Дефиниција аритметичке прогресије

Низ бројева \({а_1},\;{а_2},{а_3}, \лдотс \) назива се аритметичка прогресија ако је разлика између два узастопна броја једнака истом броју \(д\), то је да:

\({а_{н + 1}} - {а_н} = д\)

Број \(д\) назива се разлика аритметичке прогресије.

Елемент \({а_1}\) се назива први елемент аритметичког низа.

Елементи аритметичке прогресије могу се изразити кроз први елемент и његову разлику, односно:

\({а_1},{а_1} + д,{а_1} + 2д,{а_1} + 3д\)

Они су прва четири елемента аритметичке прогресије; Генерално, \(к – \)-ти елемент се изражава на следећи начин:

\({а_к} = {а_1} + \лево( {к – 1} \десно) д\)

Из горњег израза добијамо:

\({а_к} – {а_л} = {а_1} + \лефт( {к – 1} \десно) д – \лефт( {{а_1} + \лефт( {л – 1} \десно) д} \десно )\)

\({а_к} – {а_л} = \лево( {к – л} \десно) д\)

Горњи израз је еквивалентан:

\({а_к} = {а_л} + \лево( {к – л} \десно) д\)

Примери примењени за аритметичку прогресију

1. Пронађите разлику аритметичке прогресије: \(3,8,13,18, \лдотс \) и пронађите елементе \({а_{20}},\;{а_{99}}\)

Решење

Пошто је \(5 = 8 – 3 = 13 – 8 = 18 – 3\) можемо закључити да је разлика:

\(д = 5\)

\({а_{20}} = {а_1} + \лефт( {20 – 1} \десно) д = 3 + 19\лефт( 5 \десно) = 98\)

\({а_{99}} = {а_1} + \лефт( {99 – 1} \десно) д = 3 + 98\лефт( 5 \десно) = 493\)

2. У аритметичкој прогресији имамо: \({а_{17}} = 20\;\)и \({а_{29}} = – 130\), одредимо разлику аритметичке прогресије и напишимо првих 5 елемената.

Решење

Ношење

\({а_к} – {а_л} = \лево( {к – л} \десно) д\)

\({а_{29}} – {а_{17}} = \лево( {29 – 17} \десно) д\)

\( – 130 – 20 = \лево( {12} \десно) д\)

\( – 150 = \лево( {12} \десно) д\)

\(12д = – 150\)

\(д = – \фрац{{{150}}{{12}} = – \фрац{{25}}{2}\)

Да пронађе првих 5 елемената; израчунаћемо \({а_1}\):

\({а_к} = {а_1} + \лево( {к – 1} \десно) д\)

\({а_{17}} = {а_1} + \лефт( {17 – 1} \десно)\лефт( { – \фрац{{25}}{2}} \десно)\)

\(20 = {а_1} + \лефт( {16} \десно)\лефт( { – \фрац{{25}}{2}} \десно)\)

\(20 = {а_1} – 200\)

\({а_1} = 20 + 200 = 220\)

Првих 5 елемената су:

\(220,220 + \лефт( { – \фрац{{25}}{2}} \ригхт),220 + 2\лефт( { – \фрац{{25}}{2}} \ригхт),220 + 3 \лефт( { – \фрац{{{25}}{2}} \ригхт),220 + 4\лефт( { – \фрац{{25}}{2}} \ригхт)\)

\(220,\фрац{{415}}{2},195,\фрац{{365}}{2},170\)

Полигонални бројеви и збир првих \(н\) елемената аритметичке прогресије

троугласти бројеви

Троугласти бројеви \({Т_н}\;\) се формирају из аритметичке прогресије: \(1,2,3,4 \лдотс \); на следећи начин.

