Definicija kvadratne/kvadratne enačbe

Enačba druge stopnje ali, če te ni, kvadratna enačba glede na neznanko je izražena v obliki:
\(a{x^2} + bx + c = 0\)
Kjer je neznanka \(x\), dokler sta \(a, b\) in c realni konstanti, pri čemer je \(a \ne 0.\)

Obstaja več tehnik za reševanje kvadratnih enačb, vključno s faktorizacijo, v tem primeru moramo glede na resolucijo upoštevati naslednjo lastnost:

Če je produkt dveh števil enak nič, potem obstajata dve možnosti:

1. Oba sta enaka nič.
2. Če ena ni nič, potem je druga nič

Zgornje se lahko izrazi na naslednji način:
Če \(pq = 0\), potem \(p = 0\) ali \(q = 0\).

Praktični primer 1: rešite enačbo \({x^2} – 8\)=0

\({x^2} – 8 = 0\)	Začetno stanje
\({x^2} – 8 + 8 = 8\)	Obema stranema enačbe dodajte 8, da rešite \({x^2}\)
\(\sqrt {{x^2}} = \sqrt {{2^3}} = \sqrt {{2^2}2} = \sqrt {{2^2}} \sqrt 2 = 2\sqrt 2 \)	Kvadratni koren dobimo z izolacijo \(x.\) 8 je faktoriziran in uporabljene so lastnosti radikalov in potence.
\(\levo| x \desno| = 2\sqrt 2 \)	Dobiš koren \({x^2}\)
\(x = \pm 2\sqrt 2 \)

Rešitve \({x^2} – 8\)=0 so:
\(x = – 2\sqrt 2 ,\;2\sqrt 2 \)

Praktični primer 2: Rešite enačbo \({x^2} – 144\)=0

\({x^2} – 144 = 0\)	Začetno stanje
\({x^2} – {12^2} = 0\)	Kvadratni koren iz 144 je 12. Določena je razlika kvadratov.
\(\levo( {x + 12} \desno)\levo( {x – 12} \desno) = 0\)	Razlika kvadratov je faktorizirana
\(x + 12 = 0\) \(x = – 12\)	Upoštevamo možnost, da je faktor \(x + 12\) enak 0. Dobljena enačba je rešena.
\(x – 12 = 0\) \(x = 12\)	Upoštevamo možnost, da je faktor \(x – 12\) enak 0. Dobljena enačba je rešena.

Rešitve enačbe \({x^2} – 144 = 0\) so

\(x = – 12,\;12\)

Praktični primer 3: rešite enačbo \({x^2} + 3x = 0\)

\({x^2} + 3x = 0\)	Začetno stanje
\(x\levo( {x + 3} \desno) = 0\)	\(x\) je identificiran kot skupni faktor in izvedena je faktorizacija.
\(x = 0\)	Razmislite o možnosti, da je faktor \(x\) enak 0.
\(x + 3 = 0\) \(x = – 3\)	Upoštevamo možnost, da je faktor \(x – 12\) enak 0. Dobljena enačba je rešena.

Rešitve enačbe \({x^2} + 3x = 0\) so:
\(x = – 3,0\)

Praktični primer 4: Rešite enačbo \({x^2} – 14x + 49 = 0\)

\({x^2} – 14x + 49 = 0\)	Začetno stanje
\({x^2} – 14x + {7^2} = 0\)	Kvadratni koren iz 49 je 7 in \(2x\levo( 7 \desno) = 14x.\) Identificiran je trinom popolnega kvadrata.
\({\levo( {x – 7} \desno)^2} = 0\)	Trinom popolnega kvadrata je izražen kot binom na kvadrat.
\(x – 7 = 0\) \(x = 7\)

Rešitev \({x^2} – 14x + 49 = 0\) je:
\(x = 7\)

Praktični primer 5: Rešite enačbo \(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)

