Definition av kvadratisk/kvartsekvation

En andragradsekvation eller, om inte det, en andragradsekvation, med avseende på en okänd, uttrycks i formen:
\(a{x^2} + bx + c = 0\)
Där det okända är \(x\), så länge \(a, b\) och c är reella konstanter, med \(a \ne 0.\)

Det finns flera tekniker för att lösa andragradsekvationer, inklusive faktorisering, i vilket fall vi måste ta hänsyn till följande egenskap enligt upplösningen:

Om produkten av två tal är noll finns det två möjligheter:

1. Båda är lika med noll.
2. Om den ena inte är noll så är den andra noll

Ovanstående kan uttryckas på följande sätt:
Om \(pq = 0\) då \(p = 0\) eller \(q = 0\).

Praktiskt exempel 1: lös ekvationen \({x^2} – 8\)=0

\({x^2} – 8 = 0\)	Inledande situation
\({x^2} – 8 + 8 = 8\)	Lägg till 8 på båda sidor av ekvationen för att lösa \({x^2}\)
\(\sqrt {{x^2}} = \sqrt {{2^3}} = \sqrt {{2^2}2} = \sqrt {{2^2}} \sqrt 2 = 2\sqrt 2 \)	Kvadratroten erhålls för att isolera \(x.\) 8 faktoriseras och egenskaper hos radikaler och makter tillämpas.
\(\left| x \right| = 2\sqrt 2 \)	Du får roten av \({x^2}\)
\(x = \pm 2\sqrt 2 \)

Lösningarna av \({x^2} – 8\)=0 är:
\(x = – 2\sqrt 2 ,\;2\sqrt 2 \)

Praktiskt exempel 2: Lös ekvationen \({x^2} – 144\)=0

\({x^2} – 144 = 0\)	Inledande situation
\({x^2} – {12^2} = 0\)	Kvadratroten ur 144 är 12. En skillnad mellan rutor identifieras.
\(\left( {x + 12} \right)\left( {x – 12} \right) = 0\)	Skillnaden mellan rutor räknas in
\(x + 12 = 0\) \(x = – 12\)	Vi överväger möjligheten att faktorn \(x + 12\) är lika med 0. Den erhållna ekvationen är löst.
\(x – 12 = 0\) \(x = 12\)	Vi överväger möjligheten att faktorn \(x – 12\) är lika med 0. Den erhållna ekvationen är löst.

Lösningarna av ekvationen \({x^2} – 144 = 0\) är

\(x = – 12,\;12\)

Praktiskt exempel 3: lös ekvationen \({x^2} + 3x = 0\)

\({x^2} + 3x = 0\)	Inledande situation
\(x\left( {x + 3} \right) = 0\)	\(x\) identifieras som en gemensam faktor och faktoriseringen utförs.
\(x = 0\)	Tänk på möjligheten att faktorn \(x\) är lika med 0.
\(x + 3 = 0\) \(x = – 3\)	Vi överväger möjligheten att faktorn \(x – 12\) är lika med 0. Den erhållna ekvationen är löst.

Lösningarna av ekvationen \({x^2} + 3x = 0\), är:
\(x = – 3,0\)

Praktiskt exempel 4: Lös ekvationen \({x^2} – 14x + 49 = 0\)

\({x^2} – 14x + 49 = 0\)	Inledande situation
\({x^2} – 14x + {7^2} = 0\)	Kvadratroten ur 49 är 7 och \(2x\vänster( 7 \höger) = 14x.\) En perfekt kvadratisk trinomial identifieras.
\({\left( {x – 7} \right)^2} = 0\)	Det perfekta kvadrattrinomialet uttrycks som ett kvadratiskt binomium.
\(x – 7 = 0\) \(x = 7\)

Lösningen av \({x^2} – 14x + 49 = 0\) är:
\(x = 7\)

Praktiskt exempel 5: Lös ekvationen \(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)

\(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)	Inledande situation
\(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)	Produkten \(\left( {10} \right)\left( {12} \right) = 120 = \left( { – 8} \right)\left( { – 15} \right)\)
\(\left( {10{x^2} – 8x} \right) – 15x + 12 = 0\)	Det uttrycks som \( – 23x = – 18x – 15\)
\(2x\left( {5x – 4} \right) – 3\left( {5x – 4} \right) = 0\)	Identifiera \(2x\) som en gemensam faktor i det första tillägget och faktorisera det. Identifiera \( – 3\) som en gemensam faktor i det andra tillägget och faktorisera det.
\(\left( {5x – 4} \right)\left( {2x – 3} \right) = 0\)	Faktorisera den gemensamma faktorn \(5x – 4\)
\(5x – 4 = 0\) \(x = \frac{4}{5}\)	Vi överväger möjligheten att faktorn \(5x – 12\) är lika med 0. Den erhållna ekvationen är löst.
\(2x – 3 = 0\) \(x = \frac{3}{2}\)	Tänk på möjligheten att faktorn \(2x – 3\) är lika med 0. Den erhållna ekvationen är löst.

