Definition av ekvivalenta bråk

Två eller flera fraktioner sägs vara ekvivalenta om de representerar samma kvantitet, det vill säga om
\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\;,\)
bråken \(\frac{a}{b}\) och \(\frac{c}{d}\) sägs vara ekvivalenta.

Ekvivalenta bråk: Grafisk representation

Tänk på kvadraten, som vi kommer att dela in i fjärdedelar, tredjedelar, åttondelar och tolftedelar.

Från de tidigare figurerna märker vi följande ekvivalenser:

Hur får man en eller flera ekvivalenta fraktioner?

Det finns två grundläggande metoder för att få en fraktion som motsvarar en given fraktion.

1. Multiplicera täljaren och nämnaren med samma positiva tal.

Exempel:

\(\frac{3}{4} = \frac{{3\left( 5 \right)}}{{4\left( 5 \right)}} = \frac{{15}}{{20}} \)

\(\frac{3}{4} = \frac{{3\left( 7 \right)}}{{4\left( 7 \right)}} = \frac{{21}}{{28}} \)

\(\frac{5}{8} = \frac{{5\left( 6 \right)}}{{8\left( 6 \right)}} = \frac{{30}}{{56}} \)

2. Den delas med samma positiva gemensamma delare av täljaren och nämnaren.

\(\frac{{52}}{{56}} = \frac{{52 \div 4}}{{56 \div 4}} = \frac{{13}}{{14}}.\)

\(\frac{{80}}{{140}} = \frac{{80 \div 20}}{{140 \div 20}} = \frac{4}{7}.\)

\(\frac{{21}}{{57}} = \frac{{21 \div 3}}{{57 \div 3}} = \frac{7}{{19}}\)

När både täljaren och nämnaren i ett bråk divideras med samma gemensamma delare förutom 1, sägs det att bråket har reducerats.

irreducerbara fraktioner

Ett bråk kallas ett irreducerbart bråk om den största gemensamma delaren för täljaren och nämnaren är lika med 1.

Om \(gcd\left( {a, b} \right) = 1,\) kallas bråket \(\frac{a}{b}\) ett irreducerbart bråktal.

Givet ett bråktal \(\frac{a}{b}\) för att erhålla ett bråktal som motsvarar detta bråktal och som också är en oreducerbar bråkdel är täljaren och täljaren dividerade med den största gemensamma delaren av \(a\;\) och av \(b.\)

Följande tabell visar exempel på irreducerbara och reducerbara fraktioner; om den är reducerbar visar den hur man får en irreducerbar ekvivalent fraktion.

Fraktion	Största gemensamma delaren	Oreducerbar	irreducerbar ekvivalent fraktion
\(\frac{{14}}{{42}}\)	7	Nej	\(\frac{{14}}{{42}} = \frac{{14 \div 7}}{{42 \div 7}} = \frac{2}{7}\)
\(\frac{3}{{25}}\)	1	Ja	\(\frac{3}{{25}}\)
\(\frac{{21}}{{201}}\)	3	Nej	\(\frac{{21 \div 3}}{{20\;1 \div 3}} = \frac{7}{{67}}\)
\(\frac{5}{{24}}\)	1	Ja	\(\frac{5}{{24}}\)
\(\frac{{72}}{{1125}}\)	9	Nej	\(\frac{{72}}{{1125}} = \frac{{72 \div 9}}{{1125 \div 9}} = \frac{8}{{125}}\)

Ekvivalenta bråk: verbal representation.

Följande tabell visar två olika sätt att visa motsvarande information ur numerisk synvinkel.

Verbal fras	Motsvarande fras (numeriskt)	Argumentation
År 1930, i Mexiko, talade 4 personer av 25 personer ett modersmål.	År 1930, i Mexiko, talade 16 personer av 100 personer ett modersmål.	Båda uppgifterna multiplicerades med 4
År 1960, i Mexiko, talade 104 personer av 1 000 personer ett modersmål.	År 1960, i Mexiko, talade 13 personer av 125 personer ett modersmål	Båda uppgifterna dividerades med 8.

Ekvivalenta bråk: Decimalrepresentation

Tabellen nedan visar olika decimaltal och motsvarande bråktal som representerar dem.

Decimal nummer	Fraktion	ekvivalent bråkdel	Operationer
\(0.25\)	0,25=\(\frac{{25}}{{100}}\)	0,25=\(\frac{1}{4}\)	\(25 \div 25 = 1\) \(100 \div 25 = \)
\(1.4\)	\(1,4 = 1 + \frac{4}{{10}} = \frac{{14}}{{10}}\)	\(1,4 = \frac{7}{5}\)	\(14 \div 2 = 1\) \(10 \div 2 = 5\)
\(0.145\)	\(0,145 = \frac{{145}}{{1000}}\)	\(0,145 = \frac{{29}}{{200}}\)	\(145 \div 5 = 29\) \(1000 \div 5 = 200\)

Ekvivalenta bråk: representation i procent

Tabellen nedan visar olika decimaltal och motsvarande bråktal som representerar dem.

Decimal nummer	Fraktion	ekvivalent bråkdel	Operationer
20%	\(\frac{{20}}{{100}}\)	\(\frac{1}{5}\)	\(20 \div 20 = 1\) \(100 \div 20 = 5\)
150%	\(\frac{{150}}{{100}}\)	\(\frac{3}{2}\)	\(150 \div 50 = 3\) \(100 \div 50 = 2\)
55%	\(\frac{{55}}{{100}}\)	\(\frac{{11}}{{20}}\)	\(55 \div 11 = 5\) \(100 \div 5 = 20\)

Ekvivalenta fraktioner: Från heterogen till homogen

Givet två heterogena bråk \(\frac{a}{b}\) och \(\frac{c}{d}\), kan vi hitta två bråkdelar homogen på ett sådant sätt att en bråkdel är ekvivalent med bråket \(\frac{a}{b}\;\) och den andra med bråket \(\frac{c}{d}\).

