Definícia dostredivej sily

Dostredivá sila je sila pôsobiaca na objekt pohybujúci sa po zakrivenej dráhe. Smer tejto sily je vždy smerom k stredu krivky a je to, čo udržuje objekt na tejto dráhe a bráni mu pokračovať v priamom pohybe.

Krivočiary pohyb a dostredivá sila

Predpokladajme, že máme objekt, ktorý sa pohybuje po kruhovej dráhe. Na opis krivočiareho pohybu tohto telesa sa používajú uhlové a lineárne premenné. Uhlové premenné sú tie, ktoré opisujú pohyb objektu z hľadiska uhla, ktorý „zametá“ pozdĺž svojej dráhy. Na druhej strane lineárne premenné sú tie, ktoré používajú jeho poloha vzhľadom na bod otáčania a jeho rýchlosť v tangenciálnom smere krivka.

Dostredivé zrýchlenie \({a_c}\), ktoré zažíva objekt pohybujúci sa po trajektórii kruhová s tangenciálnou rýchlosťou \(v\) a vo vzdialenosti \(r\) od bodu rotácie bude daná:

\({a_c} = \frac{{{v^2}}}{r}\)

Centripetálne zrýchlenie je lineárna premenná, ktorá sa používa na opis krivočiareho pohybu a smeruje k stredu zakrivenej dráhy. Na druhej strane, uhlová rýchlosť ω objektu, to znamená rýchlosť zmeny uhla sklonu (v radiánoch) za jednotku času, je daná vzťahom:

\(\omega = \frac{v}{r}\)

Alebo môžeme vyriešiť pre \(v\):

\(v = \omega r\)

Toto je vzťah, ktorý existuje medzi lineárnou rýchlosťou a uhlovou rýchlosťou. Ak to zapojíme do výrazu pre dostredivé zrýchlenie, dostaneme:

\({a_c} = {\omega ^2}r\)

Druhý Newtonov zákon nám hovorí, že zrýchlenie telesa je priamo úmerné sile, ktorá naň pôsobí, a nepriamo úmerné jeho hmotnosti. Alebo vo svojej najznámejšej podobe:

\(F = ma\)

Kde \(F\) je sila, \(m\) je hmotnosť objektu a \(a\) je zrýchlenie. V prípade krivočiareho pohybu, ak existuje dostredivé zrýchlenie, musí existovať aj sila dostredivé \({F_c}\), ktoré pôsobí na teleso s hmotnosťou \(m\) a ktoré spôsobuje dostredivé zrýchlenie \({a_c}\), je povedať:

\({F_c} = m{a_c}\)

Nahradením predchádzajúcich výrazov pre dostredivé zrýchlenie dostaneme, že:

\({F_c} = \frac{{m{v^2}}}{r} = m{\omega ^2}r\)

Dostredivá sila smeruje do stredu krivočiarej dráhy a je zodpovedná za neustále meniť smer pohybu objektu, aby sa udržal v pohybe zakrivené.

Gravitácia ako dostredivá sila a Tretí Keplerov zákon

Tretí Keplerov zákon pohybu planét hovorí, že druhá mocnina obežnej doby, teda času Čas potrebný na to, aby planéta dokončila jeden obeh okolo Slnka, je úmerná tretej mocnine hlavnej poloosi obežná dráha. To je:

\({T^2} = C{r^3}\)

Kde \(T\) je obežná doba \(C\), je to konštanta a \(r\) je hlavná poloos alebo maximálna vzdialenosť medzi planétou a Slnkom počas jej obežnej dráhy..

Pre jednoduchosť uvažujme planétu s hmotnosťou \(m\), ktorá sa pohybuje po kruhovej dráhe okolo Slnka, hoci táto analýza môže byť rozšírená na prípad eliptickej dráhy a získať to isté výsledok. Sila, ktorá drží planétu na jej obežnej dráhe, je gravitácia, ktorá bude:

\({F_g} = \frac{{G{M_S}m}}{{{r^2}}}\)

Kde \({F_g}\) je gravitačná sila, \({M_S}\) je hmotnosť Slnka, \(G\) je univerzálna gravitačná konštanta a \(r\) je vzdialenosť medzi planétami a slnko. Ak sa však planéta pohybuje po kruhovej dráhe, pôsobí na ňu dostredivá sila \({F_c}\), ktorý ho udrží na uvedenej trajektórii a ktorý z hľadiska uhlovej rýchlosti \(\omega \) bude daná:

\({F_c} = m{\omega ^2}r\)

Zvláštne je, že v tomto prípade je gravitácia tá dostredivá sila, ktorá drží planétu na jej obežnej dráhe, v niekoľkých slovách \({F_g} = {F_c}\), preto môžeme povedať, že:

\(\frac{{G{M_S}m}}{{{r^2}}} = m{\omega ^2}r\)

Čo môžeme zjednodušiť ako:

\(G{M_S} = {\omega ^2}{r^3}\)

Uhlová rýchlosť súvisí s obežnou dobou nasledujúcim spôsobom:

\(\omega = \frac{{2\pi }}{T}\)

Dosadením do predchádzajúcej rovnice dostaneme, že:

\(G{M_S} = \frac{{4{\pi ^2}}}{{{T^2}}}{r^3}\)

Preusporiadaním podmienok nakoniec získame, že:

\({T^2} = \frac{{4{\pi ^2}}}{{G{M_S}}}{r^3}\)

Ten druhý je práve Tretí Keplerov zákon, ktorý sme uviedli predtým a ak porovnáme konštantu proporcionality, bude to \(C = 4{\pi ^2}/G{M_S}\).

A čo odstredivá sila?

Pre tento typ pohybu je bežnejšie hovoriť o „odstredivej sile“ namiesto o dostredivej sile. Predovšetkým preto, že je to to, čo zjavne cítime, keď to zažívame. Odstredivá sila je však fiktívna sila vyplývajúca zo zotrvačnosti.

Predstavme si, že ideme v aute, ktoré ide určitou rýchlosťou a zrazu zabrzdí. Keď sa to stane, pocítime silu, ktorá nás tlačí vpred, avšak táto zdanlivá sila, ktorú cítime, je zotrvačnosťou nášho vlastného tela, ktoré si chce udržať svoj stav pohybu.

V prípade krivočiareho pohybu je odstredivá sila zotrvačnosťou telesa, ktoré si chce udržať svoju priamočiary pohyb, ale ktorý je vystavený dostredivej sile, ktorá ho drží na zakrivenej dráhe.

Referencie

David Halliday, Robert Resnick a Jearl Walker. (2011). Základy fyziky. Spojené štáty: John Wiley & Sons, Inc.