Definition av geometrisk progression

En talföljd \({{a}_{1}},~{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots \); Det kallas en geometrisk progression om, med början från den andra, varje element erhålls från multiplikationen av det föregående med ett tal \(r\ne 0\), det vill säga om:
\({{a}_{n+1}}={{a}_{n}}r\)
Var:
- Talet \(r\) kallas förhållandet mellan den geometriska progressionen.
- Elementet \({{a}_{1}}\) kallas det första elementet i den aritmetiska progressionen.

Elementen i den geometriska progressionen kan uttryckas i termer av det första elementet och dess förhållande, det vill säga:
\({{a}_{1}},{{a}_{1}}r,{{a}_{1}}{{r}^{2}},{{a}_{1} }{{r}^{3}}\)

De är de fyra första elementen i den aritmetiska progressionen; i allmänhet uttrycks \(k-\):e elementet enligt följande:
\({{a}_{k}}={{a}_{1}}{{r}^{k-1}}\)

När \({{a}_{1}}\ne 0,~\)av föregående uttryck får vi:

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}=\frac{{{a}_{1}}{{r}^{k-1}} }{{{a}_{1}}{{r}^{l-1}}}\)

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}={{r}^{k-l}}\)

Ovanstående uttryck motsvarar:

\({{a}_{k}}={{a}_{l}}{{r}^{k-l}}\)

Exempel/övning 1. Hitta skillnaden mellan den aritmetiska progressionen: \(2,6,18,54,\ldots \) ​​och hitta elementen \({{a}_{20}},~{{a}_{91}} \)

Lösning

Eftersom \(\frac{6}{2}=\frac{18}{6}=\frac{54}{18}=3\) kan vi dra slutsatsen att förhållandet är:

\(r=3\)

\({{a}_{20}}=2\left( {{3}^{20-1}} \right)=2{{\left( 3 \right)}^{19}}\)

\({{a}_{91}}=2\left( {{3}^{91-1}} \right)=2{{\left( 3 \right)}^{90}}\)

Exempel/övning 2. I en aritmetisk progression har vi: \({{a}_{17}}=20~\)y \({{a}_{20}}=-1280\), bestäm förhållandet mellan den geometriska progressionen och skriv de första 5 elementen.

Lösning

Bär

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}={{r}^{k-l}}\)

\(\frac{{{y}_{20}}}{{{y}_{17}}}={{r}^{20-17}}\)

\(\frac{-1280}{20}={{r}^{3}}\)

\(-64={{r}^{3}}\)

\(\sqrt[3]{-64}=\sqrt[3]{{{r}^{3}}}\)

\(-4=r\)

För att hitta de första 5 elementen i den aritmetiska progressionen; vi kommer att beräkna \({{a}_{1}}\):

\({{a}_{k}}={{a}_{1}}{{r}^{k-1}}\)

\({{a}_{17}}={{a}_{1}}{{\left( r \right)}^{17-1}}\)

\(20={{a}_{1}}{{\left( -4 \right)}^{16}}\)

\(\frac{20}{{{4}^{16}}}={{a}_{1}}\)

\(\frac{5\left( 4 \right)}{{{4}^{16}}}={{a}_{1}}\)

\(\frac{5}{{{4}^{15}}}={{a}_{1}}\)

De första 5 elementen i den geometriska progressionen är:

\(\frac{5}{{{4}^{15}}},~\frac{5}{{{4}^{15}}}\left( -4 \right),\frac{5} {{{4}^{15}}}{{\left( -4 \right)}^{2}},\frac{5}{{{4}^{15}}}{{\left( -4 \right)}^{3}},\frac{5}{{ {4}^{15}}}{{\left( -4 \right)}^{4}}\)

\(\frac{5}{{{4}^{15}}},-~\frac{5}{{{4}^{14}}},\frac{5}{{{4}^{ 13}}},-\frac{5}{{{4}^{12}}},\frac{5}{{{4}^{11}}}\)

Exempel/övning 3. Ett tunt glas absorberar 2% av solljuset som passerar genom det.

till. Hur många procent av ljuset kommer att passera genom 10 av dessa tunna glas?

b. Hur många procent av ljuset kommer att passera genom 20 av dessa tunna glas?

c. Bestäm procentandelen ljus som passerar genom \(n\) tunna glas med samma egenskaper, placerade i följd.

Lösning

Vi kommer att representera med 1 det totala ljuset; genom att absorbera 2 % av ljuset så går 98 % av ljuset genom glaset.

Vi kommer att representera med \({{a}_{n}}\) procentandelen ljus som passerar genom glaset \(n\) .

