Definition av blandade, enhets-, homogena och heterogena fraktioner

Blandad. En blandad bråkdel består av ett heltal större än eller lika med ett och ett egenbråk, den allmänna stavningen av ett bråk mixed har formen: \(a + \frac{c}{d},\) vars kompakta skrift är: \(a\frac{c}{d},\;\), det vill säga: \(a\ bråk{c}{d} = a + \frac{c}{d}\). Talet \(a\) kallas heltalsdelen av det blandade bråket och \(\frac{c}{d}\) kallas dess bråkdel.

homogen. Om två eller flera bråk har samma nämnare, sägs de vara som bråk. Till exempel, bråken \(\frac{3}{4},\) \(\frac{7}{4},\) \(\frac{1}{4},\) \(\frac{{ 10}}{4}\) är homogena eftersom de alla har samma nämnare, vilket i det här fallet är \(4\). Medan bråken \(\frac{3}{4},\) \(\frac{7}{4},\) \(\frac{1}{4},\) \(\frac{5} { 2}\) är det inte homogena bråk eftersom nämnaren för \(\frac{5}{2}\) är \(2\) och nämnaren för de andra bråken är \(4\). En av fördelarna med de homogena bråken är att de aritmetiska operationerna för addition och subtraktion av funktioner är mycket enkel.

heterogen. Om två eller flera fraktioner, minst två av dem inte har samma nämnare, sägs dessa fraktioner vara heterogena fraktioner. Följande fraktioner är heterogena: \(\frac{3}{5},\;\) \(\frac{7}{5}\), \(\frac{1}{4},\) \(\ frac{2}{5}\).

enhetlig. Ett bråk identifieras som en enhet om täljaren är lika med 1 \(1,\) \(2\). Följande bråk är exempel på enhetsbråk: \(\frac{1}{2},\;\) \(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{4}\), \(\;\frac{1}{5}\).

Verbalt uttryck av en blandad fraktion

blandad fraktion	Verbalt uttryck
\(3\frac{1}{2} = \)	Tre och en halv hel
\(5\frac{3}{4} = \)	Fem heltal och tre fjärdedelar
\(10\frac{1}{8} = \)	Tio heltal med en åttondel

Konvertera en blandad fraktion till en oegentlig fraktion

Blandade fraktioner är användbara för uppskattning, till exempel är det lätt att fastställa:

\(5\frac{1}{{20}} > 4\frac{9}{{10}}\)

Men blandade bråk är vanligtvis opraktiska för att utföra operationer som multiplikation och division, varför det är viktigt hur man konverterar till en blandad bråk.

Den föregående figuren representerar det blandade bråket \(2\frac{3}{4}\), nu består varje heltal av fyra fjärdedelar, så i 2 heltal finns det 8 fjärdedelar och till dessa måste vi lägga de andra 3 fjärdedelarna, dvs. säga:

\(2\frac{3}{4} = \frac{{2\left( 4 \right) + 3}}{4} = \frac{{11}}{4}\)

Allmänt:

\(a\frac{c}{d} = \frac{{ad + c}}{d}\)

Följande tabell visar andra exempel.

blandad fraktion	Operationer att utföra	felaktig bråkdel
\(3\frac{1}{2}\)	\(\frac{{3\left( 2 \right) + 1}}{2}\)	\(\frac{7}{2}\)
\(5\frac{3}{4}\)	\(\frac{{5\left( 4 \right) + 3}}{4}\)	\(\frac{{23}}{4}\)
\(10\frac{1}{8}\)	\(\frac{{10\left( 8 \right) + 1}}{8}\)	\(\frac{{81}}{8}\)

Konvertera en oegentlig bråkdel till en blandad bråkdel

För att konvertera ett oegentligt bråk till ett blandat bråk, beräkna kvoten och resten av täljaren dividerad med nämnaren. Den erhållna kvoten kommer att vara heltalsdelen av det blandade bråket och det korrekta bråket kommer att vara \(\frac{{{\rm{resten}}}}{{{\rm{nämnaren}}}}\)

Exempel

För att konvertera \(\frac{{25}}{7}\) till en blandad bråkdel:

För utförda operationer får vi:

Tabellen nedan visar andra exempel.

felaktig bråkdel	Beräkning av kvoten och resten	felaktig bråkdel
\(\frac{{25}}{7}\)		\(3\frac{4}{7}\)
\(\frac{{35}}{8}\)		\(4\frac{3}{8}\)
\(\frac{{46}}{5}\)		\(9\frac{1}{5}\)

Vardagsbruk av blandade och riktiga fraktioner

I vardagen behöver vi mäta, köpa, jämföra priser, erbjuda rabatter; för att mäta behöver vi måttenheter och de erbjuder inte alltid hela enheter av produkterna och du betalar inte alltid med en hel kvantitet mynt av en enhet.