Därefter kommer vi att visa två procedurer för att utföra det som nämns i föregående stycke.

Låt oss observera:

\(\frac{a}{b} = \frac{{a\left( d \right)}}{{b\left( d \right)}}\)

\(\frac{c}{d} = {\rm{\;}}\frac{{c\left( b \right)}}{{d\left( b \right)}}\)

Följande tabell visar några exempel.

F. heterogen	Operationer	F. homogen
\(\frac{4}{5}\), \(\frac{2}{3}\)	\(\frac{{4\left( 3 \right)}}{{5\left( 3 \right)}} = \frac{{12}}{{15}}\) \(\frac{{2\left( 5 \right)}}{{3\left( 5 \right)}} = \frac{{10}}{{15}}\)	\(\frac{{12}}{{15}}\), \(\frac{{10}}{{15}}\)
\(\frac{7}{{12}}\), \(\frac{4}{{18}}\)	\(\frac{{7\left( {18} \right)}}{{12\left( {18} \right)}} = \frac{{126}}{{216}}\) \(\frac{{4\left( {12} \right)}}{{18\left( {12} \right)}} = \frac{{48}}{{216}}\)	\(\frac{{126}}{{216}},\) \(\frac{{48}}{{216}}\)
\(\frac{7}{{10}}\), \(\frac{3}{{14}}\), \(\frac{5}{4}\)	\(\frac{{7\left( {14} \right)\left( 4 \right)}}{{10\left( {14} \right) 4}} = \frac{{392}}{{ 560}}\) \(\frac{{3\left( {10} \right)\left( 4 \right)}}{{14\left( {10} \right)\left( 4 \right)}} = \frac{ {120}}{{560}}\) \(\frac{{5\left( {10} \right)\left( {14} \right)}}{{4\left( {10} \right)\left( {14} \right)}} = \frac{{700}}{{560}}\)	\(\frac{{392}}{{560}}\), \(\frac{{120}}{{560}},\) \(\frac{{700}}{{560}}\)

Nackdelen med denna metod är att mycket stora mängder kan produceras i processen; I många fall är det möjligt att undvika det, om den minsta gemensamma multipeln av nämnarna beräknas och den andra metoden baseras på beräkningen av den minsta gemensamma multipeln.

Minsta gemensamma multipel vid beräkning av bråk

Därefter, genom två exempel, hur man erhåller homogena bråk med den minsta gemensamma multipeln av nämnare, som kommer att vara den gemensamma nämnaren för de inblandade bråken.

Betrakta bråken: \(\frac{7}{{12}}\), \(\frac{4}{{18}}.\)

Den minsta gemensamma multipeln av \(12\) och \(18\) är \(36\); nu

\(36 \div 12 = 3\)

\(36 \div 18 = 2\)

\(\frac{7}{{12}} = \frac{{7\left( 3 \right)}}{{12\left( 3 \right)}} = \frac{{21}}{{36 }},\)

\(\frac{4}{{18}} = \frac{{4\left( 2 \right)}}{{18\left( 2 \right)}} = \frac{8}{{36}} \)

Betrakta nu bråken: \(\frac{7}{{10}}\), \(\frac{3}{{14}}\), \(\frac{5}{4}\)

Den minsta gemensamma multipeln av \(10\), \(14\) och \(3\) är \(140\); nu

\(140 \div 10 = 14\)

\(140 \div 14 = 10\)

\(140 \div 4 = 35\)

\(\frac{7}{{10}} = \frac{{7\left( {14} \right)}}{{10\left( {14} \right)}} = \frac{{98} {{140}},\)

\(\frac{3}{{14}} = \frac{{3\left( {10} \right)}}{{14\left( {10} \right)}} = \frac{{30} }{{140}}\)

\(\frac{5}{4} = \frac{{5\left( {35} \right)}}{{4\left( {35} \right)}} = \frac{{175}}{ {140}}\)

Från de tidigare siffrorna märker vi följande faktum:

\(\frac{1}{4} = \frac{3}{{12}}\)

Här är andra exempel.

F. heterogen	min gemensamma nämnare	Operationer	F. homogen
\(\frac{1}{{14}}\) \(\frac{1}{{18}}\)	126	\(126 \div 14 = 9\) \(\frac{1}{{14}} = \frac{{1\left( 9 \right)}}{{14\left( 9 \right)}} = \frac{9}{{126}} \) \(126 \div 18 = 7\) \(\frac{1}{{18}} = \frac{{1\left( 7 \right)}}{{18\left( 7 \right)}} = \frac{7}{{126}} \)	\(\frac{9}{{126}}\), \(\frac{7}{{126}}\)
\(\frac{5}{6}\) \(\frac{2}{{15}},\) \(\frac{4}{9}\)	90	\(90 \div 6 = 15\) \(\frac{5}{6} = \frac{{5\left( {15} \right)}}{{6\left( {15} \right)}} = \frac{{75}}{ {90}}\) \(90 \div 15 = 6\) \(\frac{2}{{15}} = \frac{{2\left( {15} \right)}}{{15\left( 6 \right)}} = \frac{{30}}{ {90}}\) \(90 \div 9 = 10\) \(\frac{4}{9} = \frac{{4\left( {10} \right)}}{{9\left( {10} \right)}} = \frac{{40}}{ {90}}\)	\(\frac{{75}}{{90}}\), \(\frac{{30}}{{90}}\), \(\frac{{40}}{{90}}\)