Kvadratisk funktionsdefinition

En kvadratisk funktion av en reell variabel vars form uttrycks.

\(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\)

Där variabeln är \(x\), är \(a, b\) och c reella konstanter, kallade koefficienter för den kvadratiska funktionen med \(a \ne 0.\)

Tabellen ger generella exempel på kvadratiska funktioner och situationen de kan modellera, för att senare illustrera deras direkta tillämpning från verkliga problem.

Kvadratisk funktion	Situation du kan modellera
\(f\left( x \right) = {x^2}\)	Variabeln \(y\) är arean av en kvadrat vars sida mäter \(x\).
\(f\left( x \right) = \pi {x^2}\)	Variabeln \(y\) är arean av en cirkel vars radie är \(x\).
\(f\left( x \right) = 100 – 4,9{x^2}\)	Variabeln \(y\) är höjden på ett objekt som släpptes på en höjd av 100 och \(x\) är den förflutna tiden.
\(f\left( x \right) = 60\left( {{\bf{sin}}45^\circ } \right) x – 4,9{x^2}\)	Variabeln \(y\) är höjden på en kanonkula som kastas i en vinkel på 45° med en hastighet av 60 m/s och \(x\) är den förflutna tiden.

Den allmänna formeln och den kvadratiska funktionen

Om för \(x = \alpha \) den andragradsfunktionen är noll, då är talet \(\alpha \) kallas roten till den andragradsfunktionen, ja, \(\alpha \) är lösningen av andragradsekvationen

\(a{x^2} + bx + c = 0\)

Den allmänna formeln för att lösa andragradsekvationer har vi att rötterna till en andragradsfunktion är:

\(\alpha = \frac{{ – b + \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}},\;\;\beta = \frac{{ – b – \sqrt {{b ^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

Från ovanstående etableras följande förhållande mellan rötterna och koefficienterna för den kvadratiska funktionen:

\(\alpha + \beta = – \frac{b}{a},\;\;\alpha \beta = \frac{c}{a}\)

Genom anmärkningsvärda produkter etableras följande identitet:

\(a{x^2} + bx + c = a\left( {x – \alpha } \right)\left( {x – \beta} \right)\)

På ett liknande sätt som det som fastställs i den allmänna formeln, är det fastställt att den kvadratiska funktionen kan uttryckas i formen:

\(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k\)

Med \(h = – \frac{b}{{2a}}\) och \(k = – \frac{{{b^2} – 4ac}}{a}\)

Genom att lösa ekvationen:

\(a{\left( {x – h} \right)^2} + k = 0\)

Erhålles:

\(\left| {x – h} \right| = \sqrt { – \frac{k}{a}} \)

\(x = h \pm \sqrt { – \frac{k}{a}} \)

Av ovanstående kan man dra slutsatsen att \(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k\), endast om konstanterna \(k\) och \(a\) är av motsatta tecken, denna kvadratiska funktion har reella rötter, som är: \(h + \sqrt { – \frac{k}{a}} ,\;\;h – \sqrt { – \frac{k}{a} } \).

Om konstanterna \(k\) och \(a\) har samma tecken så har den kvadratiska funktionen inga reella rötter.

När \(k = 0,\;\;\) har den kvadratiska funktionen bara en rot.

Exempel tillämpade på verkliga livet

Tillämpningsexempel 1: Ekonomi

En skola vill anordna en fotbollsturnering där varje lag spelar mot vart och ett av de andra lagen bara en gång. Det finns en budget på $15 600 för kostnaden för skiljeförfarande, om kostnaden för skiljeförfarande är $200 per spel. Hur många lag kan anmäla sig till turneringen?

Problemformulering: Vi måste hitta en funktion som beräknar antalet matchningar när vi har \(n\) lag för att räkna dem kommer vi att anta att lag 1 spelar först med alla andra, det vill säga \(n – 1\) tändstickor. Lag 2 skulle nu spela med resten, det vill säga med \(n – 2\), eftersom de redan kommer att ha spelat med lag 1. Lag 3 kommer redan att ha spelat med lag 1 och 2, så de måste spela med n-3 lag.