Det är till exempel vanligt att vissa vätskor säljs i behållare vars innehåll är \(\frac{3}{4}\;\) på en liter, en halv gallon eller en och en halv gallon. Kanske när du går och köper en tub ber du om \(\frac{1}{8},\;\) \(\frac{7}{8},{\rm{\;}}\) \({ \rm {3}}\frac{1}{2}\) och du behöver inte säga måttenheten, som i det här fallet är tum.

Grundläggande operationer av liknande bråk

Summan av \(\frac{3}{4}\) och \(\frac{2}{4}\), exemplifieras i följande schema:

\(\frac{3}{4} + \frac{2}{4} = \frac{{3 + 2}}{4} = \frac{5}{4}\)

Medan subtraktionen görs enligt följande:

\(\frac{3}{4} – \frac{2}{4} = \frac{{3 – 2}}{4} = \frac{1}{4}\)

I allmänhet, för homogena fraktioner:

\(\frac{a}{d} + \frac{b}{d} = \frac{{a + b}}{d}\)

\(\frac{a}{d} – \frac{b}{d} = \frac{{a – b}}{d}\)

Egyptierna och enhetsfraktioner

Den egyptiska kulturen åstadkom en anmärkningsvärd teknisk utveckling och detta hade inte skett utan en utveckling i nivå med matematiken. Det finns historiska lämningar där du kan hitta uppgifter om användningen av fraktioner i egyptisk kultur, med en speciellhet, de använde bara enhetsfraktioner.

Det finns flera fall där det är så enkelt att skriva ett bråk som summan av enhetsbråk

\(\frac{3}{n} = \frac{1}{n} + \frac{1}{{2n}}\)

I fallet att \(n = 2q + 1\), det vill säga udda, har vi det:

\(\frac{2}{n} = \frac{1}{{q + 1}} + \frac{1}{{n\left( {q + 1} \right)}}\)

Vi kommer att illustrera detta med två exempel.

För att uttrycka \(\frac{2}{{11}}\); i det här fallet har vi \(11 = 2\vänster( 5 \höger) + 1\), därför:

\(\frac{2}{{11}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{{11\left( 6 \right)}},\)

det vill säga,

\(\frac{2}{{11}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{{66}}\)

För att uttrycka \(\frac{2}{{17}}\); i det här fallet har vi \(17 = 2\vänster( 8 \höger) + 1\),

\(\frac{2}{{15}} = \frac{1}{8} + \frac{1}{{120}}\)

Därefter visar vi några bråk som summan av enhetsbråk,

Fraktion	Uttryck som summan av enhetsfraktioner	Fraktion	Uttryck som summan av enhetsfraktioner
\(\frac{3}{n}\)	\(\frac{1}{n} + \frac{1}{{2n}}\)	\(\frac{5}{8}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{8}\)
\(\frac{2}{3}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{6}\)	\(\frac{7}{8}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}\)
\(\frac{3}{4}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4}\)	\(\frac{2}{9}\)	\(\frac{1}{5} + \frac{1}{{45}}\)
\(\frac{3}{5}\)	\(\frac{1}{5} + \frac{1}{{10}}\)	\(\frac{5}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{4}{5}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{{20}}\)	\(\frac{7}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{{36}}\)
\(\frac{5}{6}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\)	\(\frac{8}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{3}{7}\)	\(\frac{1}{3} + \frac{1}{{11}} + \frac{1}{{231}}\)	\(\frac{4}{9}\)	\(\frac{1}{3} + \frac{1}{9}\)
\(\frac{4}{7}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{14}}\)	\(\frac{5}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{5}{7}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{{10}}\)	\(\frac{5}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{6}{7}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{{42}}\)	\(\frac{{19}}{{20}}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}\)

Med hjälp av föregående tabell kan vi addera bråk och uttrycka sådana summor; som summan av enhetsfraktioner.

Exempel på heterogena fraktioner

Exempel 1

\(\frac{2}{5} + \frac{4}{9} = \left( {\frac{1}{3} + \frac{1}{{15}}} \right) + \left ( {\frac{1}{3} + \frac{1}{9}} \right)\)

\(\frac{2}{5} + \frac{4}{9} = \frac{2}{3} + \frac{1}{{15}} + \frac{1}{9}\)

\(\frac{2}{5} + \frac{4}{9} = \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{6}} \right) + \frac{1 }{{15}} + \frac{1}{9}\)

Exempel 2

\(\frac{4}{7} + \frac{5}{9} = \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{14}}} \right) + \left ( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}} \right)\)

\(\frac{2}{7} + \frac{5}{9} = 1 + \frac{1}{{14}} + \frac{1}{{18}}\)

Slutligen kan vi uttrycka samma bråk som summan av enhetsbråk på ett annat sätt som:

\(\frac{8}{{63}} = \frac{1}{8} + \frac{1}{{504}}\)

\(\frac{8}{{63}} = \frac{1}{9} + \frac{1}{{63}}\)

\(\frac{8}{{63}} = \frac{1}{{14}} + \frac{1}{{18}}\)