Opredelitev ekvivalentnih ulomkov

Za dva ali več ulomkov pravimo, da so enakovredni, če predstavljajo isto količino, to je če
\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\;,\)
ulomka \(\frac{a}{b}\) in \(\frac{c}{d}\) naj bi bila enakovredna.

Ekvivalentni ulomki: grafični prikaz

Razmislite o kvadratu, ki ga bomo razdelili na četrtine, tretjine, osmine in dvanajstine.

Iz prejšnjih slik opazimo naslednje enakovrednosti:

Kako dobiti enega ali več enakovrednih ulomkov?

Obstajata dve osnovni metodi za pridobitev ulomka, ki je enak danemu ulomku.

1. Pomnožite števec in imenovalec z istim pozitivnim številom.

Primeri:

\(\frac{3}{4} = \frac{{3\left( 5 \desno)}}{{4\left( 5 \desno)}} = \frac{{15}}{{20}} \)

\(\frac{3}{4} = \frac{{3\left( 7 \desno)}}{{4\left( 7 \desno)}} = \frac{{21}}{{28}} \)

\(\frac{5}{8} = \frac{{{5\left( 6 \desno)}}{{8\left( 6 \desno)}} = \frac{{30}}{{56}} \)

2. Deli se z istim pozitivnim skupnim deliteljem števca in imenovalca.

\(\frac{{52}}{{56}} = \frac{{{52 ​​\div 4}}{{56 \div 4}} = \frac{{13}}{{14}}.\)

\(\frac{{80}}{{140}} = \frac{{{80 \div 20}}{{140 \div 20}} = \frac{4}{7}.\)

\(\frac{{21}}{{57}} = \frac{{{21 \div 3}}{{57 \div 3}} = \frac{7}{{19}}\)

Če sta v ulomku tako števec kot imenovalec deljena z istim skupnim deliteljem, ki ni 1, pravimo, da je ulomek skrčen.

nezmanjšljivi ulomki

Ulomek imenujemo nezmanjšani ulomek, če je največji skupni delitelj števca in imenovalca enak 1.

Če je \(gcd\left( {a, b} \right) = 1,\), se ulomek \(\frac{a}{b}\) imenuje nezmanjšani ulomek.

Podan je ulomek \(\frac{a}{b}\), da dobimo ulomek, ki je enak temu ulomku in je tudi nezmanjšani ulomek sta števec in števec deljena z največjim skupnim deliteljem od \(a\;\) in od \(b.\)

Naslednja tabela prikazuje primere nezmanjšljivih in skrajšljivih ulomkov; če je zmanjšljiv, kaže, kako dobiti nezmanjšljiv ekvivalentni ulomek.

Ulomek	Največji skupni delitelj	Nezmanjšano	nezmanjšani ekvivalentni ulomek
\(\frac{{14}}{{42}}\)	7	št	\(\frac{{14}}{{42}} = \frac{{{14 \div 7}}{{42 \div 7}} = \frac{2}{7}\)
\(\frac{3}{{25}}\)	1	ja	\(\frac{3}{{25}}\)
\(\frac{{21}}{{201}}\)	3	št	\(\frac{{21 \div 3}}{{20\;1 \div 3}} = \frac{7}{{67}}\)
\(\frac{5}{{24}}\)	1	ja	\(\frac{5}{{24}}\)
\(\frac{{72}}{{1125}}\)	9	št	\(\frac{{72}}{{1125}} = \frac{{{72 \div 9}}{{1125 \div 9}} = \frac{8}{{125}}\)

Enakovredni ulomki: besedni prikaz.

Naslednja tabela prikazuje dva različna načina prikaza enakovrednih informacij z numeričnega vidika.

Verbalna fraza	Enakovredna fraza (številčno)	Argumentacija
Leta 1930 so v Mehiki 4 ljudje od 25 ljudi govorili materni jezik.	Leta 1930 je v Mehiki 16 ljudi od 100 ljudi govorilo materni jezik.	Oba podatka smo pomnožili s 4
Leta 1960 so v Mehiki 104 ljudje od vsakih 1000 ljudi govorili materni jezik.	Leta 1960 je v Mehiki 13 ljudi od 125 ljudi govorilo materni jezik	Oba podatka smo delili z 8.

