Kaj so Maxwellove enačbe in kako so definirane?

Angel Zamora Ramirez | jul. 2022
Diploma iz fizike

Pred temi enačbami je bilo rečeno, da sta električna in magnetna sila "sili na daljavo", ni bilo znano nobeno fizično sredstvo, s pomočjo katerega bi prišlo do te vrste interakcije. Po dolgoletnih raziskavah elektrika Y magnetizemMichael Faraday je slutil, da bi moralo obstajati nekaj fizičnega v prostoru med naboji in električnimi tokovi, kar bi jim omogočilo interakcijo med seboj in manifestiranje vseh električnih in magnetnih pojavov, ki so bili znani, jih je sprva imenoval "silnice", kar je vodilo do ideje o obstoju elektromagnetnega polja.

Na podlagi Faradayeve zamisli James Clerk Maxwell razvije teorijo polja, ki jo predstavljajo štiri parcialne diferencialne enačbe. Maxwell je to imenoval "elektromagnetna teorija" in je bil prvi, ki je to vrsto matematičnega jezika vključil v fizikalno teorijo. Maxwellove enačbe v njihovi diferencialni obliki za vakuum (to je v odsotnosti dielektričnih in/ali polarizacijskih materialov) so naslednje:

\(\nabla \cdot \vec{E}=\frac{\rho }{{{\epsilon }_{0}}}\)
\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)
\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)
\(\nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}\vec{J}+{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac {\delno \vec{E}}{\delno t}\)
Maxwellove enačbe za vakuum v njegovi diferencialni obliki

Kjer je \(\vec{E}~\) električno polje, \(\vec{B}~\) magnetno polje, \(\rho ~\) gostota električni naboj, \(\vec{J}~~\) je vektor, povezan z a električni tok, \({{\epsilon }_{0}}~\) je električna prepustnost vakuuma in \({{\mu }_{0}}~~\) je magnetna prepustnost vakuuma. Vsaka od teh enačb ustreza a pravo elektromagnetizma in ima pomen. Spodaj bom na kratko razložil vsakega od njih.

Gaussov zakon

\(\nabla \cdot \vec{E}=\frac{\rho }{{{\epsilon }_{0}}}\)
Gaussov zakon za električno polje

Ta prva enačba nam pove, da so električni naboji viri električnega polja, to električno polje "divergira" neposredno od nabojev. Poleg tega je smer električnega polja določena z znakom električnega naboja, ki ga proizvaja, in kako blizu so poljske črte, kaže na velikost samega polja. Spodnja slika nekoliko povzema pravkar omenjeno.

Ilustracija 1. Iz Studiowork.- Diagram električnih polj, ki jih ustvarjata dva točkasta naboja, en pozitiven in en negativen.

Ta zakon je dobil svoje ime po matematiku Johannu Carlu Friedrichu Gaussu, ki ga je oblikoval na podlagi svojega izreka o divergenci.

Gaussov zakon za magnetno polje

\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)

Gaussov zakon za magnetno polje

Ta zakon nima posebnega imena, ampak se tako imenuje zaradi podobnosti s prejšnjo enačbo. Pomen tega izraza je, da ne obstaja "magnetni naboj", analogen "električnemu naboju", to pomeni, da ni magnetnih monopolov, ki so vir magnetnega polja. To je razlog, zakaj bomo imeli, če magnet prelomimo na pol, še vedno dva podobna magneta, oba s severnim in južnim polom.

Faradayev zakon

\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)
Faradayev zakon indukcije

To je slavni zakon indukcije, ki ga je oblikoval Faraday, ko je leta 1831 odkril, da lahko spreminjajoča se magnetna polja inducirajo električne tokove. Ta enačba pomeni, da lahko magnetno polje, ki se s časom spreminja, inducira okoli njega električno polje, ki lahko povzroči premikanje električnih nabojev in ustvarjanje a tok. Čeprav se to na prvi pogled morda sliši zelo abstraktno, Faradayev zakon stoji za delovanjem motorjev, električnih kitar in indukcijskih kuhalnih plošč.

Ampère-Maxwellov zakon

\(\nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}\vec{J}+{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac {\delno \vec{E}}{\delno t}\)

Prva stvar, ki nam ta enačba pove, je, da električni tokovi ustvarjajo magnetna polja okoli smeri toka in to magnituda ustvarjenega magnetnega polja je odvisna od magnitude tega, to je opazil Oersted in da je kasneje Ampère lahko oblikovati. Vendar je za to enačbo nekaj zanimivega, in to je drugi člen na strani pravo enačbe je uvedel Maxwell, ker je bil ta izraz prvotno nedosleden pri drugih je še posebej prišlo do kršitve zakona o ohranitvi električnega naboja. Da bi se temu izognil, je Maxwell preprosto uvedel ta drugi izraz, da bi bila njegova celotna teorija dosledna, ta izraz je dobil ime "izpodrivni tok" in takrat ni bilo nobenih eksperimentalnih dokazov, ki bi to podprli. bo varnostno kopiral

Ilustracija 2. De Rumruay.- Električni tok, ki teče skozi kabel, ustvari okoli njega magnetno polje po Amperovem zakonu.

