Definicija kvadratne funkcije

Kvadratna funkcija realne spremenljivke, katere oblika je izražena.

\(f\levo( x \desno) = a{x^2} + bx + c\)

Kjer je spremenljivka \(x\), \(a, b\) in c sta realni konstanti, imenovani koeficienti kvadratne funkcije z \(a \ne 0.\)

Tabela prikazuje splošne primere kvadratnih funkcij in situacijo, ki jo lahko modelirajo, da bi kasneje ponazorili njihovo neposredno uporabo iz resničnih problemov.

Kvadratna funkcija	Situacija, ki jo lahko modelirate
\(f\levo( x \desno) = {x^2}\)	Spremenljivka \(y\) je ploščina kvadrata, katerega stranica meri \(x\).
\(f\levo( x \desno) = \pi {x^2}\)	Spremenljivka \(y\) je površina kroga, katerega polmer je \(x\).
\(f\levo( x \desno) = 100 – 4,9{x^2}\)	Spremenljivka \(y\) je višina predmeta, ki je padel na višino 100 in \(x\) je pretečeni čas.
\(f\levo( x \desno) = 60\levo( {{\bf{sin}}45^\circ } \desno) x – 4,9{x^2}\)	Spremenljivka \(y\) je višina topovske krogle, vržene pod kotom 45° s hitrostjo 60 m/s in \(x\) je pretečeni čas.

Splošna formula in kvadratna funkcija

Če je za \(x = \alpha \) kvadratna funkcija enaka nič, potem je število \(\alpha \) se imenuje koren kvadratne funkcije, da, \(\alpha \) je rešitev kvadratne enačbe

\(a{x^2} + bx + c = 0\)

Splošna formula za reševanje kvadratnih enačb je, da so koreni kvadratne funkcije:

\(\alpha = \frac{{ – b + \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}},\;\;\beta = \frac{{ – b – \sqrt {{b ^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

Iz zgoraj navedenega je vzpostavljeno naslednje razmerje med koreninami in koeficienti kvadratne funkcije:

\(\alfa + \beta = – \frac{b}{a},\;\;\alfa \beta = \frac{c}{a}\)

Skozi opazne izdelke se vzpostavi naslednja identiteta:

\(a{x^2} + bx + c = a\levo( {x – \alpha } \desno)\levo( {x – \beta } \desno)\)

Na podoben način kot v splošni formuli je ugotovljeno, da je kvadratno funkcijo mogoče izraziti v obliki:

\(f\levo( x \desno) = a{\levo( {x – h} \desno)^2} + k\)

Z \(h = – \frac{b}{{2a}}\) in \(k = – \frac{{{b^2} – 4ac}}{a}\)

Z rešitvijo enačbe:

\(a{\levo( {x – h} \desno)^2} + k = 0\)

Dobi se:

\(\levo| {x – h} \desno| = \sqrt { – \frac{k}{a}} \)

\(x = h \pm \sqrt { – \frac{k}{a}} \)

Iz zgornjega lahko sklepamo, da \(f\left( x \desno) = a{\left( {x – h} \desno)^2} + k\), samo če sta konstanti \(k\) in \(a\) so od nasprotna predznaka ima ta kvadratna funkcija prave korene, ki so: \(h + \sqrt { – \frac{k}{a}} ,\;\;h – \sqrt { – \frac{k}{a} } \).

Če imata konstanti \(k\) in \(a\) enak predznak, potem kvadratna funkcija nima pravih korenin.

Ko je \(k = 0,\;\;\), ima kvadratna funkcija samo en koren.

Primeri, uporabljeni v resničnem življenju

Primer uporabe 1: Ekonomija

Šola želi organizirati nogometni turnir, na katerem vsaka ekipa z drugo ekipo igra samo enkrat. Za stroške arbitraže je predviden proračun 15.600 $, če je strošek arbitraže 200 $ na igro. Koliko ekip se lahko prijavi na turnir?