Enakovredni ulomki: decimalni prikaz

Spodnja tabela prikazuje različna decimalna števila in enakovredne ulomke, ki jih predstavljajo.

Decimalno število	Ulomek	ekvivalentni ulomek	Operacije
\(0.25\)	0,25=\(\frac{{25}}{{100}}\)	0,25=\(\frac{1}{4}\)	\(25 \div 25 = 1\) \(100 \div 25 = \)
\(1.4\)	\(1,4 = 1 + \frac{4}{{10}} = \frac{{14}}{{10}}\)	\(1,4 = \frac{7}{5}\)	\(14 \div 2 = 1\) \(10 \div 2 = 5\)
\(0.145\)	\(0,145 = \frac{{145}}{{1000}}\)	\(0,145 = \frac{{{29}}{{200}}\)	\(145 \div 5 = 29\) \(1000 \div 5 = 200\)

Ekvivalentni ulomki: Predstavitev v odstotkih

Spodnja tabela prikazuje različna decimalna števila in enakovredne ulomke, ki jih predstavljajo.

Decimalno število	Ulomek	ekvivalentni ulomek	Operacije
20%	\(\frac{{20}}{{100}}\)	\(\frac{1}{5}\)	\(20 \div 20 = 1\) \(100 \div 20 = 5\)
150%	\(\frac{{150}}{{100}}\)	\(\frac{3}{2}\)	\(150 \div 50 = 3\) \(100 \div 50 = 2\)
55%	\(\frac{{{55}}{{100}}\)	\(\frac{{11}}{{20}}\)	\(55 \div 11 = 5\) \(100 \div 5 = 20\)

Ekvivalentni ulomki: od heterogenih do homogenih

Glede na dva heterogena ulomka \(\frac{a}{b}\) in \(\frac{c}{d}\) lahko najdemo dva ulomka homogena tako, da je en ulomek enakovreden ulomku \(\frac{a}{b}\;\), drugi pa ulomku \(\frac{c}{d}\).

Nato bomo prikazali dva postopka za izvedbo tega, kar je omenjeno v prejšnjem odstavku.

Opazujmo:

\(\frac{a}{b} = \frac{{{a\left( d \desno)}}{{b\left( d \desno)}}\)

\(\frac{c}{d} = {\rm{\;}}\frac{{{c\left( b \desno)}}{{d\left( b \desno)}}\)

Naslednja tabela prikazuje nekaj primerov.

F. heterogena	Operacije	F. homogena
\(\frac{4}{5}\), \(\frac{2}{3}\)	\(\frac{{4\left( 3 \desno)}}{{5\left( 3 \desno)}} = \frac{{12}}{{15}}\) \(\frac{{2\left( 5 \desno)}}{{3\left( 5 \desno)}} = \frac{{10}}{{15}}\)	\(\frac{{12}}{{15}}\), \(\frac{{10}}{{15}}\)
\(\frac{7}{{12}}\), \(\frac{4}{{18}}\)	\(\frac{{7\left( {18} \desno)}}{{12\left( {18} \desno)}} = \frac{{126}}{{216}}\) \(\frac{{4\left( {12} \desno)}}{{18\left( {12} \desno)}} = \frac{{48}}{{216}}\)	\(\frac{{126}}{{216}},\) \(\frac{{{48}}{{216}}\)
\(\frac{7}{{10}}\), \(\frac{3}{{14}}\), \(\frac{5}{4}\)	\(\frac{{7\left( {14} \desno)\left( 4 \desno)}}{{10\left( {14} \desno) 4}} = \frac{{392}}{{ 560}}\) \(\frac{{3\left( {10} \desno)\left( 4 \desno)}}{{14\left( {10} \desno)\left( 4 \desno)}} = \frac{ {120}}{{560}}\) \(\frac{{5\levo( {10} \desno)\levo( {14} \desno)}}{{4\levo( {10} \desno)\levo( {14} \desno)}} = \frac{{700}}{{560}}\)	\(\frac{{392}}{{560}}\), \(\frac{{{120}}{{560}},\) \(\frac{{{700}}{{560}}\)