Lösningarna av \(10{x^2} – 23x + 12 = 0\) är:
\(x = \frac{4}{5},\;\frac{3}{2}\)

Praktiskt exempel 6: Lös ekvationen \({x^2} + 4x + 1 = 0\)

\({x^2} + 4x + 1 = 0\)	Inledande situation Trinomialet är inte en perfekt kvadrat
\({x^2} + 4x + 1 – 1 = – 1\)	Lägg till -1 på varje sida av ekvationen.
\({x^2} + 4x = – 1\)	Eftersom \(\frac{1}{2}\left( 4 \right) = 2\) genom att lägga till \({2^2}\), får vi en perfekt kvadrat.
\({x^2} + 4x + 4 = – 1 + 4\)	Lägg till \({2^2}\;\) på varje sida av ekvationen. Den vänstra sidan är en perfekt fyrkant.
\({\left( {x + 2} \right)^2} = 3\)	Det perfekta kvadrattrinomialet uttrycks som ett kvadratiskt binomium.
\(\sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2}} = \pm \sqrt 3 \)	Ta kvadratroten av varje sida av ekvationen
\(\left| {x + 2} \right| = \sqrt 3 \) \(x = – 2 \pm \sqrt 3 \)	Lös för \(x\).

Lösningarna av \({x^2} + 4x + 1 = 0\) är:
\(x = – 2 – \sqrt 3 ,\; – 2 + \sqrt 3 \)

Praktiskt exempel 7: Lös ekvationen \(5{x^2} + 3x – 1 = 0\)

\(5{x^2} + 3x – 1 = 0\)	Inledande situation Trinomialet är inte en perfekt kvadrat.
\(5{x^2} + 3x – 1 + 1 = 1\)	Lägg till 1 på varje sida av ekvationen
\(\frac{1}{5}\left( {5{x^2} + 3x} \right) = \frac{1}{5}\left( 1 \right)\)	Multiplicera med varje sida av ekvationen så att koefficienten för \({x^2}\) är lika med 1.
\({x^2} + \frac{3}{5}x = \frac{1}{5}\)	produkten distribueras Eftersom \(\frac{1}{2}\left( {\frac{3}{5}} \right) = \frac{3}{{10}}\), genom att lägga till \({\left( { \frac{3}{{10}}} \right)^2} = \frac{9}{{100}}\) ger ett perfekt kvadrattrinomial.
\({x^2} + \frac{3}{5}x + \frac{9}{{100}} = \frac{1}{5} + \frac{9}{{100}}\)	Lägg till 3 på båda sidor av ekvationen för att lösa \({\left( {x + 2} \right)^2}\)
\({\left( {x + \frac{3}{{10}}} \right)^2}\)=\(\frac{{29}}{{100}}\)	Det perfekta kvadrattrinomialet uttrycks som ett kubiskt binomium.
\(\sqrt {{{\left( {x + \frac{3}{{10}}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{29}}{{100}}} \ )	Ta kvadratroten av varje sida av ekvationen
\(x = – \frac{3}{{10}} \pm \frac{{\sqrt {29} }}{{10}}\)	Lös för \(x\).

Lösningarna av \(5{x^2} + 3x – 1 = 0\) är:
\(x = – \frac{{3 + \sqrt {29} }}{{10}},\; – \frac{{3 – \sqrt {29} }}{{10}}\)

Proceduren som används i ovanstående ekvation kommer att användas för att hitta vad som kallas den allmänna formeln för kvadratiska lösningar.

Allmän formel för andragradsekvationen.

Allmän formel för andragradsekvationer

I det här avsnittet kommer vi att hitta hur man på ett generellt sätt löser en andragradsekvation

Låt oss med \(a \ne 0\) betrakta ekvationen \(a{x^2} + bx + c = 0\).

\(a{x^2} + bx + c = a\left( {{x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}} \right) = 0\)

Eftersom \(a \ne 0\) räcker det att lösa:

\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\)

\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\)	Inledande situation
\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} – \frac{c}{a} = – \frac{c}{a}\)	Lägg till \( – \frac{c}{a}\) på varje sida av ekvationen.
\({x^2} + \frac{b}{a}x = – \frac{c}{a}\)	Eftersom \(\frac{1}{2}\left( {\frac{b}{a}} \right) = \frac{b}{{2a}}\), genom att lägga till \({\left( { \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}}\) ger ett perfekt kvadratiskt trinomium.
\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} = \frac{{{b^2}} }{{4{a^2}}} – \frac{c}{a}\)	Den vänstra sidan av ekvationen är ett perfekt kvadratiskt trinomium.
\({\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = \frac{{{b^2} – 4{a^2}c}}{{4{ a^2}}}\)	Det perfekta kvadrattrinomialet uttrycks som ett kvadratiskt binomium. Den algebraiska bråkdelen är klar.
\(\sqrt {{{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{{b^2} – 4{a^ 2}c}}{{4{a^2}}}} \)	Ta kvadratroten av varje sida av ekvationen.
\(\left| {x + \frac{b}{{2a}}} \right| = \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} }}{{2a} }\)	Radikala egenskaper gäller.
\(x + \frac{b}{{2a}} = \pm \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} }}{{2a}}\)	Absolutvärdesegenskaper gäller.
\(x + \frac{b}{{2a}} – \frac{b}{{2a}} = \pm \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} } }{{2a}} – \frac{b}{{2a}}\)	Till varje sida av ekvationen lägg till \( – \frac{b}{{2a}}\) för att lösa \(x\)
\(x = \frac{{ – b \pm \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)	Den algebraiska bråkdelen är klar.