Med ovanstående resonemang kommer vi fram till:

\(f\left( n \right) = n – 1 + n – 2 + \ldots + 2 + 1\)

\(f\left( n \right) = \frac{{n\left( {n – 1} \right)}}{2}\)

Kostnadsfunktionen är:

\(C\left( n \right) = 200f\left( n \right) = 100n\left( {n – 1} \right)\)

Med en budget på $15 600, har vi ekvationen:

\(100n\left( {n – 1} \right) = 15600\)

lösning av ekvationen

\(100n\left( {n – 1} \right) = 15600\) Initial situation
\(n\left( {n – 1} \right) = 156\) Dividera varje sida av ekvationen med 100
\({n^2} – n – 156 = \) Lägg till \( – 156\) på varje sida av ekvationen
\(\left( {n – 13} \right)\left( {n + 12} \right) = 0\) Vi har \(\left( { – 13} \right)\left( {12} \right ) = – 156\) och \( – 13 + 12 = – 1\)
Det var inräknat.
Lösningar av ekvationen \(n = – 12,\;13\)
Svar: Budgeten räcker för att 13 lag ska anmäla sig.

Tillämpningsexempel 2: Ekonomi

Ett transportbussföretag i storstadsregionen har observerat att var och en av dess bussar på en åtta timmars dag transporterar i genomsnitt ett tusen passagerare. För att kunna ge dina arbetare en löneförhöjning måste du höja ditt pris, som för närvarande är $5; En ekonom beräknar att för varje peso som priset höjs kommer varje lastbil att förlora i genomsnitt 40 passagerare varje dag. Företaget har räknat ut att för att täcka löneökningen måste det få ytterligare 760 USD per lastbil varje dag. Hur mycket måste priset höjas?

Förklaring av problemet: Låt \(x\) vara mängden pesos som biljetten kommer att stiga i, för vilken \(5 + x\) är den nya kostnaden för biljetten. Med samma ökning kommer varje lastbil att transportera \(1000 – 40x\) passagerare per dag i genomsnitt.

Slutligen är intäkterna per lastbil:

\(I\left( x \right) = \left( {5 + x} \right)\left( {1000 – 40x} \right) = – 40\left( {x + 5} \right)\left( {x – 25} \höger)\)

För att täcka löneökningen måste varje buss samla in: \(1000\left( 5 \right) + 760 = 5760\)

Till sist har vi ekvationen:

\( – 40\left( {x + 5} \right)\left( {x – 25} \right) = 5760\)

lösning av ekvationen
\( – 40\left( {x + 5} \right)\left( {x – 25} \right) = 5760\) Initial situation
\(\left( {x + 5} \right)\left( {x – 25} \right) = – 144\) Dividera med \( – 40\) på varje sida av ekvationen
\({n^2} – 20n – 125 = – 144\) Den anmärkningsvärda produkten utvecklades
\({n^2} – 20n + 19 = 0\) 144 lades till varje
\(\left( {n – 19} \right)\left( {n – 1} \right) = 0\) Vi har \(\left( { – 19} \right)\left( { – 1} \ höger) = 19\) och \( – 19 – 1 = – 20\)
faktoriserat
Lösningar av ekvationen \(n = 1,19\)
Svar: Biljettpriset kan gå upp $1 eller $19 pesos.

Tillämpningsexempel 3: Ekonomi

En brödbutik säljer i genomsnitt 1 200 frallor i veckan för 6 USD styck. En dag bestämde han sig för att höja priset till $9 per styck; nu har hennes försäljning minskat: hon säljer bara i genomsnitt 750 rullar i veckan. Vad ska priset på varje bulle vara så att intäkterna på outleten blir högsta möjliga? Antag att det finns ett linjärt samband mellan efterfrågan och pris.

Problemformulering: Antag att det finns ett linjärt samband mellan efterfrågan D och pris \(x,\) då

\(D = mx + b\)

När \(x = 6;D = 1200;\;\) som genererar ekvationen:

\(1200 = 6m + b\)

När \(x = 9;D = 750;\;\) lo och ekvationen erhålls:

\(750 = 9m + b\)

För att lösa ekvationssystemet är förhållandet mellan efterfrågan och pris:

\(D = – 150x + 2100 = – 150\vänster( {x – 14} \höger)\)

Inkomsten är lika med

\(I\left( x \right) = Dx = – 150x\left( {x – 14} \right)\)

Lösning

Grafen över inkomsten i en parabel som öppnar sig nedåt och dess maximala värde nås i spetsen på som kan hittas genom att beräkna rötterna till den kvadratiska funktionen som modellerar inkomst. Rötterna är \(\alpha = 0,\;\;\beta = 14\).

