Дефиниција еквивалентних разломака

За два или више разломака се каже да су еквивалентне ако представљају исту количину, тј.
\(\фрац{а}{б} = \фрац{ц}{д}\;,\)
за разломке \(\фрац{а}{б}\) и \(\фрац{ц}{д}\) се каже да су еквивалентни.

Еквивалентни разломци: графички приказ

Размотримо квадрат који ћемо поделити на четвртине, трећине, осмине и дванаестине.

Из претходних слика примећујемо следеће еквивалентности:

Како добити један или више еквивалентних разломака?

Постоје две основне методе за добијање разломка који је еквивалентан датом разломку.

1. Помножите бројилац и именилац истим позитивним бројем.

Примери:

\(\фрац{3}{4} = \фрац{{3\лефт( 5 \ригхт)}}{{4\лефт( 5 \ригхт)}} = \фрац{{15}}{{20}} \)

\(\фрац{3}{4} = \фрац{{3\лефт( 7 \ригхт)}}{{4\лефт( 7 \ригхт)}} = \фрац{{21}}{{28}} \)

\(\фрац{5}{8} = \фрац{{5\лефт( 6 \ригхт)}}{{8\лефт( 6 \ригхт)}} = \фрац{{30}}{{56}} \)

2. Дели се истим позитивним заједничким делиоцем бројила и имениоца.

\(\фрац{{52}}{{56}} = \фрац{{52 \див 4}}{{56 \див 4}} = \фрац{{13}}{{14}}.\)

\(\фрац{{80}}{{140}} = \фрац{{80 \див 20}}{{140 \див 20}} = \фрац{4}{7}.\)

\(\фрац{{21}}{{57}} = \фрац{{21 \див 3}}{{57 \див 3}} = \фрац{7}{{19}}\)

Када су у разломку и бројилац и именилац подељени истим заједничким делиоцем који није 1, каже се да је разломак смањен.

несводљиви разломци

Разломак се назива несводљивим ако је највећи заједнички делилац бројила и имениоца једнак 1.

Ако је \(гцд\лефт( {а, б} \десно) = 1,\) разломак \(\фрац{а}{б}\) се назива несводиви разломак.

Дат је разломак \(\фрац{а}{б}\) да би се добио разломак који је еквивалентан овом разломку и који је такође несводљиви разломак бројилац и бројилац су подељени највећим заједничким делиоцем од \(а\;\) и од \(б.\)

Следећа табела приказује примере несводљивих и редуцибилних фракција; ако је сводљив, показује како се добија несводиви еквивалентни разломак.

Фрацтион	Највећи заједнички делилац	Несводиво	несводиви еквивалентни разломак
\(\фрац{{14}}{{42}}\)	7	Не	\(\фрац{{14}}{{42}} = \фрац{{14 \див 7}}{{42 \див 7}} = \фрац{2}{7}\)
\(\фрац{3}{{25}}\)	1	Да	\(\фрац{3}{{25}}\)
\(\фрац{{21}}{{201}}\)	3	Не	\(\фрац{{21 \див 3}}{{20\;1 \див 3}} = \фрац{7}{{67}}\)
\(\фрац{5}{{24}}\)	1	Да	\(\фрац{5}{{24}}\)
\(\фрац{{72}}{{1125}}\)	9	Не	\(\фрац{{72}}{{1125}} = \фрац{{72 \див 9}}{{1125 \див 9}} = \фрац{8}{{125}}\)

Еквивалентни разломци: вербално представљање.

Следећа табела приказује два различита начина за приказивање еквивалентних информација, са нумеричке тачке гледишта.

Вербална фраза	Еквивалентна фраза (бројчано)	Аргументација
Године 1930. у Мексику су 4 особе од 25 људи говориле матерњи језик.	Године 1930. у Мексику је 16 људи од 100 људи говорило матерњи језик.	Оба податка су помножена са 4
Године 1960. у Мексику су 104 особе од 1.000 људи говориле матерњи језик.	Године 1960. у Мексику је 13 људи од 125 људи говорило матерњи језик	Оба податка су подељена са 8.