Izjava o problemu: Najti moramo funkcijo, ki izračuna število ujemanj, ko imamo \(n\) ekipe, da jih preštejemo, bomo predpostavili, da ekipa 1 igra prva z vsemi ostalimi, to je \(n – 1\) tekme. Ekipa 2 bi zdaj igrala z vsemi ostalimi, to je z \(n – 2\), saj bo že igrala z ekipo 1. Ekipa 3 bo že igrala z ekipama 1 in 2, tako da bi morala igrati z ekipami n-3.

Z zgornjim sklepanjem pridemo do:

\(f\levo( n \desno) = n – 1 + n – 2 + \lpike + 2 + 1\)

\(f\levo( n \desno) = \frac{{n\levo( {n – 1} \desno)}}{2}\)

Funkcija stroškov je:

\(C\levo( n \desno) = 200f\levo( n \desno) = 100n\levo( {n – 1} \desno)\)

Če imamo proračun 15.600 USD, imamo enačbo:

\(100n\levo( {n – 1} \desno) = 15600\)

rešitev enačbe

\(100n\levo( {n – 1} \desno) = 15600\) Začetna situacija
\(n\levo( {n – 1} \desno) = 156\) Vsako stran enačbe delite s 100
\({n^2} – n – 156 = \) Dodajte \( – 156\) vsaki strani enačbe
\(\levo( {n – 13} \desno)\levo( {n + 12} \desno) = 0\) Imamo \(\levo( { – 13} \desno)\levo( {12} \desno ) = – 156\) in \( – 13 + 12 = – 1\)
Bilo je faktorizirano.
Rešitve enačbe \(n = – 12,\;13\)
Odgovor: Proračun zadošča za prijavo 13 ekip.

Primer uporabe 2: Ekonomija

Avtobusno podjetje za metropolitanski promet je opazilo, da vsak njegov avtobus v osemurnem dnevu prepelje povprečno tisoč potnikov. Če želite svojim delavcem dati povišico, boste morali zvišati svojo vozovnico, ki trenutno znaša 5 USD; Ekonomist je izračunal, da bo vsak tovornjak vsak dan za vsak peso, ki se podraži, izgubil povprečno 40 potnikov. Podjetje je izračunalo, da mora za pokritje povečanja plače vsak dan pridobiti dodatnih 760 $ na tovornjak.. Za koliko se mora zvišati prevoznina?

Postavitev problema: Naj bo \(x\) znesek pesov, za katerega se bo vozovnica podražila, pri čemer je \(5 + x\) nova cena vozovnice. S tem enakim povečanjem bo vsak tovornjak v povprečju prevažal \(1000 – 40x\) potnikov na dan.

Končno je prihodek na tovornjak:

\(I\levo( x \desno) = \levo( {5 + x} \desno)\levo( {1000 – 40x} \desno) = – 40\levo( {x + 5} \desno)\levo( {x – 25} \desno)\)

Za pokritje povečanja plače mora vsak avtobus zbrati: \(1000\levo( 5 \desno) + 760 = 5760\)

Končno imamo enačbo:

\( – 40\levo( {x + 5} \desno)\levo( {x – 25} \desno) = 5760\)

rešitev enačbe
\( – 40\levo( {x + 5} \desno)\levo( {x – 25} \desno) = 5760\) Začetna situacija
\(\levo( {x + 5} \desno)\levo( {x – 25} \desno) = – 144\) Deli z \( – 40\) vsako stran enačbe
\({n^2} – 20n – 125 = – 144\) Izjemen izdelek je bil razvit
\({n^2} – 20n + 19 = 0\) 144 je bilo dodanih vsakemu
\(\levo( {n – 19} \desno)\levo( {n – 1} \desno) = 0\) Imamo \(\levo( { – 19} \desno)\levo( { – 1} \ desno) = 19\) in \( – 19 – 1 = – 20\)
faktorizirano
Rešitve enačbe \(n = 1,19\)
Odgovor: Cena vstopnice se lahko dvigne za 1 dolar ali 19 pesosov.

