Opredelitev Bernoullijevega principa/enačbe

Bernoullijev princip, pogosto imenovan tudi Bernoullijeva enačba, je eden najpomembnejših konceptov v hidrodinamiki in mehaniki tekočin. Oblikoval ga je švicarski fizik in matematik Daniel Bernoulli leta 1738 kot del svojega dela "hidrodinamika” in del ohranjanja energije v idealni tekočini v gibanju.

Predstavljajmo si naslednjo situacijo: Imamo cev, po kateri teče voda, ki zapušča cev z določeno hitrostjo in določenim pritiskom. Nato s prstom delno prekrijemo izhodno luknjo cevi; s tem vidimo, kako voda zdaj teče ven z večjo hitrostjo. To je primer delovanja Bernoullijevega načela.

Idealne tekočine v gibanju

Bernoullijevo načelo velja za idealne tekočine v gibanju, zato je, preden nadaljujemo z razlago tega načela, pomembno omeniti, kaj mislimo z idealno tekočino. Idealna tekočina je poenostavitev prave tekočine, to je storjeno zaradi opisa tekočine ideal je matematično preprostejši in nam daje uporabne rezultate, ki jih lahko kasneje razširimo na primer tekočine resnično.

Obstajajo štiri predpostavke, ki določajo, da je tekočina idealna in vse so povezane s pretokom:

• Enakomerni tok: enakomeren tok je tisti, pri katerem je hitrost gibanja tekočine enaka na kateri koli točki v prostoru. Z drugimi besedami, predpostavljamo, da tekočina ni podvržena turbulenci.

• Nestisljivost: Predpostavlja se tudi, da je idealna tekočina nestisljiva, to je, da ima ves čas konstantno gostoto.

• Neviskoznost: Viskoznost je lastnost tekočin, ki na splošno predstavlja upor, ki ga tekočina nasprotuje gibanju. Viskoznost si lahko predstavljamo kot analogno mehanskemu trenju.

• Nerotacijski tok: S to predpostavko se sklicujemo na dejstvo, da gibljiva tekočina ne izvaja nobene vrste krožnega gibanja okoli katere koli točke svoje poti.

S temi predpostavkami in idealno tekočino močno poenostavimo matematično obravnavo in zagotavljamo tudi varčevanje z energijo, kar je izhodišče k načelu Bernoulli.

Razložena Bernoullijeva enačba

Oglejmo si idealno tekočino, ki se giblje skozi cev, kot je prikazano na naslednji sliki:

Zdaj bomo uporabili izrek o delu in kinetični energiji, ki je še en način izražanja zakona o ohranitvi energije, to nam pove, da:

\(W = {\rm{\Delta }}K\)

Kjer je \(W\) celotno mehansko delo in \({\rm{\Delta }}K\) je sprememba kinetične energije med dvema točkama. V tem sistemu imamo dve vrsti mehanskega dela, eno, ki ga izvaja sila gravitacije na tekočino, in drugo, ki je posledica pritiska tekočine. Naj bo \({W_g}\) mehansko delo, ki ga opravi gravitacija, \({W_p}\) pa mehansko delo, ki ga opravi pritisk, potem lahko rečemo, da:

\({W_g} + {W_p} = {\rm{\Delta }}K\)

Ker je gravitacija konzervativna sila, bo mehansko delo, ki ga opravi, enako razliki v gravitacijski potencialni energiji med dvema točkama. Začetna višina, na kateri se nahaja tekočina, je \({y_1}\), končna višina pa \({y_2}\), zato imamo:

\({W_g} = – {\rm{\Delta }}mg{\rm{\Delta }}y = – {\rm{\Delta }}mg\levo( {{y_2} – {y_1}} \desno )\)

Kjer je \({\rm{\Delta }}m\) delež mase tekočine, ki prehaja skozi določeno točko, \(g\) pa je pospešek zaradi težnosti. Ker je idealna tekočina nestisljiva, potem \({\rm{\Delta }}m = \rho {\rm{\Delta }}V\). Kjer je \(\rho \) gostota tekočine in \({\rm{\Delta }}V\) del prostornine, ki teče skozi točko. Če to zamenjamo v zgornjo enačbo, dobimo:

