Vad är hierarkin för operationer?

Operationshierarkin är en matematisk konvention som fastställer i vilken ordning kombinerade beräkningsåtgärder ska utföras i samma matematiska påstående, det vill säga när det finns ett matematiskt påstående där det finns matematiska operationer (addition, subtraktion, multiplikation, division, potenser och rötter) kombinerade måste dessa göras i en specifik ordning för att komma fram till ett resultat allmänning.

Men varför behövs en hierarki? För att kunna svara på det måste vi först förstå naturen hos matematiska operationer, som består av en transformation som tillämpas på elementen i en mängd. Låt oss till exempel tänka på mängden reella tal, det vill säga de siffror som vi alla känner till. Om vi ​​tar ett tal a och adderar det med ett annat tal b får vi ett annat tal c som hör till samma uppsättning reella tal, det vill säga:

a+b = c

Dessutom påverkar inte ordningen som tilläggen presenteras det slutliga resultatet, det vill säga a+b = b+a, denna egenskap kallas kommutativitet. Det är viktigt att prata om addition eftersom det är den grundläggande operationen som alla andra härrör från. En multiplikation är inget annat än en serie upprepade additioner. Om vi ​​har ett tal a igen och vi multiplicerar det med ett tal b, är det vi gör ibland att addera talet b med sig själv, eller alternativt, addera b gånger talet a med sig själv. Det senare är så eftersom multiplikation är kommutativ som addition, innebär detta att:

a⋅b = b⋅a. Det ovannämnda kan uttryckas som:

Vi kan enkelt visualisera detta med ett exempel. Låt oss göra 5×2 multiplikationen:

5×2 = 2×5 = 2+2+2+2+2 = 5+5 = 10

Tänk nu om vi måste utföra en operation där vi har kombinerat addition med multiplikation? Till exempel: a⋅b+c. I vilken ordning måste addition och multiplikation utföras? Vilken operation måste vi ge företräde till? Om vi ​​utför multiplikationen först och utvecklar den som en summa skulle vi ha:

Nu, om vi utförde additionen först och sedan multiplikationen skulle vi få:

Eftersom addition är kommutativ kan vi gruppera om den högra sidan av ekvationen för att få:

Genom att jämföra resultaten i båda situationerna är det lätt att inse att:

Vi drar då slutsatsen att den ordning i vilken det beslutas att genomföra operationerna påverkar det erhållna resultatet. Samma sak händer när vi involverar befogenheter. När vi höjer ett tal b till en potens c, är det vi gör att multiplicera c gånger talet b med sig själv, det vill säga:

Vi fortsätter nu med att utföra följande kombinerade operation som involverar multiplikation och potens a⋅b^c i en annan ordning som vi gjorde i föregående fall. Om vi ​​först prioriterar makt har vi:

Nu, om vi utför multiplikationen först och sedan potensen, skulle vi ha:

Genom att dra nytta av kommutativiteten av multiplikation kan vi omgruppera den högra sidan av ekvationen som:

Återigen kan vi jämföra resultaten som erhålls genom att utföra operationerna i en annan ordning för att inse att:

Även i detta fall påverkar ordningen i vilken operationerna utförs det erhållna resultatet. Så, i vilken ordning måste operationerna utföras? Operationshierarkin slår fast att potenser är på en högre nivå av hierarki än multiplikationer, på ett sådant sätt att makter har företräde i ett matematiskt påstående. I sin tur har multiplikationer en högre hierarkinivå än additioner.

Men hur är det med subtraktion, division och rötter? Subtraktion är den motsatta operationen av addition, när vi subtraherar ett tal b från ett tal a får vi ett annat tal c så att c+b=a. Något liknande händer med division och subtraktion. Om vi ​​dividerar ett tal a med ett tal b och får ett tal c som ett resultat, har vi hittat ett tal så att b⋅c=a. Och slutligen, genom att beräkna roten b av ett tal a finner vi ett tal c så att c^b=a. Dessa ekvivalenser sätter subtraktion, division och rot på samma hierarkinivå som addition, multiplikation och potens.

Praxis för parenteser och parenteser

Nu, vad händer om vi vill prioritera vissa operationer i ett matematiskt påstående oavsett deras hierarkinivå? För att göra detta används parenteser och hakparenteser. Antag att vi har uttalandet av principen a⋅b+c. Med det vi har sagt tidigare vet vi redan att vi måste utföra multiplikationen först och sedan additionen. Men tänk om vi ville att det inte skulle vara fallet? För att göra detta skulle vi behöva använda parenteser eller hakparenteser för att skilja additionen från multiplikationen och därmed prioritera att beräkna additionen först, det vill säga: a⋅(b+c). Detta gör att satser separerade med parenteser och hakparenteser har högsta prioritet över alla andra operationer.

Med allt som sägs ovan är hierarkin av operationer, eller ordningen i vilken de måste utföras, följande:

1) Parenteser och parenteser
2) Krafter och rötter
3) Multiplikationer och divisioner
4) Addition och subtraktion

Referenser

h. Behnke, F. Bachman, K. Fladt, W. Suss, H. Gerike, F. Hohenberg, G. Pickert, H. Rau & S. h. Gould. (1983). Matematikens grunder: Volym I. Cambridge, Massachusetts och London: The MIT Press.