Primer uporabe 3: Ekonomija

Trgovina s kruhom proda v povprečju 1200 žemljic na teden za 6 dolarjev na kos. Nekega dne se je odločil dvigniti ceno na 9 dolarjev za kos; zdaj se je njena prodaja zmanjšala: v povprečju proda le 750 zvitkov na teden. Kakšna naj bo cena posamezne žemljice, da bo prihodek outleta čim večji? Predpostavimo, da obstaja linearna povezava med povpraševanjem in ceno.

Izjava problema: Ob predpostavki, da obstaja linearna povezava med povpraševanjem D in ceno \(x,\).

\(D = mx + b\)

Ko je \(x = 6;D = 1200;\;\), kar ustvari enačbo:

\(1200 = 6m + b\)

Ko je \(x = 9;D = 750;\;\) lo in dobimo enačbo:

\(750 = 9m + b\)

Če rešimo sistem enačb, je razmerje med povpraševanjem in ceno:

\(D = – 150x + 2100 = – 150\levo( {x – 14} \desno)\)

Dohodek je enak

\(I\levo( x \desno) = Dx = – 150x\levo( {x – 14} \desno)\)

rešitev

Graf dohodka v obliki parabole, ki se odpira navzdol in svojo največjo vrednost doseže na vrhu na ki ga je mogoče najti s povprečenjem korenin kvadratne funkcije, ki modelira dohodek. Korenine so \(\alfa = 0,\;\;\beta = 14\).

\(h = \frac{{0 + 14}}{2} = 7\)

\(I\levo( h \desno) = – 150\levo( 7 \desno)\levo( {7 – 14} \desno) = 7350\)

Odgovori

Največji prihodek je 7350 $ in je dosežen s ceno 7 $; prodaja v povprečju 1050 zvitkov na teden.

Primer uporabe 4: Ekonomija

Strošek izdelave \(n\) stolov v enem dnevu je mogoče izračunati s kvadratno funkcijo:

\(C\levo( n \desno) = {n^2} – 200n + 13000\)

Določite minimalne stroške, ki jih je mogoče doseči.

Izjava o težavi

Graf \(C\levo( n \desno)\) je parabola, ki se odpira navzgor in bo dosegla svojo najmanjšo točko pri \(h = – \frac{b}{{2a}} = – \frac{{\ levo( { – 200} \desno)}}{{2\levo( 1 \desno)}} = 100\)

\(C\levo( {100} \desno) = {\levo( {100} \desno)^2} – 200\levo( {100} \desno) + 13000 = 3000\)

Odgovori

Najnižji možni strošek znaša 3000 $ in se doseže z izdelavo 100 stolov.

Primer uporabe 5: Geometrija

Romb ima površino 21 cm2; Če je vsota dolžin njegovih diagonal 17 cm, kakšna je dolžina vsake diagonale romba?

Izjava problema: Ploščino romba izračunamo z:

\(A = \frac{{Dd}}{2}\)

Z \(D\) in \(d\) dolžinama njegovih diagonal je znano tudi:

\(D + d = 7\)

\(D = 17 – d\)

Z zamenjavo dobite:

\(A = \frac{{\levo( {17 – d} \desno) d}}{2}\)

Končno dobimo enačbo

\(\frac{{\levo( {17 – d} \desno) d}}{2} = 21\)

rešitev
\(\frac{{\left( {17 – d} \desno) d}}{2} = 21\) Začetna situacija
\(\levo( {17 – d} \desno) d = 42\) Pomnožite z \( – 40\) vsako stran enačbe
\({d^2} – 17d + 42 = 0\) Izdelek je bil razvit.
\(\levo( {d – 14} \desno)\levo( {d – 3} \desno) = 0\) Imamo \(\levo( { – 14} \desno)\levo( { – 3} \ desno) = 42\) in \( – 14 – 3 = – 17\)
faktorizirano
Rešitve enačbe \(d = 3,14\)
odgovor:

Diagonali romba merita 14 cm in 3 cm.