\({Т_1} = 1\)

\({Т_2} = 1 + 2 = 3\)

\({Т_3} = 1 + 2 + 3 = 6\)

\({Т_4} = 1 + 2 + 3 + 4 = 10\)

квадратни бројеви

Квадратни бројеви \({Ц_н}\;\) се формирају из аритметичке прогресије: \(1,3,5,7 \лдотс \); као што следи

\({Ц_1} = 1\)

\({Ц_2} = 1 + 3 = 4\)

\({Ц_3} = 1 + 3 + 5 = 9\)

\(Ц{\;_4} = 1 + 3 + 5 + 7 = 16\)

петоугаони бројеви

Квадратни бројеви \({П_н}\;\) се формирају из аритметичке прогресије: \(1,3,5,7 \лдотс \); као што следи

\({П_1} = 1\)

\({П_2} = 1 + 4 = 5\)

\({П_3} = 1 + 4 + 7 = 12\)

\({П_4} = 1 + 4 + 7 + 10 = 22\)

Затим ћемо показати формулу за проналажење збира првих \(н\) елемената аритметичке прогресије.

С обзиром на аритметичку прогресију, \({а_1},{а_2} = {а_1} + д,{а_3} + 2д, \лдотс .,{а_н} = {а_1} + \лефт( {н – 1} \десно) д\). Да бисте израчунали збир \({С_н} = {а_1} + {а_2} + {а_3} + \лдотс + {а_н};\) можете користити формулу:

\({С_н} = \фрац{{н\лефт( {{а_1} + {а_н}} \десно)}}{2}\)

што је еквивалентно

\({С_н} = \фрац{{н\лефт( {2{а_1} + \лефт( {н – 1} \десно) д} \десно)}}{2}\)

Применом претходне формуле добијају се формуле за израчунавање троугластог, квадратног и петоугаоног броја; који су приказани у следећој табели.

полигонални број	\({а_1}\)	\(д\)	Формула
Троугласти \(н – \)тх	1	1	\({Т_н} = \фрац{{н\лефт( {н + 1} \десно)}}{2}\)
Квадрат \(н – \)тх	1	2	\({Ц_н} = {н^2}\)
Пентагонални \(н – \)тх	1	3	\({П_н} = \фрац{{н\лефт( {3н – 1} \десно)}}{2}\)

Пример о полигоналним бројевима

3. Из примера 2 израчунајте \({С_{33}}\).

Решење

У овом случају \({а_1} = 200\) и \(д = – \фрац{{25}}{2}\)

применом

\({С_н} = \фрац{{н\лефт( {2{а_1} + \лефт( {н – 1} \десно) д} \десно)}}{2}\)

\({С_{33}} = \фрац{{34\лефт( {2\лефт( {200} \ригхт) + \лефт( {33 – 1} \ригхт)\лефт( { – \фрац{{25 }}{2}} \десно)} \десно)}}{2}\)

\({С_{33}} = 17\лево( {400 + 16\лево( { – 25} \десно)} \десно) = 17\лево(0 \десно) = 0\)

аритметичке средине

Дати два броја \(а\;\) и \(б,\) бројеви \({а_2},{а_3}, \лдотс ,{а_{к + 1}}\) се називају \(к\) значи аритметички бројеви \(а\;\) и \(б\); ако је низ \(а,{а_2},{а_3}, \лдотс ,{а_{к + 1}},б\) аритметичка прогресија.

Да бисте знали вредности \(к\) аритметичких средина бројева \(а\;\) и \(б\), довољно је знати разлику аритметичке прогресије, за ово мора бити следеће разматрати:

\(а = {а_1},{а_2},{а_3}, \лдотс,{а_{к + 1}},{а_{к + 2}} = б,\)

Из горе наведеног успостављамо однос:

\(б = а + \лево( {к + 2 – 1} \десно) д\)

Решавајући за \(д\), добијамо:

\(д = \фрац{{б – а}}{{к + 1}}\)

примери

4. Нађите 7 аритметичких средина између бројева -5 и 25.