Pomen toka premika je, da na enak način kot magnetno polje spremenljivka inducira električno polje, električno polje, ki se s časom spreminja, lahko ustvari polje magnetni. Prva eksperimentalna potrditev toka odmika je bila demonstracija obstoja elektromagnetnih valov Heinricha Hertza leta 1887, več kot 20 let po objavi teorije o Maxwell. Vendar pa je prvo neposredno merjenje toka premika izvedel M. R. Van Cauwenberghe leta 1929.

svetloba je elektromagnetno valovanje

Ena prvih osupljivih napovedi Maxwellovih enačb je obstoj elektromagnetnih valov, a ne samo to, razkrili so tudi, da mora biti svetloba valovanje tega Vrsta. Da bi to nekoliko videli, se bomo poigrali z Maxwellovimi enačbami, a pred tem je tukaj oblika katere koli valovne enačbe:

\({{\nabla }^{2}}u=\frac{1}{{{v}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial {{ t}^{2}}}\)
Splošna oblika valovne enačbe v treh dimenzijah.

Kjer je \({{\nabla }^{2}}\) Laplacev operator, \(u\) valovna funkcija in \(v\) hitrost valovanja. Z Maxwellovimi enačbami bomo delali tudi v praznem prostoru, torej v odsotnosti električnih nabojev in električnih tokov, samo električno in magnetno polje:

\(\nabla \cdot \vec{E}=0\)

\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)

\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)

\(\nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\)

In uporabili bomo tudi naslednje identiteta vektorski račun:

\(\nabla \times \left( \nabla \times \vec{A} \right)=\nabla \left( \nabla \cdot \vec{A} \right)-{{\nabla }^{2}} \time{A}\)

Če uporabimo to identiteto za električna in magnetna polja z uporabo zgornjih Maxwellovih enačb za prazen prostor, dobimo naslednje rezultate:

\({{\nabla }^{2}}\vec{E}={{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac{{{\partial }^{2} }\vec{E}}{\delno {{t}^{2}}}\)

\({{\nabla }^{2}}\vec{B}={{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac{{{\partial }^{2} }\vec{B}}{\delno {{t}^{2}}}\)

Upoštevajte podobnost teh enačb z valovno enačbo zgoraj, v sklep, električna in magnetna polja se lahko obnašajo kot valovanje (elektromagnetno valovanje). Če definiramo hitrost teh valov kot \(c\) in te enačbe primerjamo z zgornjo valovno enačbo, lahko rečemo, da je hitrost:

\(c=\frac{1}{\sqrt{{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}}}\)

\({{\mu }_{0}}\) in \({{\epsilon }_{0}}\) sta magnetna prepustnost oziroma električna prepustnost vakuuma in obe sta konstanti univerzale, katerih vrednosti so \({{\mu }_{0}}=4\pi \times {{10}^{-7}}~~T\cdot m/A\) in \({{\ epsilon } 0}}=8,8542\krat {{10}^{-12}}~{{C}^{2}}/N\cdot m~\), če zamenjamo te vrednosti, dobimo, da je vrednost \(c\) \(c=299.792.458\frac{m}{s}\približno 300.000~km/s\), kar je natančno hitrost svetloba.

S to majhno analizo lahko pridemo do treh zelo pomembnih zaključkov:

1) Električno in magnetno polje se lahko obnašata kot valovanje, to pomeni, da obstajajo elektromagnetni valovi, ki se lahko širijo tudi skozi vakuum.

2) Svetloba je elektromagnetno valovanje, katerega hitrost je odvisna od magnetne prepustnosti in dielektričnosti medija, skozi katerega se širi, ima svetloba v praznem prostoru hitrost pribl 300.000 km/s.

3) Ker sta magnetna prepustnost in električna prepustnost univerzalni konstanti, potem je hitrost svetlobe je tudi univerzalna konstanta, vendar to pomeni tudi, da njena vrednost ni odvisna od ogrodje od katerega se meri.

Ta zadnja trditev je bila takrat zelo sporna.Kako je mogoče, da hitrost svetloba je enaka ne glede na gibanje osebe, ki jo meri, in gibanje vira svetlobe. svetloba? Hitrost nečesa mora biti relativna, kajne? No, to je bila prelomnica za takratno fiziko in to preprosto, a globoko dejstvo je vodilo k razvoju teorije posebne relativnosti Alberta Einsteina leta 1905.