\(h = \frac{{0 + 14}}{2} = 7\)

\(I\left( h \right) = – 150\left( 7 \right)\left( {7 – 14} \right) = 7350\)

Svar

Den maximala intäkten är $7 350 och uppnås med ett pris på $7; säljer i genomsnitt 1050 rullar i veckan.

Tillämpningsexempel 4: Ekonomi

Kostnaden för att tillverka \(n\) stolar på en dag kan beräknas med den kvadratiska funktionen:

\(C\left( n \right) = {n^2} – 200n + 13000\)

Bestäm den lägsta kostnad som kan uppnås.

Problembeskrivning

Grafen för \(C\left( n \right)\) är en parabel som öppnar sig uppåt och når sin minimipunkt vid \(h = – \frac{b}{{2a}} = – \frac{{\ left( { – 200} \right)}}{{2\left( 1 \right)}} = 100\)

\(C\left( {100} \right) = {\left( {100} \right)^2} – 200\left( {100} \right) + 13000 = 3000\)

Svar

Den lägsta möjliga kostnaden är lika med $3000 och uppnås genom att tillverka 100 stolar.

Tillämpningsexempel 5: Geometri

En romb har en yta på 21 cm2; Om summan av längderna på dess diagonaler är 17 cm, vad är längden på varje diagonal på romben?

Problemformulering: Arean av en romb beräknas med:

\(A = \frac{{Dd}}{2}\)

Med \(D\) och \(d\) längden på dess diagonaler är det också känt:

\(D + d = 7\)

\(D = 17 – d\)

Genom att ersätta får du:

\(A = \frac{{\left( {17 – d} \right) d}}{2}\)

Till sist får vi ekvationen

\(\frac{{\left( {17 – d} \right) d}}{2} = 21\)

Lösning
\(\frac{{\left( {17 – d} \right) d}}{2} = 21\) Initial situation
\(\left( {17 – d} \right) d = 42\) Multiplicera med \( – 40\) varje sida av ekvationen
\({d^2} – 17d + 42 = 0\) Produkten utvecklades.
\(\left( {d – 14} \right)\left( {d – 3} \right) = 0\) Vi har \(\left( { – 14} \right)\left( { – 3} \ höger) = 42\) och \( – 14 – 3 = – 17\)
faktoriserat
Lösningar av ekvationen \(d = 3,14\)
Svar:

Rombens diagonaler mäter 14 cm och 3 cm.

Tillämpningsexempel 6: Geometri

Det är önskvärt att bygga ett rektangulärt hönshus på 140 m2, med utnyttjande av ett ganska långt staket som kommer att utgöra botten av hönshuset. De övriga tre sidorna kommer att byggas med 34 linjära meter trådnät, hur mycket ska längden och bredden på hönshuset vara för att använda den totala maskvidden?

Under samma förhållanden, vad är det maximala området som kan inhägnas med samma nät?

Problemformulering: Enligt diagrammet är arean lika med:

\(A\left( x \right) = x\left( {34 – 2x} \right) = 2x\left( {17 – x} \right)\)

Där \(x\) är längden på sidan vinkelrätt mot staketet.

För att veta måtten på rektangeln så att den har en yta på 140 m2 räcker det att lösa ekvationen

\(2x\left( {17 – x} \right) = 140\)

Eftersom grafen för \(A\left( x \right)\) är en parabel som öppnar sig nedåt för att beräkna maxvärdet för arean, räcker det med att beräkna parabelns vertex.

Svar
Mått på rektangeln med area 140 m2
Längd på sidan vinkelrätt mot staketet

\(x\) Längd på sidan parallellt med staketet

\(34 – 2x\)
10 14
7 20

Den första koordinaten för vertex är \(h = \frac{{17}}{2}\) och

\(A\left( h \right) = \frac{{289}}{2}\)

Arean är maximal när den vinkelräta sidan mäter \(\frac{{17}}{2}\;\)m och den parallella sidan mäter 17m, den mäter 17m, värdet på den maximala ytan som uppnås är \(\frac{ {289}} {2}\)m2.

Graf över en kvadratisk funktion

Ur geometrisk synvinkel är rötterna de punkter där grafen för en funktion skär \(x\)-axeln.

Från uttrycket

\(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k,\)

Vi kommer att fastställa den allmänna formen för grafen för en kvadratisk funktion.