Еквивалентни разломци: децимални приказ

Табела испод приказује различите децималне бројеве и еквивалентне разломке који их представљају.

Децимални број	Фрацтион	еквивалентни разломак	Операције
\(0.25\)	0,25=\(\фрац{{25}}{{100}}\)	0,25=\(\фрац{1}{4}\)	\(25 \див 25 = 1\) \(100 \див 25 = \)
\(1.4\)	\(1,4 = 1 + \фрац{4}{{10}} = \фрац{{14}}{{10}}\)	\(1,4 = \фрац{7}{5}\)	\(14 \див 2 = 1\) \(10 \див 2 = 5\)
\(0.145\)	\(0,145 = \фрац{{145}}{{1000}}\)	\(0,145 = \фрац{{29}}{{200}}\)	\(145 \див 5 = 29\) \(1000 \див 5 = 200\)

Еквивалентни разломци: Репрезентација као проценат

Табела испод приказује различите децималне бројеве и еквивалентне разломке који их представљају.

Децимални број	Фрацтион	еквивалентни разломак	Операције
20%	\(\фрац{{20}}{{100}}\)	\(\фрац{1}{5}\)	\(20 \див 20 = 1\) \(100 \див 20 = 5\)
150%	\(\фрац{{150}}{{100}}\)	\(\фрац{3}{2}\)	\(150 \див 50 = 3\) \(100 \див 50 = 2\)
55%	\(\фрац{{55}}{{100}}\)	\(\фрац{{11}}{{20}}\)	\(55 \див 11 = 5\) \(100 \див 5 = 20\)

Еквивалентни разломци: од хетерогених до хомогених

С обзиром на два хетерогена разломка \(\фрац{а}{б}\) и \(\фрац{ц}{д}\), можемо пронаћи два разломка хомоген на такав начин да је један разломак еквивалентан разломку \(\фрац{а}{б}\;\), а други разломку \(\фрац{ц}{д}\).

Затим ћемо показати две процедуре за обављање онога што је поменуто у претходном параграфу.

Хајде да приметимо:

\(\фрац{а}{б} = \фрац{{а\лефт( д \ригхт)}}{{б\лефт( д \ригхт)}}\)

\(\фрац{ц}{д} = {\рм{\;}}\фрац{{ц\лефт( б \ригхт)}}{{д\лефт( б \ригхт)}}\)

Следећа табела приказује неке примере.

Ф. хетерогена	Операције	Ф. хомоген
\(\фрац{4}{5}\), \(\фрац{2}{3}\)	\(\фрац{{4\лефт( 3 \ригхт)}}{{5\лефт( 3 \ригхт)}} = \фрац{{12}}{{15}}\) \(\фрац{{2\лефт( 5 \ригхт)}}{{3\лефт( 5 \ригхт)}} = \фрац{{10}}{{15}}\)	\(\фрац{{12}}{{15}}\), \(\фрац{{10}}{{15}}\)
\(\фрац{7}{{12}}\), \(\фрац{4}{{18}}\)	\(\фрац{{7\лефт( {18} \ригхт)}}{{12\лефт( {18} \ригхт)}} = \фрац{{126}}{{216}}\) \(\фрац{{4\лефт( {12} \ригхт)}}{{18\лефт( {12} \ригхт)}} = \фрац{{48}}{{216}}\)	\(\фрац{{126}}{{216}},\) \(\фрац{{48}}{{216}}\)
\(\фрац{7}{{10}}\), \(\фрац{3}{{14}}\), \(\фрац{5}{4}\)	\(\фрац{{7\лефт( {14} \ригхт)\лефт( 4 \ригхт)}}{{10\лефт( {14} \ригхт) 4}} = \фрац{{392}}{{ 560}}\) \(\фрац{{3\лефт( {10} \ригхт)\лефт( 4 \ригхт)}}{{14\лефт( {10} \ригхт)\лефт( 4 \ригхт)}} = \фрац{ {120}{{560}}\) \(\фрац{{5\лефт( {10} \ригхт)\лефт( {14} \ригхт)}}{{4\лефт( {10} \ригхт)\лефт( {14} \ригхт)}} = \фрац{{700}}{{560}}\)	\(\фрац{{392}}{{560}}\), \(\фрац{{120}}{{560}},\) \(\фрац{{700}}{{560}}\)

Недостатак ове методе је што се у процесу могу произвести веома велики бројеви; У многим случајевима то је могуће избећи ако се израчуна најмањи заједнички умножак именилаца и други метод се заснива на израчунавању најмањег заједничког вишекратника.

