Definition av icke-euklidisk geometri

I grund och botten är icke-euklidiska geometrier de som uppstår från ifrågasättandet av den sk Euklids femte postulat, därför är en allmän karakterisering av Euklids arbete väsentlig, som var en grekisk matematiker och geometer, vars arbete är paradigmatiskt för Geometri, att betraktas som en av dess grundare. Det är känt med visshet säkerhet som bodde i staden Alexandria, ett kulturellt fokus under antiken, runt år 300 f.Kr. c.

Hans arbete Element den börjar med en serie "principer", som består av en lista med 23 definitioner; följt av 5 postulat, med hänvisning till siffror specifikt geometrisk; och 5 allmänna axiom, gemensamma för andra matematiska discipliner. Därefter, efter principerna, introducerar Euclid "propositionerna", av två typer: problem, hänvisade till

byggnad av figurer med regel och kompass; och satser, med hänvisning till demonstrationen av egenskaperna som vissa geometriska figurer.

Euklids femte postulat

Han säger att "Om en rät linje som faller på två andra räta linjer gör de inre vinklarna på samma sida mindre än två räta linjer, sedan, om de två linjerna förlängs i oändlighet, möts de på den sida där vinklarna är mindre än två hetero”. Om vinklarna var räta skulle sådana linjer, enligt definition nr 23, vara parallella ("Parallella linjer är linjer som, om de är i samma plan och förlängs på obestämd tid, inte möts i någon riktning.”).

Detta postulat, mer komplext än de föregående, var inte i sig självt otvivelaktigt: det var inte uppenbart att, om man förlänger linjer på obestämd tid skulle de skära varandra på den sida där vinklarna var mindre än två räta vinklar, eftersom det inte skulle vara möjligt att bevisa det med byggnad. Sedan lämnades möjligheten att linjerna närmade sig varandra på obestämd tid utan att någonsin korsa varandra.

Försök att bevisa det femte postulatet

Det är av denna anledning som, från antiken fram till mitten av 1800-talet, fanns en rad misslyckade försök att bevisa det femte postulatet: ett bevis uppnåddes alltid; men införa något annat ytterligare postulat (logiskt likvärdigt med det femte), som skiljer sig från Euklids. Det vill säga det femte postulatet kunde inte bevisas, utan ersattes av ett motsvarande.

Ett exempel på detta är postulatet av John Playfair (s. XVIII): "En enda punkt parallell med den linjen passerar genom en punkt utanför en linje som är i samma plan." (känd som "parallellt postulat”). Icke-euklidiska geometrier uppstår just från de misslyckade försöken att bevisa det euklidiska systemets femte postulat.

Saccheris absurditetstest

År 1733 försökte den italienske matematikern Girolamo Saccheri bevisa det absurda i Euklids femte postulat. För att göra detta byggde han en fyrhörning (känd som "Saccheris fyrhörning”, där ett par vinklar är räta) och angav att det femte postulatet är ekvivalent med påståendet att karakteristiska vinklar (de mitt emot paret av räta vinklar) på den fyrhörningen är också räta vinklar. sen är det tre hypotes möjligt, ömsesidigt uteslutande: att de två karakteristiska vinklarna är räta, spetsiga eller trubbiga. För att bevisa det femte postulatet med det absurda var det nödvändigt att bevisa (utan att tillgripa det femte postulerade) att hypoteserna om den trubbiga och spetsiga vinkeln innebar motsägelse och därför var falsk.

Saccheri lyckades bevisa att hypotesen om trubbig vinkel är motsägelsefull, men han lyckades inte i fallet med den spetsiga vinkeln. Tvärtom härledde han en serie satser som överensstämde med och oförenliga med den euklidiska geometrin. Slutligen drog han slutsatsen att hypotesen måste vara falsk, med tanke på det konstiga i dessa satser. Följaktligen trodde han att han hade bevisat att det femte postulatet var absurt; men vad han gjorde var att oavsiktligt bevisa en viktig uppsättning satser av icke-euklidisk geometri.

Den "samtidiga" upptäckten av icke-euklidiska geometrier

Carl F. Gauss, på 1800-talet, var den förste som misstänkte att det femte postulatet inte kunde bevisas från de andra fyra (det vill säga att det var oberoende) och genom att tänka på möjligheten av en icke-euklidisk geometri som var baserad på de fyra euklidiska postulaten och på negationen av femte. Han publicerade aldrig sin upptäckt: detta anses vara ett fall av samtidig upptäckt, eftersom han hade tre oberoende referenter (Gauss själv, János Bolyai och Nikolai Lobachevsky).

Förnekandet till femte lag of Euclidian innebär två möjligheter (som tar upp motsvarande formulering av Playfair): genom en punkt utanför en rät linje, antingen inga parallella pass, eller mer än en parallell pass. Bland de icke-euklidiska geometrierna finner vi till exempel geometrin "imaginär” av Lobatsjovskij, – senare känd som ”hyperbolisk"- enligt, "Givet en yttre punkt till en linje, går oändliga skärande linjer, oändliga icke-korsande linjer och endast två parallella linjer genom den punkten.”, till skillnad från den unika euklidiska parallellen; eller Bernhard Riemanns elliptiska geometri, som säger att "Genom en punkt utanför en linje passerar ingen parallell till den linjen.”.

Tillämpningar och konsekvenser av upptäckten

För närvarande är det känt att i det lokala rummet ger båda geometrierna ungefärliga resultat. Skillnaderna uppstår när det fysiska rummet beskrivs av en eller annan geometri, med tanke på stora avstånd. Även om vi fortsätter att använda euklidisk geometri, eftersom det är den som enklast beskriver vårt utrymme i lokal skala, är upptäckten av icke-euklidiska geometrier var avgörande i den mån det innebar en radikal omvandling av förståelsen av sanningar vetenskaplig.

Fram till dess ansågs euklidisk geometri verkligen beskriva rymden. När man bevisade möjligheten att beskriva det genom en annan geometri, med andra postulat, var det nödvändigt att ompröva kriterierna för vilka det var möjligt att anta en eller annan förklaring som "Sann”.

Bibliografi

MARTINEZ LORCA, A. (1980) "Sokrates etik och deras inflytande på trodde Occidental”, i Revista Baética: Estudios de Arte, Geografi and History, 3, 317-334. Malaga universitet.

Ämnen i icke-euklidisk geometri