Första fallet \(a > 0\) och \(k > 0\)

\(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k\)

\(x\)	\(f\vänster( x \höger)\)
\(h – 1\)	\(a + k\)
\(h – 2\)	\(4a + k\)
\(h – 3\)	\(9a + k\)
\(h – 4\)	\(16a + k\)
\(h\)	\(k\)
\(h + 1\)	\(a + k\)
\(h + 2\)	\(4a + k\)
\(h + 3\)	\(9a + k\)
\(h + 4\)	\(16a + k\)

I det här fallet uppfyller grafen:

Symmetrisk: Med symmetriaxel \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) Det vill säga \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \right)\)

Den är ovanför \(x\)-axeln och skär den inte. Det vill säga, \(f\left( x \right) > 0\) har inga riktiga rötter.

Den lägsta punkten på grafen är vid punkten \(\left( {h, k} \right)\). Det är \(f\left( x \right) \ge f\left( h \right) = k\)

Andra fallet \(a < 0\) och \(k < 0\)

\(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k\)

\(x\)	\(f\vänster( x \höger)\)
\(h – 1\)	\(a + k\)
\(h – 2\)	\(4a + k\)
\(h – 3\)	\(9a + k\)
\(h – 4\)	\(16a + k\)
\(h\)	\(k\)
\(h + 1\)	\(4a + k\)
\(h + 2\)	\(9a + k\)
\(h + 3\)	\(4a + k\)
\(h + 4\)	\(16a + k\)

I det här fallet uppfyller grafen:

Symmetrisk: Med symmetriaxel \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) Det vill säga \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \right)\)

Den ligger under \(x\)-axeln och skär den inte. Det vill säga, \(f\left( x \right) < 0\) har inga riktiga rötter. Den högsta punkten på grafen är vid punkten \(\left( {h, k} \right)\). Det är \(f\left( x \right) \le f\left( h \right) = k\) Tredje fallet \(a > 0\) och \(k \le 0\).

Det här fallet liknar det första fallet, skillnaden är att nu har vi en reell rot (när \(k = 0\) ) eller två reella rötter.

I det här fallet uppfyller grafen:

Symmetrisk: Med symmetriaxel \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) Det vill säga \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \right)\)

Den skär \(x\)-axeln, det vill säga den har åtminstone en reell rot.

Den lägsta punkten på grafen är vid punkten \(\left( {h, k} \right)\). Det är \(f\left( x \right) \ge f\left( h \right) = k\)

Fjärde fallet \(a < 0\) och \(k \ge 0\). Det här fallet liknar det andra fallet, skillnaden är att nu har vi en reell rot (när \(k = 0\) ) eller två reella rötter. I det här fallet uppfyller grafen:

Symmetrisk: Med symmetriaxel \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) Det vill säga \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \right)\)

Den lägsta punkten på grafen är vid punkten \(\left( {h, k} \right)\). Det är \(f\left( x \right) \le f\left( h \right) = k\)

Grafen för en kvadratisk funktion kallas en parabel och dess element att markera är symmetriaxeln, punkterna där den skär till \(x\)-axeln och vertex, vilket är den punkt på grafen för funktionen där den når sin lägsta eller högsta punkt beroende på fall.

Utifrån den genomförda analysen kan vi konstatera:

Parabeln associerad med kvadratfunktionen \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) har sin vertex vid \(\left( {h, k} \right)\) där :

\(h = – \frac{b}{{2a}},\;\;k = f\left( h \right)\)

exempel

Kvadratisk funktion \(y = {x^2}\)	viktiga element
Vertex av parabeln	\(\left( {0,0} \right)\)
Parabolens symmetriaxel	\(x = 0\)
Skär med \(x\)-axeln	\(\left( {0,0} \right)\)

Kvadratisk funktion \(y = – \frac{1}{2}{\left( {x – 2} \right)^2}\)	viktiga element
Vertex av parabeln	\(\left( {2,0} \right)\)
Parabolens symmetriaxel	\(x = 2\)
Skär med \(x\)-axeln	\(\left( {2,0} \right)\)

Kvadratisk funktion \(y = {\left( {x + 2} \right)^2} – 4\)	viktiga element
Vertex av parabeln	\(\left( { – 2, – 4} \right)\)
Parabolens symmetriaxel	\(x = – 2\)
Skär med \(x\)-axeln	\(\left( { – 4,0} \right);\left( {0,0} \right)\)