\({{a}_{1}}=0.98,~{{a}_{2}}=0.98\left( 0.98 \right),~{{a}_{3}}={{\left( 0,98 \right)}^{2}}\left( 0,98 \right),\)

I allmänhet \({{a}_{n}}={{\left( 0,98 \right)}^{n}}\)

till. \({{a}_{10}}={{\left( 0,98 \right)}^{10}}=0,81707\); vilket säger oss att efter glas 10 passerar 81,707% av ljuset

b. \({{a}_{20}}={{\left( 0,98 \right)}^{20}}=~0,66761\); vilket säger oss att efter glas 20 passerar 66,761 %

Summan av de första \(n\) elementen i en geometrisk progression

Givet den geometriska progressionen \({{a}_{1}},{{a}_{1}}r,{{a}_{1}}{{r}^{2}},{{a} 1}}{{r}^{3}}\)….

När \(r\ne 1\) är summan av de första \(n\) elementen, summan:

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}+{{a}_{1}}r+{{a}_{1}}{{r}^{2}} +{{a}_{1}}{{r}^{3}}+\ldots +{{a}_{1}}{{r}^{n-1}}\)

Det går att beräkna med

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \right)}{1-r},~r \n1\)

Exempel/övning 4. Från exempel 2 beräkna \({{S}_{33}}\).

Lösning

I det här fallet \({{a}_{1}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\) och \(r=-4\)

ansöker

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \right)}{1-r}\)

\({{S}_{22}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\frac{1-{{\left( -4 \right)}^{22}}} {1-\left( -4 \right)}\)

\({{S}_{22}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\frac{1-{{\left( -4 \right)}^{22}}} {5}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1-{{\left( 4 \right)}^{22}}}{{{4}^{15}}}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1}{{{4}^{15}}}-\frac{{{\left( 4 \right)}^{22}}}{{ {4}^{15}}}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1}{{{4}^{15}}}-{{4}^{7}}\)

Exempel/övning 5. Anta att en person laddar upp ett foto av sitt husdjur och delar det med 3 av sina vänner på ett socialt internetnätverk, och inom en timme vardera de delar fotografiet med tre andra personer och sedan delar de senare, om en timme till, var och en av dem fotografiet med tre andra människor; Och så fortsätter det; varje person som tar emot fotografiet delar det med 3 andra personer inom en timme. Om 15 timmar, hur många har redan bilden?

Lösning

Följande tabell visar de första beräkningarna
Tid Människor som tar emot fotografiet Personer som har fotografiet
1 3 1+3=4
2 (3)(3)=32=9 4+9=13
3 32(3)= 33=27 13+27=40

Antalet personer som får fotografiet i timme \(n\) är lika med: \({{3}^{n}}\)

Antalet personer som redan har fotografiet under timmen är lika med:

\(3+{{3}^{2}}+{{3}^{3}}+\ldots +{{3}^{n}}\)

ansöker

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \right)}{1-r}\)

Med \({{a}_{1}}=3,\) \(r=3\) och \(n=15\)

Varvid:

\({{S}_{n}}=\frac{\left( 1-{{3}^{15}} \right)}{1-3}=7174453\)

geometriska medel

Givet två siffror \(a~\) och \(b,\) talen \({{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k +1}}\) kallas \(k\) geometriska medelvärden för talen \(a~\) och \(b\); om sekvensen \(a,{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots,{{a}_{k+1}},b\) är en geometrisk progression.

För att känna till värdena för \(k\) geometriska medelvärden för talen \(a~\) och \(b\), är det tillräckligt att känna till förhållandet mellan den aritmetiska progressionen, för detta måste följande beaktas:

\(a={{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k+1}},{ {a}_{k+2}}=b,\)

Från ovanstående etablerar vi förhållandet:

\(b=a{{r}^{k+1}}\)

När vi löser \(d\), får vi:

\(b=a{{r}^{k+1}}\)

\(\frac{b}{a}={{r}^{k+1}}\)

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

Exempel/övning 6. Hitta två geometriska medelvärden mellan talen -15 och 1875.

Lösning

Vid ansökan

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

med \(b=375,~a=-15\) och \(k=2~\):

\(r=\sqrt[2+1]{\frac{1875}{-15}}\)

\(r=\sqrt[3]{-125}=-5\)

De tre geometriska medelvärdena är:

\(75,-375\)

Exempel/övning 7. En person investerade pengar och fick ränta varje månad i 6 månader och hans kapital ökade med 10%. Förutsatt att räntan inte ändrades, vad var månadsräntan?

Lösning

Låt \(C\) vara det investerade kapitalet; slutkapitalet är \(1.1C\); För att lösa problemet måste vi placera 5 geometriska medel, genom att tillämpa formeln:

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

Med \(k=5,~b=1.1C\) och \(a=C.\)

\(r=\sqrt[5+1]{\frac{1.1C}{C}}=\sqrt[6]{1.1}=1.016\)

Den erhållna månadsräntan var \(1,6%\)