\({W_g} = – \rho g{\rm{\Delta }}V\levo( {{y_2} – {y_1}} \desno)\)

Oglejmo si zdaj mehansko delo, ki ga opravi pritisk tekočine. Tlak je sila, ki deluje na enoto površine, to je \(F = PA\). Po drugi strani pa je mehansko delo definirano kot \(W = F{\rm{\Delta }}x\), kjer je \(F\) uporabljena sila in \({\rm{\Delta }}x\) je premik, izveden v tem primeru na osi x. V tem kontekstu si lahko predstavljamo \({\rm{\Delta }}x\) kot dolžino dela tekočine, ki teče skozi določeno točko. Če združimo obe enačbi, dobimo \(W = PA{\rm{\Delta }}x\). Zavedamo se lahko, da je \(A{\rm{\Delta }}x = {\rm{\Delta }}V\), kar pomeni, da gre za del prostornine, ki teče skozi navedeno točko. Zato imamo \(W = P{\rm{\Delta }}V\).

Na začetni točki je v sistemu opravljeno mehansko delo enako \({P_1}{\rm{\Delta }}V\) in na končni točki sistem opravi mehansko delo na okolico enako \({P_2}{\rm{\Delta }}V\). Mehansko delo zaradi tlaka tekočine bo potem delo, opravljeno na sistemu, minus delo, ki ga opravi na svoji okolici, kar pomeni, da:

\({W_p} = {P_1}{\rm{\Delta }}V – {P_2}{\rm{\Delta }}V = \levo( {{P_1} – {P_2}} \desno){\rm {\Delta }}V\)

Končno bo razlika v kinetični energiji \({\rm{\Delta }}K\) enaka kinetični energiji na končni točki minus kinetična energija na začetni točki. To je:

\({\rm{\Delta }}K = \frac{1}{2}{\rm{\Delta }}mv_2^2 – \frac{1}{2}{\rm{\Delta }}mv_1^ 2 = \frac{1}{2}{\rm{\Delta }}m\levo( {v_2^2 – v_1^2} \desno)\)

Iz zgornjega vemo, da \({\rm{\Delta }}m = \rho {\rm{\Delta }}V\). Zgornja enačba je potem:

\({\rm{\Delta }}K = \frac{1}{2}\rho {\rm{\Delta }}V\levo( {v_2^2 – v_1^2} \desno)\)

Če nadomestimo vse dobljene rezultate v enačbi za ohranjanje energije, dobimo, da:

\(\levo( {{P_1} – {P_2}} \desno){\rm{\Delta }}V – \rho {\rm{\Delta }}V\levo( {{y_2} – {y_1}} \desno) = \frac{1}{2}\rho {\rm{\Delta }}V\levo( {v_2^2 – v_1^2} \desno)\)

Izraz \({\rm{\Delta }}V\) lahko faktoriziramo na obeh straneh enačbe, kar vodi do:

\({P_1} – {P_2} – \rho g\levo( {{y_2} – {y_1}} \desno) = \frac{1}{2}\rho \levo( {v_2^2 – v_1^2 } \prav)\)

Pri razvoju manjkajočih izdelkov moramo:

\({P_1} – {P_2} – \rho g{y_2} + \rho g{y_1} = \frac{1}{2}\rho v_2^2 – \frac{1}{2}\rho v_1^ 2\)

Če preuredimo vse člene na obeh straneh enačbe, dobimo, da:

\({P_1} + \rho g{y_1} + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = {P_2} + \rho g{y_2} + \frac{1}{2}\rho v_2^ 2\)

Ta enačba je razmerje med začetnim in končnim stanjem našega sistema. Končno lahko rečemo, da:

\(P + \rho gy + \frac{1}{2}\rho {v^2} = konstanta\)

Ta zadnja enačba je Bernoullijeva enačba, iz katere izhaja njen princip. Bernoullijev princip je ohranitveni zakon za idealno tekočino v gibanju.

Reference

David Halliday, Robert Resnick & Jearl Walker. (2011). Osnove fizike. Združene države: John Wiley & Sons, Inc.