\(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)	Začetno stanje
\(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)	Zmnožek \(\levo( {10} \desno)\levo( {12} \desno) = 120 = \levo( { – 8} \desno)\levo( { – 15} \desno)\)
\(\levo( {10{x^2} – 8x} \desno) – 15x + 12 = 0\)	Izraženo je kot \( – 23x = – 18x – 15\)
\(2x\levo( {5x – 4} \desno) – 3\levo( {5x – 4} \desno) = 0\)	Identificirajte \(2x\) kot skupni faktor v prvem seštevanku in ga faktorizirajte. Določite \( – 3\) kot skupni faktor v drugem seštevanku in ga faktorizirajte.
\(\levo( {5x – 4} \desno)\levo( {2x – 3} \desno) = 0\)	Faktoriziraj skupni faktor \(5x – 4\)
\(5x – 4 = 0\) \(x = \frac{4}{5}\)	Upoštevamo možnost, da je faktor \(5x – 12\) enak 0. Dobljena enačba je rešena.
\(2x – 3 = 0\) \(x = \frac{3}{2}\)	Razmislite o možnosti, da je faktor \(2x – 3\) enak 0. Dobljena enačba je rešena.

Rešitve \(10{x^2} – 23x + 12 = 0\) so:
\(x = \frac{4}{5},\;\frac{3}{2}\)

Praktični primer 6: Rešite enačbo \({x^2} + 4x + 1 = 0\)

\({x^2} + 4x + 1 = 0\)	Začetno stanje Trinom ni popoln kvadrat
\({x^2} + 4x + 1 – 1 = – 1\)	Dodajte -1 na vsako stran enačbe.
\({x^2} + 4x = – 1\)	Ker je \(\frac{1}{2}\left( 4 \desno) = 2\) z dodajanjem \({2^2}\), dobimo popoln kvadrat.
\({x^2} + 4x + 4 = – 1 + 4\)	Dodajte \({2^2}\;\) vsaki strani enačbe. Leva stran je popoln kvadrat.
\({\levo( {x + 2} \desno)^2} = 3\)	Trinom popolnega kvadrata je izražen kot binom na kvadrat.
\(\sqrt {{{\levo( {x + 2} \desno)}^2}} = \pm \sqrt 3 \)	Izvlecite kvadratni koren vsake strani enačbe
\(\levo| {x + 2} \desno| = \sqrt 3 \) \(x = – 2 \pm \sqrt 3 \)	Rešite za \(x\).

Rešitve \({x^2} + 4x + 1 = 0\) so:
\(x = – 2 – \sqrt 3 ,\; – 2 + \sqrt 3 \)

Praktični primer 7: Rešite enačbo \(5{x^2} + 3x – 1 = 0\)

\(5{x^2} + 3x – 1 = 0\)	Začetno stanje Trinom ni popoln kvadrat.
\(5{x^2} + 3x – 1 + 1 = 1\)	Dodajte 1 na vsako stran enačbe
\(\frac{1}{5}\levo( {5{x^2} + 3x} \desno) = \frac{1}{5}\levo( 1 \desno)\)	Pomnožite z vsako stranjo enačbe, tako da bo koeficient \({x^2}\) enak 1.
\({x^2} + \frac{3}{5}x = \frac{1}{5}\)	izdelek je razdeljen Ker \(\frac{1}{2}\left( {\frac{3}{5}} \right) = \frac{3}{{10}}\), z dodajanjem \({\left( { \frac{3}{{10}}} \right)^2} = \frac{9}{{100}}\) daje trinom popolnega kvadrata.
\({x^2} + \frac{3}{5}x + \frac{9}{{100}} = \frac{1}{5} + \frac{9}{{100}}\)	Obema stranema enačbe dodajte 3, da rešite \({\left( {x + 2} \right)^2}\)
\({\levo( {x + \frac{3}{{10}}} \desno)^2}\)=\(\frac{{29}}{{100}}\)	Popolni kvadratni trinom je izražen kot kubični binom.
\(\sqrt {{{\left( {x + \frac{3}{{10}}} \desno)}^2}} = \sqrt {\frac{{29}}{{100}}} \ )	Izvlecite kvadratni koren vsake strani enačbe
\(x = – \frac{3}{{10}} \pm \frac{{\sqrt {29} }}{{10}}\)	Rešite za \(x\).