Pomanjkljivost te metode je, da se lahko med postopkom proizvede zelo veliko število; V mnogih primerih se je temu mogoče izogniti, če izračunamo najmanjši skupni večkratnik imenovalcev, druga metoda pa temelji na izračunu najmanjšega skupnega večkratnika.

Najmanjši skupni večkratnik pri računanju ulomkov

Nato skozi dva primera, kako pridobiti homogene ulomke z uporabo najmanjšega skupnega večkratnika imenovalcev, ki bo skupni imenovalec vključenih ulomkov.

Razmislite o ulomkih: \(\frac{7}{{12}}\), \(\frac{4}{{18}}.\)

Najmanjši skupni večkratnik \(12\) in \(18\) je \(36\); zdaj

\(36 \div 12 = 3\)

\(36 \div 18 = 2\)

\(\frac{7}{{12}} = \frac{{7\left( 3 \desno)}}{{12\left( 3 \desno)}} = \frac{{21}}{{36 }},\)

\(\frac{4}{{18}} = \frac{{4\left( 2 \desno)}}{{18\left( 2 \desno)}} = \frac{8}{{36}} \)

Zdaj razmislite o ulomkih: \(\frac{7}{{10}}\), \(\frac{3}{{14}}\), \(\frac{5}{4}\)

Najmanjši skupni večkratnik \(10\), \(14\) in \(3\) je \(140\); zdaj

\(140 \div 10 = 14\)

\(140 \div 14 = 10\)

\(140 \div 4 = 35\)

\(\frac{7}{{10}} = \frac{{7\left( {14} \desno)}}{{10\left( {14} \desno)}} = \frac{{98} }{{140}},\)

\(\frac{3}{{14}} = \frac{{3\left( {10} \desno)}}{{14\left( {10} \desno)}} = \frac{{30} }{{140}}\)

\(\frac{5}{4} = \frac{{5\left( {35} \desno)}}{{4\left( {35} \desno)}} = \frac{{175}}{ {140}}\)

Iz prejšnjih številk opazimo naslednje dejstvo:

\(\frac{1}{4} = \frac{3}{{12}}\)

Tu so še drugi primeri.

F. heterogena	min skupni imenovalci	Operacije	F. homogena
\(\frac{1}{{14}}\) \(\frac{1}{{18}}\)	126	\(126 \div 14 = 9\) \(\frac{1}{{14}} = \frac{{1\left( 9 \desno)}}{{14\left( 9 \desno)}} = \frac{9}{{126}} \) \(126 \div 18 = 7\) \(\frac{1}{{18}} = \frac{{1\left( 7 \desno)}}{{18\left( 7 \desno)}} = \frac{7}{{126}} \)	\(\frac{9}{{126}}\), \(\frac{7}{{126}}\)
\(\frac{5}{6}\) \(\frac{2}{{15}},\) \(\frac{4}{9}\)	90	\(90 \div 6 = 15\) \(\frac{5}{6} = \frac{{5\left( {15} \desno)}}{{6\left( {15} \desno)}} = \frac{{75}}{ {90}}\) \(90 \div 15 = 6\) \(\frac{2}{{15}} = \frac{{2\left( {15} \desno)}}{{15\left( 6 \desno)}} = \frac{{30}}{ {90}}\) \(90 \div 9 = 10\) \(\frac{4}{9} = \frac{{4\left( {10} \desno)}}{{9\left( {10} \desno)}} = \frac{{40}}{ {90}}\)	\(\frac{{75}}{{90}}\), \(\frac{{{30}}{{90}}\), \(\frac{{{40}}{{90}}\)