Primer uporabe 6: Geometrija

Zaželena je izgradnja pravokotnega kokošnjaka velikosti 140 m2, pri čemer je treba izkoristiti precej dolgo ograjo, ki bo tvorila dno kokošnjaka. Druge tri strani bodo zgrajene s 34 linearnimi metri žične mreže, kolikšni naj bi bili dolžina in širina kokošnjaka, da bi uporabili celotno mrežo?

Kolikšna je največja površina, ki jo lahko ob enakih pogojih ogradimo z isto mrežo?

Izjava problema: Glede na diagram je ploščina enaka:

\(A\levo( x \desno) = x\levo( {34 – 2x} \desno) = 2x\levo( {17 – x} \desno)\)

Kjer je \(x\) dolžina stranice, ki je pravokotna na ograjo.

Če želite poznati mere pravokotnika, tako da ima površino 140 m2, je dovolj, da rešite enačbo

\(2x\levo( {17 – x} \desno) = 140\)

Ker je graf \(A\levo( x \desno)\) parabola, ki se odpira navzdol za izračun največje vrednosti ploščine, je dovolj, da izračunate vrh parabole.

odgovori
Mere pravokotnika s površino 140 m2
Dolžina stranice, ki je pravokotna na ograjo

\(x\) Dolžina stranice, vzporedne z ograjo

\(34 – 2x\)
10 14
7 20

Prva koordinata oglišča je \(h = \frac{{17}}{2}\) in

\(A\levo( h \desno) = \frac{{289}}{2}\)

Površina je največja, ko pravokotna stranica meri \(\frac{{17}}{2}\;\)m in vzporedna stranica meri 17m, meri 17m, največja dosežena vrednost pa je \(\frac{ {289}} {2}\)m2.

Graf kvadratne funkcije

Z geometrijskega vidika so korenine točke, kjer graf funkcije seka os \(x\).

Iz izraza

\(f\levo( x \desno) = a{\levo( {x – h} \desno)^2} + k,\)

Ugotovili bomo splošno obliko grafa kvadratne funkcije.

Prvi primer \(a > 0\) in \(k > 0\)

\(f\levo( x \desno) = a{\levo( {x – h} \desno)^2} + k\)

\(x\)	\(f\levo( x \desno)\)
\(h – 1\)	\(a + k\)
\(h – 2\)	\(4a + k\)
\(h – 3\)	\(9a + k\)
\(h – 4\)	\(16a + k\)
\(h\)	\(k\)
\(h + 1\)	\(a + k\)
\(h + 2\)	\(4a + k\)
\(h + 3\)	\(9a + k\)
\(h + 4\)	\(16a + k\)

V tem primeru graf izpolnjuje:

Simetrično: S simetrično osjo \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) To je \(f\levo( {h – s} \desno) = f\levo( {h + s} \desno)\)

Je nad osjo \(x\) in je ne seka. To pomeni, da \(f\left( x \desno) > 0\) nima pravih korenin.

Najnižja točka na grafu je točka \(\levo( {h, k} \desno)\). To je \(f\levo( x \desno) \ge f\levo( h \desno) = k\)

Drugi primer \(a < 0\) in \(k < 0\)

\(f\levo( x \desno) = a{\levo( {x – h} \desno)^2} + k\)

\(x\)	\(f\levo( x \desno)\)
\(h – 1\)	\(a + k\)
\(h – 2\)	\(4a + k\)
\(h – 3\)	\(9a + k\)
\(h – 4\)	\(16a + k\)
\(h\)	\(k\)
\(h + 1\)	\(4a + k\)
\(h + 2\)	\(9a + k\)
\(h + 3\)	\(4a + k\)
\(h + 4\)	\(16a + k\)

V tem primeru graf izpolnjuje:

Simetrično: S simetrično osjo \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) To je \(f\levo( {h – s} \desno) = f\levo( {h + s} \desno)\)

Je pod osjo \(x\) in je ne seka. To pomeni, da \(f\levo( x \desno) < 0\) nima pravih korenin. Najvišja točka na grafu je točka \(\levo( {h, k} \desno)\). To je \(f\levo( x \desno) \le f\levo( h \desno) = k\) Tretji primer \(a > 0\) in \(k \le 0\).