Најмањи заједнички вишекратник у рачунању разломака

Затим, кроз два примера, како добити хомогене разломке користећи најмањи заједнички умножак именилаца, који ће бити заједнички именилац укључених разломака.

Узмите у обзир разломке: \(\фрац{7}{{12}}\), \(\фрац{4}{{18}}.\)

Најмањи заједнички вишекратник \(12\) и \(18\) је \(36\); Сада

\(36 \див 12 = 3\)

\(36 \див 18 = 2\)

\(\фрац{7}{{12}} = \фрац{{7\лефт( 3 \ригхт)}}{{12\лефт( 3 \ригхт)}} = \фрац{{21}}{{36 }},\)

\(\фрац{4}{{18}} = \фрац{{4\лефт( 2 \ригхт)}}{{18\лефт( 2 \ригхт)}} = \фрац{8}{{36}} \)

Сада размотрите разломке: \(\фрац{7}{{10}}\), \(\фрац{3}{{14}}\), \(\фрац{5}{4}\)

Најмањи заједнички вишекратник \(10\), \(14\) и \(3\) је \(140\); Сада

\(140 \див 10 = 14\)

\(140 \див 14 = 10\)

\(140 \див 4 = 35\)

\(\фрац{7}{{10}} = \фрац{{7\лефт( {14} \ригхт)}}{{10\лефт( {14} \ригхт)}} = \фрац{{98} {{140}},\)

\(\фрац{3}{{14}} = \фрац{{3\лефт( {10} \ригхт)}}{{14\лефт( {10} \ригхт)}} = \фрац{{30} {{140}}\)

\(\фрац{5}{4} = \фрац{{5\лефт( {35} \ригхт)}}{{4\лефт( {35} \ригхт)}} = \фрац{{175}}{ {140}}\)

Из претходних слика примећујемо следећу чињеницу:

\(\фрац{1}{4} = \фрац{3}{{12}}\)

Ево других примера.

Ф. хетерогена	мин заједнички имениоци	Операције	Ф. хомоген
\(\фрац{1}{{14}}\) \(\фрац{1}{{18}}\)	126	\(126 \див 14 = 9\) \(\фрац{1}{{14}} = \фрац{{1\лефт( 9 \ригхт)}}{{14\лефт( 9 \ригхт)}} = \фрац{9}{{126}} \) \(126 \див 18 = 7\) \(\фрац{1}{{18}} = \фрац{{1\лефт( 7 \ригхт)}}{{18\лефт( 7 \ригхт)}} = \фрац{7}{{126}} \)	\(\фрац{9}{{126}}\), \(\фрац{7}{{126}}\)
\(\фрац{5}{6}\) \(\фрац{2}{{15}},\) \(\фрац{4}{9}\)	90	\(90 \див 6 = 15\) \(\фрац{5}{6} = \фрац{{5\лефт( {15} \ригхт)}}{{6\лефт( {15} \ригхт)}} = \фрац{{75}}{ {90}}\) \(90 \див 15 = 6\) \(\фрац{2}{{15}} = \фрац{{2\лефт( {15} \ригхт)}}{{15\лефт( 6 \ригхт)}} = \фрац{{30}}{ {90}}\) \(90 \див 9 = 10\) \(\фрац{4}{9} = \фрац{{4\лефт( {10} \ригхт)}}{{9\лефт( {10} \ригхт)}} = \фрац{{40}}{ {90}}\)	\(\фрац{{75}}{{90}}\), \(\фрац{{{30}}{{90}}\), \(\фрац{{{40}}{{90}}\)