Шта је Дирацова једначина и како је дефинисана?

Пол Адријен Морис Дирак (1902-1984) предложио је крајем 1928. једну од једначина од највећег значаја и импликације у физици садашње ере, а то је зато што уједињује принципе квантне механике са принципима релативности.

Цитат (АПА)

Евелин Маитее Марин | авг. 2022
Индустријски инжењер, магистар физике, и ЕдД

Ова једначина се може изразити на неколико начина, а најкомпактнији и најједноставнији је оно што се сматра једном од најестетичнијих једначина у науци:

\(\лево( {и\набла - \фрац{{мц}}{х}} \десно) = 0\)

Где:
и: имагинарна јединица
м: маса мировања електрона
ħ: Планкова редукована константа
ц: брзина од светлости
: оператор сабирања парцијалних извода
: математичка таласна функција електрона

Апсолутна вредност квадрата таласне функције представља вероватноћа пронаћи честицу у одређеном положају, с обзиром на њену Енергија, брзину, између осталих параметара, као и њен еволуција у времену. Другим речима, једначина Пола Дирака користи матрице које делују на векторе и представља еволуцију Шредингерове једначине у релативистичкој квантној физици.

Диракова једначина је првобитно коришћена да опише понашање електрона лишеног интеракције, иако се њена применљивост протеже на Опис субатомских честица када путују брзином блиском брзини светлости. Дирац је успео да објасни на субатомској скали дуално понашање таласа и честице које је већ било познато у то време, пошто је разматрао својства честица као што је угаони момент интринсиц или спин.

Још један од значајних доприноса Диракове једначине је предвиђање антиматерије, чије је постојање касније (1932.) показао Карл Д. Андерсон користећи комору за облаке са којом је идентификовао позитрон. Такође у великој мери објашњава фину структуру идентификовану у атомским спектралним линијама.

Слика приказује чувену фотографију снимљену током конференције "Фотони и електрони" 1927. године на којој су приказани неки од најистакнутијих научника у историји. У небеском обиму је Пол Дирак.

Позадина Дирацове једначине

Да би се разумела разматрања која је Дирац узео у развоју своје једначине, као и на основу којих је заснован његов приступ, важно је познавати теорије које су претходиле његовом модел.

Прво, ту је чувена Шредингерова једначина квантне механике, објављена 1925. године, која претвара количине у квантне операторе. Ова једначина користи таласну функцију (), узимајући за почетну тачку класичну једначину енергија Е = п2/2м и укључује правила квантизације и за импулс (п) и за енергију (И):

\(их\фрац{\партиал }{{\партиал т}}\лефт( {р, т} \ригхт) = \лефт[ {\фрац{{{х^2}}}{{2м}}{\ набла ^2} + В\лево( {р, т} \десно)} \десно]\лево( {р, т} \десно)\)

Парцијални извод /т изражава еволуцију система у односу на време. Први термин унутар угласте заграде односи се на Кинетичке енергије (\({\набла ^2} = \фрац{\партиал }{{\партиал р}}\лефт( {р, т} \ригхт)\)), док се други појам односи на потенцијална енергија.

Напомена: у Ајнштајновој теорији релативности, променљиве простора и времена морају подједнако да уђу у једначине, што није случај у Шредингеровој једначини, у којој се време појављује као извод, а позиција као други дериват.

Сада, вековима, научници су покушавали да пронађу модел физике који обједињује различите теорије, а у случају Шредингерова једначина узима у обзир масу (м) и наелектрисање електрона, али не узима у обзир релативистичке ефекте који се манифестују при високим брзине. Из тог разлога су 1926. године научници Оскар Клајн и Волтер Гордон предложили једначину која узима у обзир принципе релативности:

\({\лефт( {их\фрац{\партиал }{{\партиал т}}} \ригхт)^2} = \лефт[ {{м^2}{ц^4} + ц{{\лефт( { - их\бар \набла } \десно)}^2}} \десно]\)

Проблем са Клајн-Гордоновом једначином је у томе што је заснована на Ајнштајновој, у којој је енергија на квадрат, тако да је ова (Клајн-Гордонова) једначина укључује извод на квадрат у односу на време, а то имплицира да има два решења, дозвољавајући негативне вредности времена, и то нема смисла физички. Исто тако, има непријатност да генерише вредности вероватноће мање од нуле као решења.

Покушавајући да разреши недоследности које подразумевају негативна решења одређених величина која не подржавају ове резултате, Пол Дирак је пошао од Клајн-Гордонове једначине на линеаризује га, а у овај поступак је увео два параметра у облику матрица димензије 4, познате као Дирацове или такође Паулијеве матрице, а које су репрезентација алгебре завртети. Ови параметри су означени као  и ` (у једначини енергије они су представљени као Е = пц + мц2):

По ономе што јесте једнакост је испуњен услов је да је ´2 = м2ц4

Генерално, правила квантизације доводе до операција са дериватима које се примењују на скаларне таласне функције, међутим, као параметри α и β су 4к4 матрице, диференцијални оператори интервенишу на четвородимензионалном вектору (), познатом као спинор.

Дирацова једначина решава проблем негативне енергије представљен Клајн-Гордоновом једначином, али се и даље појављује негативно енергетско решење; односно честице са својствима сличним онима из другог раствора, али са супротним наелектрисањем, Дирак је ово назвао античестицама. Даље, Дираковом једначином се показује да је спин резултат примене релативистичких својстава на квантни свет.