Kvadratisk funktion \(y = – \frac{1}{2}{\left( {x – 9} \right)^2} + 8\)	viktiga element
Vertex av parabeln	\(\left( {9,8} \right)\)
Parabolens symmetriaxel	\(x = 9\)
Skär med \(x\)-axeln	\(\left( {5,0} \right);\left( {13,0} \right)\)

Kvadratisk funktion \(y = {x^2} + 1\)	viktiga element
Vertex av parabeln	\(\left( {0,1} \right)\)
Parabolens symmetriaxel	\(x = 0\)
Skär med \(x\)-axeln	Har inte

Kvadratisk funktion \(y = – \frac{1}{2}{\left( {x – 2} \right)^2} – 1\)	viktiga element
Vertex av parabeln	\(\left( {2, – 1} \right)\)
Parabolens symmetriaxel	\(x = 2\)
Skär med \(x\)-axeln	Har inte

Om de verkliga rötterna till en kvadratisk funktion finns, kan vi rita dess associerade parabel från dem. Antag att \(f\left( x \right) = a\left( {x – \alpha } \right)\left( {x – \beta } \right)\)

För detta måste följande beaktas:

\(\alpha + \beta = – \frac{b}{a}\)

\(\frac{{\alpha + \beta }}{2} = – \frac{b}{{2a}} = h\)

Som

\(k = f\vänster( h \höger)\)

\(k = f\left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2}} \right)\)

\(k = a\left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2} – \alpha } \right)\left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2} – \ beta } \right)\)

\(k = – \frac{a}{4}{\left( {\alpha – \beta} \right)^2}\)

exempel

Skissa grafen för den kvadratiska funktionen \(f\left( x \right) = \frac{1}{4}\left( {x – 3} \right)\left( {x + 6} \right )\)

Lösning

Rötterna är \(\alpha = 3\;\) och \(\beta = – 6\); sedan \(h = \frac{{3 – 6}}{2} = – \frac{3}{2}\).

\(k = f\left( { – \frac{3}{2}} \right) = 2\left( { – \frac{3}{2} – 3} \right)\left( { – \frac {3}{2} + 6} \right) = \frac{1}{4}\left( { – \frac{9}{2}} \right)\left( {\frac{9}{2}} \right) = – \frac{{81}}{{16}}\)

Så vi kan bygga följande tabell

\(f\left( x \right) = 2\left( {x – 3} \right)\left( {x + 6} \right)\)	viktiga element
Vertex av parabeln	\(\left( { – \frac{3}{2}, – \frac{{81}}{2}} \right)\)
Parabolens symmetriaxel	\(x = – \frac{{81}}{2}\)
Skär med \(x\)-axeln	\(\left( { – 6,0} \right)\;,\;\left( {3,0} \right)\)

För att skissa grafen för funktionen:

\(f\left( x \right) = 3{x^2} – 18x + 4\)

Vi kommer att använda samma idéer som vi redan har använt; För detta kommer vi först att bestämma vertex.

I det här fallet, \(a = 3;b = – 12,\;c = 4\).

Eftersom \(a > 0\), öppnas parabeln och \(h = – \frac{b}{{2a}} = – \left( {\frac{{ – 18}}{{3\left ( 2 \right)}}} \right) = 3.\) Därefter kommer vi att beräkna \(k:\)

\(k = f\left( h \right) = f\left( 3 \right) = 3{\left( 3 \right)^2} – 18\left( 3 \right) + 4 = – 23\)

Punkten på parabeln är vid \(\left( {3, – 23} \right)\) och eftersom den öppnas uppåt kommer parabeln att skära \(x\;\)-axeln och dess symmetriaxel är \ (x = 3\).

Låt oss nu betrakta den kvadratiska funktionen

\(f\left( x \right) = – 5{x^2} + 10x – 9\)

I det här fallet, \(a = 3;b = – 12,\;c = 4\).

Eftersom \(a < 0\), kommer parabeln att "öppnas" nedåt och \(h = - \frac{b}{{2a}} = - \left( {\frac{{10}}{{\left( 2 \right)\left( { - 5} \right)}}} \right) = 1.\) A Därefter kommer vi att beräkna \(k:\) \(k = f\left( h \right) = f\left( 1 \right) = - 5{\left( 1 \right)^2} + 10\left( 1 \ höger) - 9 = - 4\) Spetsen på parabeln är vid \(\left( {1, - 4} \right)\) och eftersom den öppnas nedåt kommer parabeln inte att skära \(x\;\)-axeln och dess symmetriaxel är \(x = 1.\)