Príklad úplného vesmíru

Matematická analýza je odbor matematických vied, ktorý sa zaoberá štúdiom plný priestor, čo je typ metrického priestoru.

Metrický priestor je tvorený dvojicami bodov a funkciou vzdialenosti medzi nimi; v týchto priestoroch je možné definovať Cauchyovu postupnosť, ktorá je tvorená čoraz menšími vzdialenosťami medzi týmito dvoma bodmi. Keď v metrickom priestore už nie je možné nájsť menšiu vzdialenosť v poradí, potom máme a plný priestor. Uzavreté číselné množiny, to znamená tie, v ktorých je limit, sú úplné medzery.

Príklad celého priestoru:

Množina prirodzených čísel vrátane 0 je úplný priestor, pretože je uzavretá do konca 0. Zastúpenie tejto množiny čísel je N= [0, 1, 2,... n}.

Vezmime akékoľvek dva body medzi dvoma prvkami tejto množiny, napríklad 4 a 8, znázornenými nasledujúcim spôsobom p = (4, 8), funkcia vzdialenosti medzi dvoma bodmi sa rovná 4, Cauchyova postupnosť je daná postupnosťou {4, 3, 2, 1, 0}, ktorá konverguje na 0.

Ďalším príkladom je množina kladných reálnych čísel vytvorená pomocou {0}, ktorá je vyjadrená ako

A⁺= [0, 1, 2, 3, 4,…. N}, pretože vzhľadom na to, že v tomto priestore sú dva body, bude Cauchyho postupnosť konvergovať, keď bude vzdialenosť 0

Množina racionálnych čísel nie je úplným priestorom, pretože vzdialenosť 0 (číslo 0 ako číslo nie) čo v tejto množine existuje), čo spôsobuje, že Cauchyova sekvencia nie je v žiadnom bode konvergentná nastaviť.

Akýkoľvek uzavretý interval prirodzených čísel je úplný priestor.