Шта је хијерархија операција?

Хијерархија операција је математичка конвенција која успоставља редослед којим би се комбиноване рачунске радње требале извршити у исти математички исказ, односно када постоји математички исказ где постоје математичке операције (сабирање, одузимање, множење, дељење, моћи и корени) заједно, ово се мора урадити одређеним редоследом да би се дошло до резултата заједнички.

Али зашто је потребна хијерархија? Да бисмо на њега одговорили, прво морамо добро разумети природу математичких операција, које се састоје од трансформације која се примењује на елементе скупа. Помислимо, на пример, на скуп реалних бројева, односно оних бројева које сви знамо. Ако узмемо број а и саберемо га са другим бројем б добићемо још један број ц који припада истом скупу реалних бројева, тј.

а+б = ц

Поред тога, редослед којим су приказани сабирци не утиче на коначан резултат, тј а+б = б+а, ово својство се назива комутативност. Важно је говорити о сабирању јер је то основна операција из које су изведене све остале. Множење није ништа друго до низ поновљених сабирања. Ако поново имамо број а и помножимо га бројем б, оно што радимо је понекад сабирање броја б са самим собом, или, алтернативно, сабирање б пута броја а са самим собом. Ово последње је тако пошто је множење комутативно као сабирање, то имплицира да:

а⋅б = б⋅а. Горе поменуто се може изразити као:

Ово можемо лако да визуелизујемо на примеру. Урадимо множење 5×2:

5×2 = 2×5 = 2+2+2+2+2 = 5+5 = 10

Сада, шта ако морамо да извршимо операцију где смо комбиновали сабирање са множењем? На пример: а⋅б+ц. Који је редослед којим се сабирање и множење морају извршити? Којој операцији треба да дамо предност? Ако прво извршимо множење и развијемо га као збир, имали бисмо:

Сада, ако бисмо прво извршили сабирање, а затим множење, добили бисмо:

Пошто је сабирање комутативно, можемо прегруписати десну страну једначине да добијемо:

Упоређујући резултате добијене у обе ситуације, лако је схватити да:

Тада закључујемо да редослед којим се одлучује да се операције изводе утиче на добијени резултат. Исто се дешава када укључимо моћи. Када подигнемо број б на степен ц, оно што радимо је да множимо ц пута број б са самим собом, то јест:

Сада прелазимо на следећу комбиновану операцију која укључује множење и степен а⋅б^ц другачијим редоследом као што смо урадили у претходном случају. Ако прво дамо предност моћи, имамо:

Сада, ако прво извршимо множење, а затим степен, имали бисмо:

Користећи предност комутативности множења, можемо прегруписати десну страну једначине као:

Опет, можемо упоредити резултате добијене извођењем операција различитим редоследом да бисмо схватили да:

Такође у овом случају редослед извођења операција утиче на добијени резултат. Дакле, који је редослед којим се операције морају извршити? Хијерархија операција утврђује да су моћи на вишем нивоу хијерархије од множења, на такав начин да моћи имају предност у математичком исказу. Заузврат, множења имају виши ниво хијерархије од сабирања.

Али шта је са одузимањем, дељењем и коренима? Одузимање је супротна операција сабирања, када одузмемо број б од броја а добијамо други број ц такав да је ц+б=а. Нешто слично се дешава са дељењем и одузимањем. Ако поделимо број а бројем б и као резултат добијемо број ц, нашли смо број такав да је б⋅ц=а. И коначно, израчунавањем корена б броја а налазимо број ц такав да ц^б=а. Ове еквиваленције стављају одузимање, дељење и корен на исти хијерархијски ниво као сабирање, множење и степен.

Вежбе са заградама и заградама

Сада, шта се дешава ако желимо да дамо приоритет неким операцијама у математичком исказу без обзира на њихов хијерархијски ниво? Да бисте то урадили, користе се заграде и угласте заграде. Претпоставимо да имамо изјаву принципа а⋅б+ц. Из онога што смо раније рекли, већ знамо да прво морамо извршити множење, а затим сабирање. Али, шта ако желимо да то није случај? Да бисмо то урадили, морали бисмо да користимо заграде или угласте заграде да одвојимо сабирање од множења и тако дамо предност првом израчунавању сабирања, то јест: а⋅(б+ц). Ово доводи до тога да изрази одвојени заградама и угластим заградама имају највећи приоритет над свим осталим операцијама.

Са свим горе наведеним, хијерархија операција, односно редослед којим се оне морају извршити, је следећа:

1) Заграде и заграде
2) Моћи и корени
3) Множење и дељење
4) Сабирање и одузимање

Референце

х. Бехнке, Ф. Бахман, К. Фладт, В. Сус, Х. Герике, Ф. Хохенберг, Г. Пикерт, Х. Рау & С. х. Гоулд. (1983). Основи математике: том И. Кембриџ, Масачусетс и Лондон: МИТ Пресс.