Definicija neevklidske geometrije

V bistvu so neevklidske geometrije tiste, ki izhajajo iz preizpraševanja t.i. Evklidov peti postulat, zato je bistvena splošna karakterizacija dela Evklida, ki je bil grški matematik in geometer, katerega delo je paradigmatično za Geometrija, ki velja za enega njegovih ustanoviteljev. Z gotovostjo je znano varnost ki je živel v mestu Aleksandrija, kulturno središče antike, okoli leta 300 pr. c.

Njegovo delo Elementi začne se z vrsto "načel", sestavljenih iz seznama 23 definicij; sledi 5 postulatov, ki se nanašajo na številke posebej geometrijske; in 5 splošnih aksiomov, skupnih drugim matematičnim disciplinam. Nato po načelih Evklid uvede "predloge" dveh vrst: probleme, ki se nanašajo na

stavbe figur s pravilom in kompasom; in izreki, ki se nanašajo na prikaz lastnosti, ki jih nekateri geometrijske figure.

Evklidov peti postulat

Navaja, da "Če ravna črta, ki pade na dve drugi ravni črti, naredi notranja kota iste strani manjša od dveh ravnih črt, potem, če se premici neomejeno podaljšujeta, se srečata na strani, na kateri sta kota manjša od dva naravnost”. Če bi bili koti pravi, bi bile takšne premice po definiciji št. 23 vzporedne ("Vzporedne premice so premice, ki se, če so v isti ravnini in se podaljšujejo za nedoločen čas, ne srečujejo v nobeni smeri.”).

Ta postulat, bolj zapleten od prejšnjih, sam po sebi ni bil nedvomen: ni bilo očitno, da se podaljševanje premici v nedogled, bi se sekali na strani, kjer sta bila kota manjša od dveh pravih kotov, saj tega ne bi bilo mogoče dokazati z stavbe. Potem je ostala odprta možnost, da sta se vrstici neomejeno približevali, ne da bi se kdaj sekali.

Poskusi dokazovanja petega postulata

Prav zaradi tega se je od antike do sredine 19. stoletja nizal niz neuspešnih poskusov dokazovanja petega postulata: vedno je bil dosežen dokaz; vendar uvaja še kakšen dodaten postulat (logično enakovreden petemu), ki se razlikuje od Evklidovega. To pomeni, da petega postulata ni bilo mogoče dokazati, ampak ga je nadomestil enakovredni.

Primer tega je postulat Johna Playfaira (s. XVIII): "Ena sama točka, vzporedna s to premico, poteka skozi točko zunaj premice, ki je v isti ravnini." (poznan kot "vzporedni postulat”). Neevklidske geometrije izhajajo prav iz neuspešnih poskusov dokazovanja petega postulata evklidskega sistema.

Saccherijev test absurdnosti

Leta 1733 je italijanski matematik Girolamo Saccheri poskušal dokazati nesmiselnost Evklidovega petega postulata. Da bi to naredil, je zgradil štirikotnik (znan kot "Saccherijev štirikotnik", v katerem je en par kotov pravih kotov) in navedel, da je peti postulat enakovreden trditvi, da značilni koti (tisti nasproti paru pravih kotov) tega štirikotnika so prav tako pravi koti. potem so trije hipoteza možno, medsebojno izključujoče: da sta dva značilna kota prava, ostra ali topa. Da bi peti postulat dokazali z absurdom, je bilo treba dokazati (ne da bi se zatekli k petemu postulirano), da hipotezi o topem in ostrem kotu pomenita protislovje in so zato napačno.

Saccheriju je uspelo dokazati, da je hipoteza o tupom kotu protislovna, v primeru akutnega kota pa mu ni uspelo. Nasprotno, izpeljal je vrsto izrekov, ki so skladni in nezdružljivi z evklidsko geometrijo. Končno je zaključil, da mora biti hipoteza glede na nenavadnost teh izrekov napačna. Posledično je verjel, da je peti postulat dokazal za absurdno; vendar je storil, da je nehote dokazal pomemben niz izrekov neevklidske geometrije.

"Hkratno" odkritje neevklidskih geometrij

Carl F. Gauss je v devetnajstem stoletju prvi posumil, da petega postulata ni mogoče dokazati iz ostalih štirih (to je, da je neodvisno) in pri zasnovi možnosti neevklidske geometrije, ki je temeljila na štirih evklidskih postulatih in na negaciji peti. Svojega odkritja ni nikoli objavil: to velja za primer hkratno odkritje, ker je imel tri neodvisne referente (sam Gauss, János Bolyai in Nikolaj Lobačevski).

Zanikanje do peti zakon Evklidovega implicira dve možnosti (ob upoštevanju enakovredne formulacije Playfair): skozi točko zunaj ravne črte bodisi ni vzporednih prehodov bodisi več vzporednih prehodov. Med neevklidskimi geometrijami najdemo na primer geometrijo "imaginarno« Lobačevskega, pozneje znanega kot »hiperbolični"- po navedbah, "Glede na zunanjo točko premice skozi to točko potekata neskončno sekajoče se premice, neskončno nesekajoče se črte in samo dve vzporedni premici.«, za razliko od edinstvene evklidske vzporednice; ali eliptična geometrija Bernharda Riemanna, ki pravi, da "Skozi točko zunaj premice ne poteka nobena vzporednica s to premico.”.

Uporaba in posledice odkritja

Trenutno je znano, da v lokalnem prostoru obe geometriji dajeta približne rezultate. Razlike se pojavijo, ko je fizični prostor opisan z eno ali drugo geometrijo, upoštevajoč velike razdalje. Čeprav še naprej uporabljamo evklidsko geometrijo, saj je tista, ki najbolj preprosto opisuje naš prostor v lokalnem merilu, je odkritje neevklidskih geometrij je bil odločilen, kolikor je pomenil radikalno preobrazbo razumevanja resnic. znanstveni.

Do takrat je veljalo, da evklidska geometrija resnično opisuje prostor. Pri dokazovanju možnosti njegovega opisovanja skozi drugo geometrijo, z drugimi postulati, je bilo treba ponovno premisliti kriterije, po katerih je bilo mogoče domnevati eno ali drugo razlago, kot je "prav”.

Bibliografija

MARTINEZ LORCA, A. (1980) »Sokratova etika in njihov vpliv na misel Occidental«, v Revista Baética: Estudios de Arte, Geografija in zgodovina, 3, 317-334. Univerza v Malagi.

Teme iz neevklidske geometrije