Дефиниција центрипеталне силе

Центрипетална сила је сила која делује на објекат који се креће дуж закривљене путање. Правац ове силе је увек ка центру кривине и оно је оно што држи објекат на тој путањи, спречавајући га да настави праволинијско кретање.

Криволинијско кретање и центрипетална сила

Претпоставимо да имамо објекат који се креће дуж кружне путање. За опис криволинијског кретања овог тела користе се угаоне и линеарне варијабле. Угаоне варијабле су оне које описују кретање објекта у смислу угла који он „брише“ дуж своје путање. С друге стране, линеарне варијабле су оне које користе његов положај у односу на тачку ротације и његову брзину у тангенцијалном правцу крива.

Центрипетално убрзање \({а_ц}\) које доживљава објекат који се креће по путањи кружни са тангенцијалном брзином \(в\) и на растојању \(р\) од тачке ротације биће дао:

\({а_ц} = \фрац{{{в^2}}}{р}\)

Центрипетално убрзање је линеарна променљива која се користи за описивање криволинијског кретања и усмерена је ка центру закривљене путање. С друге стране, угаона брзина ω објекта, односно брзина промене закривљеног угла (у радијанима) по јединици времена, дата је као:

\(\омега = \фрац{в}{р}\)

Или, можемо решити за \(в\):

\(в = \омега р\)

Ово је однос који постоји између линеарне брзине и угаоне брзине. Ако ово укључимо у израз за центрипетално убрзање добићемо:

\({а_ц} = {\омега ^2}р\)

Други Њутнов закон нам говори да је убрзање тела директно пропорционално сили примењеној на њега и обрнуто пропорционално његовој маси. Или, у свом најпознатијем облику:

\(Ф = ма\)

Где је \(Ф\) сила, \(м\) је маса објекта, а \(а\) је убрзање. У случају криволинијског кретања, ако постоји центрипетално убрзање, мора постојати и сила центрипетално \({Ф_ц}\) које делује на тело масе \(м\) и које изазива центрипетално убрзање \({а_ц}\), је реци:

\({Ф_ц} = м{а_ц}\)

Заменивши претходне изразе за центрипетално убрзање добијамо да:

\({Ф_ц} = \фрац{{м{в^2}}}{р} = м{\омега ^2}р\)

Центрипетална сила је усмерена ка центру криволинијске путање и одговорна је за стално мењајући правац у коме се објекат креће да би се одржао у покрету закривљена.

Гравитација као центрипетална сила и Кеплеров трећи закон

Кеплеров трећи закон о кретању планета каже да је квадрат орбиталног периода, тј. Време које је потребно планети да обиђе једну орбиту око Сунца пропорционално је коцки велике полуосе орбита. То је:

\({Т^2} = Ц{р^3}\)

Где је \(Т\) орбитални период \(Ц\), он је константа, а \(р\) је велика полуоса, или максимално растојање између планете и Сунца у целој њеној орбити.

Ради једноставности, размотрите планету масе \(м\) која се креће дуж кружне орбите око Сунца, иако се ова анализа може проширити на случај елиптичне орбите и добити исто резултат. Сила која држи планету у својој орбити је гравитација, која ће бити:

\({Ф_г} = \фрац{{Г{М_С}м}}{{{р^2}}}\)

Где је \({Ф_г}\) сила гравитације, \({М_С}\) је маса Сунца, \(Г\) је универзална гравитациона константа и \(р\) је растојање између планете и сунце. Међутим, ако се планета креће дуж кружне орбите, доживљава центрипеталну силу \({Ф_ц}\) који га држи на наведеној путањи и који ће у смислу угаоне брзине \(\омега \) бити дао:

\({Ф_ц} = м{\омега ^2}р\)

Занимљиво је да је у овом случају гравитација она центрипетална сила која држи планету у њеној орбити, у неколико речи \({Ф_г} = {Ф_ц}\), дакле, можемо рећи да:

\(\фрац{{Г{М_С}м}}{{{р^2}}} = м{\омега ^2}р\)

Што можемо поједноставити као:

\(Г{М_С} = {\омега ^2}{р^3}\)

Угаона брзина је повезана са орбиталним периодом на следећи начин:

\(\омега = \фрац{{2\пи }}{Т}\)

Заменивши ово у претходну једначину добијамо да:

\(Г{М_С} = \фрац{{4{\пи ^2}}}{{{Т^2}}}{р^3}\)

Преуређивањем термина коначно добијамо следеће:

\({Т^2} = \фрац{{4{\пи ^2}}}{{Г{М_С}}}{р^3}\)

Ово последње је управо Кеплеров трећи закон који смо претходно представили и ако упоредимо константу пропорционалности била би \(Ц = 4{\пи ^2}/Г{М_С}\).

Шта је са центрифугалном силом?

Чешће је да се ова врста кретања говори о „центрифугалној сили“ уместо о центрипеталној сили. Пре свега, зато што је то оно што очигледно осећамо када ово доживимо. Међутим, центрифугална сила је фиктивна сила која је резултат инерције.

Замислимо да се возимо у аутомобилу који се креће одређеном брзином и изненада кочи. Када се то догоди, осетићемо силу која нас гура напред, међутим, ова привидна сила коју осећамо је инерција нашег сопственог тела које жели да задржи своје стање кретања.

У случају криволинијског кретања, центрифугална сила је инерција тела које жели да одржи своју праволинијско кретање али је подложно центрипеталној сили која га држи на закривљеној путањи.

Референце

Давид Халлидаи, Роберт Ресницк & Јеарл Валкер. (2011). Основи физике. Сједињене Америчке Државе: Јохн Вилеи & Сонс, Инц.