arturo, Bravo Fabián, Gallegos Herman, Cerón Miguel & Reyes Ricardo. (2009). Aritmetika. Mexiko: Pearsonovo vzdelávanie.