Rešitve \(5{x^2} + 3x – 1 = 0\) so:
\(x = – \frac{{3 + \sqrt {29} }}{{10}},\; – \frac{{3 – \sqrt {29} }}{{10}}\)

Postopek, uporabljen v zgornji enačbi, bo uporabljen za iskanje tako imenovane splošne formule za kvadratne rešitve.

Splošna formula enačbe druge stopnje.

Splošna formula kvadratnih enačb

V tem razdelku bomo ugotovili, kako na splošen način rešiti kvadratno enačbo

Z \(a \ne 0\) razmislimo o enačbi \(a{x^2} + bx + c = 0\).

\(a{x^2} + bx + c = a\levo( {{x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}} \desno) = 0\)

Ker je \(a \ne 0\), je dovolj rešiti:

\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\)

\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\)	Začetno stanje
\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} – \frac{c}{a} = – \frac{c}{a}\)	Dodajte \( – \frac{c}{a}\) vsaki strani enačbe.
\({x^2} + \frac{b}{a}x = – \frac{c}{a}\)	Ker \(\frac{1}{2}\left( {\frac{b}{a}} \right) = \frac{b}{{2a}}\), z dodajanjem \({\left( { \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}}\) daje trinom popolnega kvadrata.
\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} = \frac{{{b^2}} }{{4{a^2}}} – \frac{c}{a}\)	Leva stran enačbe je trinom popolnega kvadrata.
\({\levo( {x + \frac{b}{{2a}}} \desno)^2} = \frac{{{b^2} – 4{a^2}c}}{{4{ a^2}}}\)	Trinom popolnega kvadrata je izražen kot binom na kvadrat. Algebraični ulomek je narejen.
\(\sqrt {{{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \desno)}^2}} = \sqrt {\frac{{{b^2} – 4{a^ 2}c}}{{4{a^2}}}} \)	Izvlecite kvadratni koren vsake strani enačbe.
\(\levo| {x + \frac{b}{{2a}}} \desno| = \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} }}{{2a} }\)	Veljajo radikalne lastnosti.
\(x + \frac{b}{{2a}} = \pm \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} }}{{2a}}\)	Veljajo lastnosti absolutne vrednosti.
\(x + \frac{b}{{2a}} – \frac{b}{{{2a}} = \pm \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} } }{{2a}} – \frac{b}{{2a}}\)	Na vsako stran enačbe dodajte \( – \frac{b}{{2a}}\), da rešite \(x\)
\(x = \frac{{ – b \pm \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)	Algebraični ulomek je narejen.

Izraz \({b^2} – 4{a^2}c\) se imenuje diskriminanta kvadratne enačbe \(a{x^2} + bx + c = 0\).

Ko je diskriminanta zgornje enačbe negativna, so rešitve kompleksna števila in ni pravih rešitev. V tej opombi ne bodo zajete kompleksne rešitve.

Podana je kvadratna enačba \(a{x^2} + bx + c = 0\), če \({b^2} – 4{a^2}c \ge 0\). Potem so rešitve te enačbe:

\(\alpha = \frac{{ – b + \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

\(\beta = \frac{{ – b – \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

Izraz:

\(x = \frac{{ – b \pm \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

Imenuje se splošna formula kvadratne enačbe.

