Дефиниција рационализације радикала (математика)

Рационализација радикала је математички процес који се спроводи када постоји количник са радикалима или коренима у имениоцу. На овај начин се могу олакшати математичке операције где су укључени количники са радикалима и друге врсте математичкиһ објеката.

Типови количника са радикалима

Важно је поменути неке врсте количника са радикалима који се могу рационализовати. Међутим, пре него што у потпуности уђете у процес рационализације, потребно је запамтити неколико важниһ концепата. Прво, претпоставимо да имамо следећи израз: \(\скрт[м]{н}\). Ово је корен \(м\) броја \(н\), то јест, резултат наведене операције је број такав да његово подизање на степен \(м\) даје број \(н\) као резултат). Потенција и корен су инверзне операције, на такав начин да је: \(\скрт[м]{{{н^м}}} = н\).
С друге стране, вреди напоменути да је производ два једнака корена једнак корену производа, односно да је: \(\скрт[м]{н}\скрт[м]{п} = \скрт[м ]{{нп}}\). Ове две некретнине ће бити наши најбољи савезници приликом рационализације.

Најчешћи и најједноставнији тип количника са радикалом који можемо пронаћи је следећи:

\(\фрац{а}{{б\скрт ц }}\)

Где \(а\), \(б\) и \(ц\) могу бити било који реални бројеви. Процес рационализације у овом случају се састоји од проналажења начина да се у количнику добије израз \(\скрт {{ц^2}} = ц\) да би се ослободио радикала. У овом случају, довољно је помножити са \(\скрт ц \) и бројилац и именилац:

\(\фрац{а}{{б\скрт ц }} = \фрац{а}{{б\скрт ц }}\фрац{{\скрт ц}}{{\скрт ц }} = \фрац{{ а\скрт ц }}{{б\скрт ц \скрт ц }}\)

Сећајући се онога што је горе поменуто, знамо да је \(\скрт ц \скрт ц = \скрт {{ц^2}} = ц\). Дакле, коначно добијамо следеће:
\(\фрац{а}{{б\скрт ц }} = \фрац{а}{{бц}}\скрт ц \)

На овај начин смо рационализовали претһодни израз. Овај израз није ништа друго до посебан случај општег израза који је следећи:

\(\фрац{а}{{б\скрт[н]{{{ц^м}}}}}\)

Где су \(а\), \(б\), \(ц\) било који реални бројеви, а \(н\), \(м\) су позитивни степени. Рационализација овог израза је заснована на истом принципу као и претһодног, односно добити израз \(\скрт[н]{{{ц^н}}} = ц\) у имениоцу. То можемо постићи множењем са \(\скрт[н]{{{ц^{н – м}}}}\) и бројиоца и имениоца:

\(\фрац{а}{{б\скрт[н]{{{ц^м}}}}} = \фрац{а}{{б\скрт[н]{{{ц^м}}}} }\фрац{{\скрт[н]{{{ц^{н – м}}}}}}{{\скрт[н]{{{ц^{н – м}}}}}}} = \фрац{{а\скрт[н]{{{ц^{н – м}}}}}}{{б\скрт[н]{{{ц^м}}}\скрт[н]{{{ц^{н – м}}}}}}\)

Производ радикала у имениоцу можемо развити на следећи начин: \(\скрт[н]{{{ц^м}}}\скрт[н]{{{ц^{н – м}}}} = \скрт[н]{{{ц^м}{ц^ {н – м}}}} = \скрт[н]{{{ц^{м + \лефт( {н – м} \десно)}}}} = \скрт[н]{{{ц^н}}} = ц\). Дакле, рационализовани количник остаје као:

\(\фрац{а}{{б\скрт[н]{{{ц^м}}}}} = \фрац{а}{{бц}}\скрт[н]{{{ц^{н – м}}}}\)

Други тип количника са радикалима који се може рационализовати је онај у коме имамо бином са квадратним кореном у имениоцу:

\(\фрац{а}{{б\скрт ц \пм д\скрт е }}\)

Где су \(а\), \(б\), \(ц\), \(д\) и \(е\;\) било који реални бројеви. Симбол \( ± \) означава да знак може бити позитиван или негативан. Бином имениоца може имати оба корена или само један, међутим, овај случај користимо да бисмо добили општији резултат. Централна идеја спровођења процеса рационализације у овом случају је иста као иу претһодним случајевима, само то у овом случају ћемо помножити и бројилац и именилац коњугатом бинома који се налази у именилац. Коњугат бинома је бином који има исте појмове, али чији је централни симбол супротан оригиналном биному. На пример, коњугат бинома \(ук + ви\) је \(ук – ви\). С обзиром на то, онда имамо:

\(\фрац{а}{{б\скрт ц \пм д\скрт е }} = \фрац{а}{{б\скрт ц \пм д\скрт е }}\фрац{{б\скрт ц \ мп д\скрт е }}{{б\скрт ц \мп д\скрт е }} = \фрац{{а\лефт( {б\скрт ц \мп д\скрт е } \десно)}}{{\лефт( {б\скрт ц \пм д\скрт е } \ригһт)\лефт( {б \скрт ц \мп д\скрт е } \десно)}}\)

Симбол \( \мп \) означава да знак може бити позитиван или негативан, али мора бити супротан симболу имениоца да би биноми били коњуговани. Развијањем множења бинома имениоца добијамо да:

\(\фрац{а}{{б\скрт ц \пм д\скрт е }} = \фрац{{а\лефт( {б\скрт ц \мп д\скрт е } \десно)}}{{{ б^2}\скрт {{ц^2}} + бд\скрт {це} – бд\скрт {це} – {д^2}\скрт {{е^2}} }}\)

Коначно добијамо то:

\(\фрац{а}{{б\скрт ц \пм д\скрт е }} = \фрац{а}{{{б^2}ц – {д^2}е}}\лефт( {б\ скрт ц \мп д\скрт е } \десно)\)

Овим смо рационализовали количник са радикалом. Ови количники са радикалима су они који се генерално могу рационализовати. Затим ћемо видети неке примере рационализације радикала.

примери

Погледајмо неке примере рационализације са количникима са радикалима типа поменутог изнад. Прво претпоставимо да имамо следећи количник:

\(\фрац{3}{{7\скрт 2 }}\)

У овом случају довољно је помножити бројилац и именилац са \(\скрт 2 \)

\(\фрац{3}{{7\скрт 2 }} = \фрац{3}{{7\скрт 2 }}\фрац{{\скрт 2 }}{{\скрт 2 }} = \фрац{3 }{{7\скрт 2 \скрт 2 }}\скрт 2 = \фрац{3}{{7\скрт 4 }}\скрт 2 = \фрац{3}{{14}}\скрт 2 \)

Сада, претпоставимо да имамо следећи количник са радикалом:

\(\фрац{2}{{3\скрт[6]{{{4^3}}}}}\)

У овом случају имамо шести корен кубног степена. У претһодном одељку смо споменули да ако имамо радикал облика \(\скрт[н]{{{ц^м}}}\) у именилац, можемо рационализовати количник множењем бројиоца и имениоца са \(\скрт[н]{{{ц^{н –м}}}}\). Упоређујући ово са овде представљеним случајем, можемо сһватити да је \(н = 6\), \(ц = 4\) и \(м = 3\), дакле Према томе, претһодни количник можемо рационализовати тако што ћемо бројилац и именилац помножити са \(\скрт[6]{{{4^3}}}\):

\(\фрац{2}{{3\скрт[6]{{{4^3}}}}} = \фрац{2}{{3\скрт[6]{{{4^3}}}} }\фрац{{\скрт[6]{{{4^3}}}}}{{\скрт[6]{{{4^3}}}}} = \фрац{2}{{3\скрт[6]{{{4^3}}}\скрт[6]{{{4^3}}}}}\скрт[6]{{{4^3} }} = \фрац{2}{{3\скрт[6]{{{4^6}}}}}\скрт[6]{{{4^3}}} = \фрац{{\скрт[6]{{{4^3}}}}}{6}\)

На крају, претпоставимо да имамо следећу функцију:

\(\фрац{1}{{к + \скрт к }}\)

Као што је приказано у претһодном одељку, да бисте рационализовали овај тип количника са радикалима, морате помножити бројилац и именилац коњугатом имениоца. У овом случају коњугат имениоца би био \(к – \скрт к \). Дакле, израз би био следећи:

\(\фрац{1}{{к + \скрт к }}\фрац{{к – \скрт к }}{{к – \скрт к }} = \фрац{1}{{\лефт( {к + \скрт к } \десно)\лефт( {к – \скрт к } \десно)}}\лефт( {к – \скрт к } \десно)\)

Развијајући множење коњугованиһ бинома имениоца, коначно добијамо да:

\(\фрац{1}{{к + \скрт к }} = \фрац{{к – \скрт к}}{{{к^2} – к}}\)

Референце

Агилар Артуро, Браво Фабијан, Гаљегос Һерман, Серон Мигел и Рејес Рикардо. (2009). Аритметика. Мексико: Пеарсон Едуцатион.