Termen \({b^2} – 4{a^2}c\) kallas diskriminanten i andragradsekvationen \(a{x^2} + bx + c = 0\).

När diskriminanten i ovanstående ekvation är negativ är lösningarna komplexa tal och det finns inga reella lösningar. Komplexa lösningar kommer inte att behandlas i denna not.

Givet andragradsekvationen \(a{x^2} + bx + c = 0\), om \({b^2} – 4{a^2}c \ge 0\). Då är lösningarna till denna ekvation:

\(\alpha = \frac{{ – b + \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

\(\beta = \frac{{ – b – \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

Uttrycket:

\(x = \frac{{ – b \pm \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

Det kallas den allmänna formeln för andragradsekvationen.

Praktiskt exempel 8: lös ekvationen \(3{x^2} – 2x – 5 = 0\)

\(till\)	\(b\)	\(c\)	Särskiljande	riktiga lösningar
\(3\)	\( – 2\)	\( – 5\)	\({2^2} – 4\left( 3 \right)\left( { – 5} \right) = 4 + 60 = 64\)	\(x = \frac{{ – \left( { – 2} \right) \pm \sqrt {64} }}{{2\left( 3 \right)}} = \frac{{2 \pm 8} }{6}\)

Lösningarna till ekvationen är:
\(\alpha = – 1,\;\beta = \frac{5}{3}\)

Praktiskt exempel 9: Lös ekvationen \( – 4{x^2} + 3x + 9 = 0\)

\(till\)	\(b\)	\(c\)	Särskiljande	riktiga lösningar
\( – 4\)	3	9	\({3^2} – 4\left( { – 4} \right)\left( 9 \right) = 9 + 144 = 153\) \(153 = 9\vänster( {17} \höger)\)	\(x = \frac{{ – 3 \pm \sqrt {9\left( {17} \right)} }}{{2\left( { – 4} \right)}} = \frac{{ – 3 \pm 3\sqrt {17} }}{{ – 8}}\)

Lösningarna till ekvationen är:
\(\alpha = \frac{{3 – 3\sqrt {17} }}{8},\;\beta = \frac{{3 + 3\sqrt {17} }}{8}\)

Praktiskt exempel 10: Lös ekvationen \(5{x^2} – 4x + 1 = 0\)

\(till\)	\(b\)	\(c\)	Särskiljande	riktiga lösningar
\(5\)	-4	\(1\)	\({\left( { – 4} \right)^2} – 4\left( 5 \right)\left( 1 \right) = 16 – 20 = – 4\)	Har inte

Diverse ekvationer

Det finns icke-kvadratiska ekvationer som kan omvandlas till en andragradsekvation.Vi kommer att se två fall.

Praktiskt exempel 11: Hitta de verkliga lösningarna av ekvationen \(6x = 5 – 13\sqrt x \)

Genom att ändra variabeln \(y = \sqrt x \), förblir den föregående ekvationen som:

\(6{y^2} = 5 – 13y\)

\(6{y^2} + 13y – 5 = 0\)

\(6{y^2} + 15y – 2y – 5 = 0\)

\(3y\left( {2y + 5} \right) – \left( {2y + 5} \right) = 0\)

\(\left( {2y + 5} \right)\left( {3y – 1} \right) = 0\)

Därför \(y = – \frac{2}{5},\;\frac{1}{3}\).

Eftersom \(\sqrt x \) endast anger positiva värden, kommer vi bara att överväga:

\(\sqrt x = \;\frac{1}{3}\)

Svar:

Den enda riktiga lösningen är:
\(x = \frac{1}{9}\)

Bearbetat exempel 12: Lös ekvationen \(\sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} – \sqrt {\frac{{x – 5}}{x}} = \frac{5}{6 }\)

Gör ändring av variabel:

\(y = \sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} \)

Vi får ekvationen:

\(y – \frac{1}{y} = \frac{5}{6}\)

\(6{y^2} – 6 = 5y\)

\(6{y^2} – 5y – 6 = 0\)

\(6{y^2} – 9y + 4y – 6 = 0\)

\(3y\left( {2y – 3} \right) + 2\left( {2y – 3} \right) = 0\)

\(\left( {2y – 3} \right)\left( {3y + 2} \right) = 0\)

De möjliga värdena för \(y\) är:

\(y = – \frac{2}{3},\;\frac{3}{2}\)

Av ovanstående kommer vi bara att överväga den positiva lösningen.

\(\sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} = \frac{3}{2}\)

\(\frac{x}{{x – 5}} = \frac{9}{4}\)

\(4x = 9x – 45\)

\(5x = 45\)

\(x = 9.\)

Lösningarna är \(x = 9.\)