Ta primer je podoben prvemu primeru, razlika je v tem, da imamo sedaj en pravi koren (ko je \(k = 0\) ) ali dva prava korena.

V tem primeru graf izpolnjuje:

Simetrično: S simetrično osjo \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) To je \(f\levo( {h – s} \desno) = f\levo( {h + s} \desno)\)

Seka os \(x\), kar pomeni, da ima vsaj en pravi koren.

Najnižja točka na grafu je točka \(\levo( {h, k} \desno)\). To je \(f\levo( x \desno) \ge f\levo( h \desno) = k\)

Četrti primer \(a < 0\) in \(k \ge 0\). Ta primer je podoben drugemu primeru, razlika je v tem, da imamo zdaj en pravi koren (ko je \(k = 0\) ) ali dva prava korena. V tem primeru graf izpolnjuje:

Simetrično: S simetrično osjo \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) To je \(f\levo( {h – s} \desno) = f\levo( {h + s} \desno)\)

Najnižja točka na grafu je točka \(\levo( {h, k} \desno)\). To je \(f\levo( x \desno) \le f\levo( h \desno) = k\)

Graf kvadratne funkcije se imenuje parabola in njeni elementi, ki jih je treba poudariti, so simetrijska os, točke, kjer seka na os \(x\) in oglišče, ki je točka na grafu funkcije, kjer doseže najnižjo ali najvišjo točko, odvisno od Ovitek.

Na podlagi opravljene analize lahko ugotovimo:

Parabola, povezana s kvadratno funkcijo \(f\left( x \desno) = a{x^2} + bx + c\), ima vrh v \(\left( {h, k} \desno)\), kjer :

\(h = – \frac{b}{{2a}},\;\;k = f\levo( h \desno)\)

primeri

Kvadratna funkcija \(y = {x^2}\)	pomembne elemente
Vrh parabole	\(\levo( {0,0} \desno)\)
Simetrična os parabole	\(x = 0\)
Seka z osjo \(x\).	\(\levo( {0,0} \desno)\)

Kvadratna funkcija \(y = – \frac{1}{2}{\levo( {x – 2} \desno)^2}\)	pomembne elemente
Vrh parabole	\(\levo( {2,0} \desno)\)
Simetrična os parabole	\(x = 2\)
Seka z osjo \(x\).	\(\levo( {2,0} \desno)\)

Kvadratna funkcija \(y = {\levo( {x + 2} \desno)^2} – 4\)	pomembne elemente
Vrh parabole	\(\levo( { – 2, – 4} \desno)\)
Simetrična os parabole	\(x = – 2\)
Seka z osjo \(x\).	\(\levo( { – 4,0} \desno);\levo( {0,0} \desno)\)

Kvadratna funkcija \(y = – \frac{1}{2}{\levo( {x – 9} \desno)^2} + 8\)	pomembne elemente
Vrh parabole	\(\levo( {9,8} \desno)\)
Simetrična os parabole	\(x = 9\)
Seka z osjo \(x\).	\(\levo( {5,0} \desno);\levo( {13,0} \desno)\)

Kvadratna funkcija \(y = {x^2} + 1\)	pomembne elemente
Vrh parabole	\(\levo( {0,1} \desno)\)
Simetrična os parabole	\(x = 0\)
Seka z osjo \(x\).	Nima

Kvadratna funkcija \(y = – \frac{1}{2}{\levo( {x – 2} \desno)^2} – 1\)	pomembne elemente
Vrh parabole	\(\levo( {2, – 1} \desno)\)
Simetrična os parabole	\(x = 2\)
Seka z osjo \(x\).	Nima

