Дефиниција нееуклидске геометрије

У основи, нееуклидске геометрије су оне које произилазе из довођења у питање тзв. Еуклидов 5. постулат, стога је од суштинског значаја општа карактеризација дела Еуклида, који је био грчки математичар и геометар, чији рад је парадигматичан за Геометрија, да се сматра једним од његових оснивача. Са извесним се зна безбедност који је живео у граду Александрији, културном жаришту антике, око 300. године п.н.е. ц.

Његов рад Елементи почиње серијом „принципа“, сачињених од листе од 23 дефиниције; следи 5 постулата који се односе на фигуре посебно геометријски; и 5 општих аксиома, заједничких другим математичким дисциплинама. Затим, након принципа, Еуклид уводи „пропозиције”, два типа: проблеме, који се односе на

зграда фигура са правилом и шестаром; и теореме, које се односе на демонстрацију особина које неки геометријске фигуре.

Еуклидов пети постулат

Он наводи да „Ако права линија која пада на две друге праве чини унутрашње углове исте странице мањим од две праве, онда, ако се две праве продужавају бесконачно, оне се састају на страни на којој су углови мањи од два равно”. Да су углови прави, онда би такве праве, према дефиницији бр. 23, биле паралелне ("Паралелне праве су праве које се, ако су у истој равни и бесконачно продужене, не састају ни у једном правцу.”).

Овај постулат, сложенији од претходних, сам по себи није био несумњив: није било очигледно да, продужавајући праве бесконачно, пресецале би се на страни на којој су углови мањи од два права угла, пошто се то не би могло доказати помоћу зграда. Затим је остала отворена могућност да се линије приближавају једна другој на неодређено време, а да се никада не укрсте.

Покушаји доказивања петог постулата

Из тог разлога, од антике до средине 19. века, низали су се неуспели покушаји да се докаже пети постулат: доказ је увек постигнут; али уводећи неки други додатни постулат (логички еквивалентан петом), различит од Еуклидових. Односно, пети постулат није могао бити доказан, већ је замењен еквивалентним.

Пример за то је постулат Џона Плејфера (с. КСВИИИ): „Једна тачка паралелна тој правој пролази кроз тачку изван праве која је у истој равни." (познат као "паралелни постулат”). Нееуклидске геометрије произилазе управо из неуспешних покушаја да се докаже пети постулат Еуклидовог система.

Сацхеријев тест апсурда

Године 1733. италијански математичар Ђироламо Сакери покушао је да докаже апсурдност Еуклидовог петог постулата. Да би то урадио, изградио је четвороугао (познат као "Сацхеријев четвороугао“, у којем су један пар углова прави углови) и навео да је пети постулат еквивалентан тврдњи да је карактеристични углови (они насупрот пару правих углова) тог четвороугла су такође прави углови. онда су три хипотеза могуће, међусобно искључиве: да су два карактеристична угла прави, оштар или туп. Да би се пети постулат доказао апсурдом, било је потребно доказати (без прибегавања петом постулирано) да хипотезе тупог и оштрог угла подразумевају противречност и да су стога лажно.

Сакери је успео да докаже да је хипотеза тупог угла контрадикторна, али није успео у случају оштрог угла. Напротив, извео је низ теорема у складу са еуклидском геометријом и некомпатибилних са њом. На крају је закључио да, с обзиром на необичност ових теорема, хипотеза мора бити погрешна. Сходно томе, веровао је да је пети постулат доказао апсурдним; међутим, оно што је урадио је ненамерно доказао важан скуп теорема нееуклидске геометрије.

„Истовремено“ откриће нееуклидских геометрија

Карл Ф. Гаус је у деветнаестом веку први посумњао да се пети постулат не може доказати из остала четири (тј. да је независно) и у схватању могућности нееуклидске геометрије која се заснивала на четири еуклидска постулата и на негацији пети. Никада није објавио своје откриће: ово се сматра случајем истовремено откривање, јер је имао три независна референта (сам Гаус, Јанош Бољаи и Николај Лобачевски).

Порицање да пети закон Еуклидског подразумева две могућности (узимајући еквивалентну формулацију Плејфера): кроз тачку ван праве линије, или нема паралелних пролаза, или више од једног паралелног пролаза. Међу нееуклидским геометријама налазимо, на пример, геометрију "имагинарни” Лобачевског, касније познатог као „хиперболично"- према, "С обзиром на спољашњу тачку на праву, кроз ту тачку пролазе бесконачне праве које се секу, бесконачне праве које се не секу и само две паралелне праве.“, за разлику од јединствене еуклидске паралеле; или елиптичку геометрију Бернхарда Римана, која каже да "Кроз тачку ван праве, паралела са том правом не пролази.”.

Примене и импликације открића

Тренутно је познато да у локалном простору обе геометрије дају приближне резултате. Разлике се јављају када се физички простор описује једном или другом геометријом, с обзиром на велике удаљености. Иако настављамо да користимо еуклидску геометрију, пошто она најједноставније описује наш простор на локалном нивоу, откриће нееуклидских геометрија је била одлучујућа утолико што је значила радикалну трансформацију разумевања истина научним.

До тада се сматрало да еуклидска геометрија заиста описује простор. Приликом доказивања могућности да се он опише кроз другу геометрију, уз друге постулате, било је потребно преиспитати критеријуме по којима је било могуће претпоставити једно или друго објашњење као што је „истинито”.

Библиографија

МАРТИНЕЗ ЛОРКА, А. (1980) „Сократова етика и њихов утицај на мислио Оццидентал”, у Ревиста Баетица: Естудиос де Арте, Географија и историја, 3, 317-334. Универзитет у Малаги.

Теме из нееуклидске геометрије