Решење

Приликом пријаве

\(д = \фрац{{б – а}}{{к + 1}}\)

са \(б = 25,\;а = – 5\) и \(к = 7\;\):

\(д = \фрац{{25 – \лефт( { – 5} \ригхт)}}{{7 + 1}} = \фрац{{30}}{8} = \фрац{{15}}{4 }\)

7 аритметичких средина су:

\( – \фрац{5}{4},\;\фрац{5}{2},\;\фрац{{25}}{4},10,\фрац{{55}}{4},\ фрац{{35}}{2},\фрац{{85}}{4}\)

9. Једна особа је дала 2.000 долара као аванс за куповину фрижидера, а остатак је платила кредитном картицом 18 месеци без камате. Мора да плаћа 550 долара месечно да измири дуг, који је стекао да плати свој фрижидер.

до. Колика је цена фрижидера?

б. Ако сте остатак платили током 12 месеци без камате, колико би износила месечна уплата?

Решење

до. У овом случају:

\({а_{19}} = 2000 + 18\лево( {550} \десно)\)

\({а_{19}} = 2000 + 9900 = 11900\)

б. Између бројева 2000 и 11900 морамо пронаћи 11 аритметичких средина, за које:

\(д = \фрац{{11900 – 2000}}{{12}} = 825\)

5. С обзиром на низ \(7,\;22,\;45,\;76,115,162\) пронађите следећа 3 елемента и општи израз елемента \(н\).

Решење

Дотични низ није аритметичка прогресија, пошто \(22 – 7 \не 45 – 22\), али можемо да формирамо низ са разликама два узастопна елемента и следећа табела показује резултати:

Елементи низа \({б_н}\)	Секвенца \(\;{ц_н} = {б_н} – {б_{н – 1}}\)	\(д = {ц_{н + 1}} – {ц_н}\)
\({б_1} = 7\)	\({ц_1} = {б_1}\)
\({б_2} = 22\)	\({ц_2} = {б_2} – {б_1} = 15\)	\({ц_2} – {ц_1} = 8\)
\({б_3} = 45\)	\({ц_3} = {б_3} – {б_2} = \)23	\({ц_3} – {ц_2} = 8\)
\({б_4} = 76\)	\({ц_4} = {б_4} – {б_3} = 31\)	\({ц_4} – {ц_3} = 8\)
\({б_5} = 115\)	\({ц_5} = {б_5} – {б_4} = 39\)	\({ц_5} – {ц_4} = 8\)
\({б_6} = 162\)	\({ц_6} = {б_6} – {б_5} = 47\)	\({ц_6} – {ц_5} = 8\)

Трећа колона горње табеле нам говори да је низ \(15,\;23,31,39,\;47, \лдотс .\); је аритметички низ чија је разлика \(д = 8\).

Затим ћемо записати елементе низа \({б_н}\) у терминима низа \({ц_н},\)

\({б_1} = {ц_1}\)

\({б_2} = {ц_1} + {ц_2}\)

\({б_3} = {б_2} + {ц_3} = {ц_1} + {ц_2} + {ц_3}\)

\({б_4} = {б_3} + {ц_4} = {ц_1} + {ц_2} + {ц_3} + {ц_4}\)

Уопштено, имате:

\({б_н} = {ц_1} + {ц_2} + {ц_3} + \лдотс + {ц_н}\;\)

Приликом пријаве

\({С_н} = \фрац{{н\лефт( {2{ц_1} + \лефт( {н – 1} \десно) д} \десно)}}{2}\)

Са \({ц_1} = 7\) и \(д = 8,\) добијамо:

\({б_н} = \фрац{{н\лефт( {14 + \лефт( {н – 1} \десно) 8} \десно)}}{2}\)

\({б_н} = н\лево( {7 + 4\лево( {н – 1} \десно)} \десно)\)

\({б_н} = н\лево( {4н + 3} \десно)\)

Применом претходне формуле: \({б_7} = 217,\;{б_8} = 280,\;{б_9} = 351\)