Če obstajajo pravi koreni kvadratne funkcije, lahko iz njih narišemo graf njene povezane parabole. Recimo, da \(f\levo( x \desno) = a\levo( {x – \alpha } \desno)\levo( {x – \beta } \desno)\)

Za to je treba upoštevati naslednje:

\(\alfa + \beta = – \frac{b}{a}\)

\(\frac{{\alpha + \beta }}{2} = – \frac{b}{{2a}} = h\)

Kot

\(k = f\levo( h \desno)\)

\(k = f\levo( {\frac{{\alpha + \beta }}{2}} \desno)\)

\(k = a\levo( {\frac{{\alpha + \beta }}{2} – \alpha } \desno)\levo( {\frac{{\alpha + \beta }}{2} – \ beta } \desno)\)

\(k = – \frac{a}{4}{\levo( {\alpha – \beta } \desno)^2}\)

primeri

Skicirajte graf kvadratne funkcije \(f\levo( x \desno) = \frac{1}{4}\levo( {x – 3} \desno)\levo( {x + 6} \desno )\)

rešitev

Korenini sta \(\alfa = 3\;\) in \(\beta = – 6\); potem \(h = \frac{{3 – 6}}{2} = – \frac{3}{2}\).

\(k = f\levo( { – \frac{3}{2}} \desno) = 2\levo( { – \frac{3}{2} – 3} \desno)\levo( { – \frac {3}{2} + 6} \desno) = \frac{1}{4}\levo( { – \frac{9}{2}} \desno)\levo( {\frac{9}{2}} \desno) = – \frac{{81}}{{16}}\)

Tako lahko sestavimo naslednjo tabelo

\(f\levo( x \desno) = 2\levo( {x – 3} \desno)\levo( {x + 6} \desno)\)	pomembne elemente
Vrh parabole	\(\levo( { – \frac{3}{2}, – \frac{{81}}{2}} \desno)\)
Simetrična os parabole	\(x = – \frac{{81}}{2}\)
Seka z osjo \(x\).	\(\levo( { – 6,0} \desno)\;,\;\levo( {3,0} \desno)\)

Če želite skicirati graf funkcije:

\(f\levo( x \desno) = 3{x^2} – 18x + 4\)

Uporabili bomo iste ideje, ki smo jih že uporabili; Za to bomo najprej določili vrh.

V tem primeru je \(a = 3;b = – 12,\;c = 4\).

Ker \(a > 0\), se bo parabola »odprla in \(h = – \frac{b}{{2a}} = – \left( {\frac{{ – 18}}{{3\left ( 2 \desno)}}} \desno) = 3.\) Nato bomo izračunali \(k:\)

\(k = f\levo( h \desno) = f\levo( 3 \desno) = 3{\levo( 3 \desno)^2} – 18\levo( 3 \desno) + 4 = – 23\)

Oglišče parabole je na \(\levo( {3, – 23} \desno)\) in ker se odpira navzgor, bo parabola sekala os \(x\;\) in njena simetrijska os je \ (x = 3\).

Zdaj pa razmislimo o kvadratni funkciji

\(f\levo( x \desno) = – 5{x^2} + 10x – 9\)

V tem primeru je \(a = 3;b = – 12,\;c = 4\).

Ker \(a < 0\), se bo parabola "odprla" navzdol in \(h = - \frac{b}{{2a}} = - \left( {\frac{{10}}{{\left( 2 \desno)\levo( { - 5} \desno)}}} \desno) = 1.\) A Nato bomo izračunali \(k:\) \(k = f\levo( h \desno) = f\levo( 1 \desno) = - 5{\levo( 1 \desno)^2} + 10\levo( 1 \ desno) - 9 = - 4\) Oglišče parabola je na \(\levo( {1, - 4} \desno)\) in ker se odpira navzdol, potem parabola ne bo sekala osi \(x\;\) in je njena simetrijska os \(x = 1.\)