Praktični primer 8: rešite enačbo \(3{x^2} – 2x – 5 = 0\)

\(do\)	\(b\)	\(c\)	Diskriminatorno	prave rešitve
\(3\)	\( – 2\)	\( – 5\)	\({2^2} – 4\levo( 3 \desno)\levo( { – 5} \desno) = 4 + 60 = 64\)	\(x = \frac{{ – \left( { – 2} \desno) \pm \sqrt {64} }}{{2\left( 3 \desno)}} = \frac{{{2 \pm 8} }{6}\)

Rešitve enačbe so:
\(\alfa = – 1,\;\beta = \frac{5}{3}\)

Praktični primer 9: Rešite enačbo \( – 4{x^2} + 3x + 9 = 0\)

\(do\)	\(b\)	\(c\)	Diskriminatorno	prave rešitve
\( – 4\)	3	9	\({3^2} – 4\levo( { – 4} \desno)\levo( 9 \desno) = 9 + 144 = 153\) \(153 = 9\levo( {17} \desno)\)	\(x = \frac{{ – 3 \pm \sqrt {9\left( {17} \desno)} }}{{2\left( { – 4} \desno)}} = \frac{{ – 3 \pm 3\sqrt {17} }}{{ – 8}}\)

Rešitve enačbe so:
\(\alpha = \frac{{3 – 3\sqrt {17} }}{8},\;\beta = \frac{{3 + 3\sqrt {17} }}{8}\)

Praktični primer 10: Rešite enačbo \(5{x^2} – 4x + 1 = 0\)

\(do\)	\(b\)	\(c\)	Diskriminatorno	prave rešitve
\(5\)	-4	\(1\)	\({\levo( { – 4} \desno)^2} – 4\levo( 5 \desno)\levo( 1 \desno) = 16 – 20 = – 4\)	Nima

Razne enačbe

Obstajajo nekvadratne enačbe, ki jih je mogoče pretvoriti v kvadratno enačbo. Videli bomo dva primera.

Praktični primer 11: Iskanje realnih rešitev enačbe \(6x = 5 – 13\sqrt x \)

Če spremenimo spremenljivko \(y = \sqrt x \), prejšnja enačba ostane kot:

\(6{y^2} = 5 – 13y\)

\(6{y^2} + 13y – 5 = 0\)

\(6{y^2} + 15y – 2y – 5 = 0\)

\(3y\levo( {2y + 5} \desno) – \levo( {2y + 5} \desno) = 0\)

\(\levo( {2y + 5} \desno)\levo( {3y – 1} \desno) = 0\)

Zato \(y = – \frac{2}{5},\;\frac{1}{3}\).

Ker \(\sqrt x \) označuje samo pozitivne vrednosti, bomo upoštevali le:

\(\sqrt x = \;\frac{1}{3}\)

odgovor:

Edina prava rešitev je:
\(x = \frac{1}{9}\)

Delovni primer 12: Rešite enačbo \(\sqrt {\frac{x}{{{x – 5}}} – \sqrt {\frac{{x – 5}}{x}} = \frac{5}{6 }\)

Izvedba spremembe spremenljivke:

\(y = \sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} \)

Dobimo enačbo:

\(y – \frac{1}{y} = \frac{5}{6}\)

\(6{y^2} – 6 = 5y\)

\(6{y^2} – 5y – 6 = 0\)

\(6{y^2} – 9y + 4y – 6 = 0\)

\(3y\levo( {2y – 3} \desno) + 2\levo( {2y – 3} \desno) = 0\)

\(\levo( {2y – 3} \desno)\levo( {3y + 2} \desno) = 0\)

Možne vrednosti \(y\) so:

\(y = – \frac{2}{3},\;\frac{3}{2}\)

Od naštetega bomo upoštevali samo pozitivno rešitev.

\(\sqrt {\frac{x}{{{x – 5}}} = \frac{3}{2}\)

\(\frac{x}{{x – 5}} = \frac{9}{4}\)

\(4x = 9x – 45\)

\(5x = 45\)

\(x = 9.\)

Rešitve so \(x = 9.\)