Дефиниција Бернулијевог принципа/једначине

Бернулијев принцип, који се често назива и Бернулијева једначина, један је од најважнијих концепата у хидродинамици и механици флуида. Формулисао га је швајцарски физичар и математичар Данијел Бернули 1738. године као део свог рада "хидродинамика” и део очувања енергије у идеалном флуиду у покрету.

Замислимо следећу ситуацију: Имамо црево кроз које тече вода, која напушта црево одређеном брзином и одређеним притиском. Затим прелазимо на делимично покривање излазног отвора црева прстом; радећи ово видимо како вода сада излази већом брзином. Ово је пример Бернулијевог принципа на делу.

Идеалне течности у покрету

Бернулијев принцип се примењује на идеалне флуиде у покрету, па је пре него што пређемо на објашњење овог принципа важно напоменути шта подразумевамо под идеалним флуидом. Идеална течност је поједностављење правог флуида, то се ради због описа течности идеал је математички једноставнији и даје нам корисне резултате који се касније могу проширити на течни случај прави.

Постоје четири претпоставке које су направљене да се течност сматра идеалном и све оне имају везе са протоком:

• Стални ток: Стални ток је онај у коме је брзина којом се течност креће иста у било којој тачки у простору. Другим речима, претпостављамо да течност не пролази кроз турбуленције.

• Нестишљивост: Такође се претпоставља да је идеална течност нестишљива, односно да има константну густину у сваком тренутку.

• Невискозност: Вискозност је својство течности које, уопштено говорећи, представља отпор који течност супротставља кретању. Вискозност се може сматрати аналогном механичком трењу.

• Иротационо струјање: Овом претпоставком мислимо на чињеницу да покретна течност не врши никакву врсту кружног кретања око било које тачке на свом путу.

Изношењем ових претпоставки и поседовањем идеалног флуида у великој мери поједностављујемо математички третман и такође обезбеђујемо очување енергије, што је полазна тачка ка принципу Бернули.

Бернулијева једначина је објашњена

Хајде да размотримо идеалну течност која се креће кроз цев као што је приказано на следећој слици:

Сада ћемо користити теорему рада и кинетичке енергије, што је још један начин изражавања закона одржања енергије, ово нам говори да:

\(В = {\рм{\Делта}}К\)

Где је \(В\) укупан механички рад, а \({\рм{\Делта }}К\) је промена кинетичке енергије између две тачке. У овом систему имамо две врсте механичког рада, један који се врши силом гравитације на флуид и други који настаје притиском течности. Нека је \({В_г}\) механички рад који врши гравитација и \({В_п}\) механички рад који се врши притиском, тада можемо рећи да:

\({В_г} + {В_п} = {\рм{\Делта }}К\)

Пошто је гравитација конзервативна сила, механички рад који она изврши биће једнак разлици потенцијалне енергије гравитације између две тачке. Почетна висина на којој се течност налази је \({и_1}\), а коначна висина је \({и_2}\), дакле, имамо:

\({В_г} = – {\рм{\Делта }}мг{\рм{\Делта }}и = – {\рм{\Делта }}мг\лефт( {{и_2} – {и_1}} \десно )\)

Где је \({\рм{\Делта }}м\) део масе течности који пролази кроз одређену тачку, а \(г\) је убрзање услед гравитације. Пошто је идеална течност нестишљива, онда је \({\рм{\Делта }}м = \рхо {\рм{\Делта}}В\). Где је \(\рхо \) густина течности, а \({\рм{\Делта }}В\) део запремине који протиче кроз тачку. Заменивши ово горњом једначином добијамо:

\({В_г} = – \рхо г{\рм{\Делта }}В\лево( {{и_2} – {и_1}} \десно)\)

Размотримо сада механички рад који врши притисак течности. Притисак је сила која делује по јединици површине, односно \(Ф = ПА\). С друге стране, механички рад је дефинисан као \(В = Ф{\рм{\Делта}}к\) где је \(Ф\) примењена сила и \({\рм{\Делта}}к\) је померање извршено у овом случају на к-оси. У овом контексту можемо замислити \({\рм{\Делта }}к\) као дужину дела течности који протиче кроз одређену тачку. Комбинујући обе једначине имамо да је \(В = ПА{\рм{\Делта}}к\). Можемо схватити да је \(А{\рм{\Делта}}к = {\рм{\Делта}}В\), односно да је то део запремине који протиче кроз ту тачку. Дакле, имамо да је \(В = П{\рм{\Делта}}В\).

У почетној тачки, механички рад се обавља на систему једнаком \({П_1}{\рм{\Делта }}В\) и на крајњој тачки систем ради механички рад на околини једнак \({П_2}{\рм{\Делта }}В\). Механички рад услед притиска течности ће тада бити рад обављен на систему минус рад који он обавља на својој околини, то јест:

\({В_п} = {П_1}{\рм{\Делта }}В – {П_2}{\рм{\Делта }}В = \лево( {{П_1} – {П_2}} \десно){\рм {\Делта}}В\)

Коначно, разлика у кинетичкој енергији \({\рм{\Делта }}К\) биће једнака кинетичкој енергији у крајњој тачки минус кинетичкој енергији у почетној тачки. То је:

\({\рм{\Делта }}К = \фрац{1}{2}{\рм{\Делта }}мв_2^2 – \фрац{1}{2}{\рм{\Делта }}мв_1^ 2 = \фрац{1}{2}{\рм{\Делта }}м\лево( {в_2^2 – в_1^2} \десно)\)

Из горе наведеног знамо да је \({\рм{\Делта}}м = \рхо {\рм{\Делта}}В\). Горња једначина је тада као:

\({\рм{\Делта }}К = \фрац{1}{2}\рхо {\рм{\Делта }}В\лево( {в_2^2 – в_1^2} \десно)\)

Заменом свих добијених резултата у једначину очувања енергије, добија се да:

\(\лево( {{П_1} – {П_2}} \десно){\рм{\Делта }}В – \рхо {\рм{\Делта }}В\лево( {{и_2} – {и_1}} \десно) = \фрац{1}{2}\рхо {\рм{\Делта }}В\лево( {в_2^2 – в_1^2} \десно)\)

Можемо факторисати термин \({\рм{\Делта }}В\) на обе стране једначине, што доводи до:

\({П_1} – {П_2} – \рхо г\лефт( {{и_2} – {и_1}} \десно) = \фрац{1}{2}\рхо \лефт( {в_2^2 – в_1^2 } \јел тако)\)

Развијајући производе који недостају морамо:

\({П_1} – {П_2} – \рхо г{и_2} + \рхо г{и_1} = \фрац{1}{2}\рхо в_2^2 – \фрац{1}{2}\рхо в_1^ 2\)

Преуређивањем свих чланова на обе стране једначине добијамо да:

\({П_1} + \рхо г{и_1} + \фрац{1}{2}\рхо в_1^2 = {П_2} + \рхо г{и_2} + \фрац{1}{2}\рхо в_2^ 2\)

Ова једначина је однос између почетног стања и коначног стања нашег система. Коначно можемо рећи да:

\(П + \рхо ги + \фрац{1}{2}\рхо {в^2} = константа\)

Ова последња једначина је Бернулијева једначина из које је изведен њен принцип. Бернулијев принцип је закон одржања идеалног флуида у покрету.

Референце

Давид Халлидаи, Роберт Ресницк & Јеарл Валкер. (2011). Основи физике. Сједињене Америчке Државе: Јохн Вилеи & Сонс, Инц.