Definition av aritmetisk progression

En talföljd \({a_1},\;{a_2},{a_3}, \ldots \) kallas en aritmetisk progression om skillnaden mellan två på varandra följande tal är lika med samma tal \(d\), det är ja:

\({a_{n + 1}} - {a_n} = d\)

Talet \(d\) kallas skillnaden i den aritmetiska progressionen.

Elementet \({a_1}\) kallas det första elementet i den aritmetiska sekvensen.

Elementen i den aritmetiska progressionen kan uttryckas i termer av det första elementet och dess skillnad, det vill säga:

\({a_1},{a_1} + d,{a_1} + 2d,{a_1} + 3d\)

De är de fyra första elementen i den aritmetiska progressionen; I allmänhet uttrycks \(k – \):e elementet enligt följande:

\({a_k} = {a_1} + \left( {k – 1} \right) d\)

Från uttrycket ovan får vi:

\({a_k} – {a_l} = {a_1} + \left( {k – 1} \right) d – \left( {{a_1} + \left( {l – 1} \right) d} \right )\)

\({a_k} – {a_l} = \left( {k – l} \right) d\)

Ovanstående uttryck motsvarar:

\({a_k} = {a_l} + \left( {k – l} \right) d\)

Exempel tillämpade för aritmetisk progression

1. Hitta skillnaden mellan den aritmetiska progressionen: \(3,8,13,18, \ldots \) ​​och hitta elementen \({a_{20}},\;{a_{99}}\)

Lösning

Eftersom \(5 = 8 – 3 = 13 – 8 = 18 – 3\) kan vi dra slutsatsen att skillnaden är:

\(d = 5\)

\({a_{20}} = {a_1} + \left( {20 – 1} \right) d = 3 + 19\left( 5 \right) = 98\)

\({a_{99}} = {a_1} + \left( {99 – 1} \right) d = 3 + 98\left( 5 \right) = 493\)

2. I en aritmetisk progression har vi: \({a_{17}} = 20\;\)och \({a_{29}} = – 130\), bestäm skillnaden på aritmetisk progression och skriv de första 5 elementen.

Lösning

Bär

\({a_k} – {a_l} = \left( {k – l} \right) d\)

\({a_{29}} – {a_{17}} = \left( {29 – 17} \right) d\)

\( – 130 – 20 = \left( {12} \right) d\)

\( – 150 = \left( {12} \right) d\)

\(12d = – 150\)

\(d = – \frac{{150}}{{12}} = – \frac{{25}}{2}\)

För att hitta de första 5 elementen; vi kommer att beräkna \({a_1}\):

\({a_k} = {a_1} + \left( {k – 1} \right) d\)

\({a_{17}} = {a_1} + \left( {17 – 1} \right)\left( { – \frac{{25}}{2}} \right)\)

\(20 = {a_1} + \left( {16} \right)\left( { – \frac{{25}}{2}} \right)\)

\(20 = {a_1} – 200\)

\({a_1} = 20 + 200 = 220\)

De första 5 elementen är:

\(220 220 + \left( { – \frac{{25}}{2}} \right),220 + 2\left( { – \frac{{25}}{2}} \right),220 + 3 \left( { – \frac{{25}}{2}} \right),220 + 4\left( { – \frac{{25}}{2}} \right)\)

\(220,\frac{{415}}{2},195,\frac{{365}}{2},170\)

Polygonala tal och summan av de första \(n\) elementen i en aritmetisk progression

triangulära tal

De triangulära talen \({T_n}\;\) bildas från den aritmetiska progressionen: \(1,2,3,4 \ldots \); på följande sätt.

\({T_1} = 1\)

\({T_2} = 1 + 2 = 3\)

\({T_3} = 1 + 2 + 3 = 6\)

\({T_4} = 1 + 2 + 3 + 4 = 10\)

kvadrattal

Kvadraten \({C_n}\;\) bildas från det aritmetiska forloppet: \(1,3,5,7 \ldots \); som följer

\({C_1} = 1\)

\({C_2} = 1 + 3 = 4\)

\({C_3} = 1 + 3 + 5 = 9\)

\(C{\;_4} = 1 + 3 + 5 + 7 = 16\)

femkantiga tal

Kvadraten \({P_n}\;\) bildas från den aritmetiska progressionen: \(1,3,5,7 \ldots \); som följer

\({P_1} = 1\)

\({P_2} = 1 + 4 = 5\)

\({P_3} = 1 + 4 + 7 = 12\)

\({P_4} = 1 + 4 + 7 + 10 = 22\)

Därefter kommer vi att visa formeln för att hitta summan av de första \(n\) elementen i en aritmetisk progression.

Givet den aritmetiska progressionen, \({a_1},{a_2} = {a_1} + d,{a_3} + 2d, \ldots .,{a_n} = {a_1} + \left( {n – 1} \right) d\). För att beräkna summan \({S_n} = {a_1} + {a_2} + {a_3} + \ldots + {a_n};\) kan du använda formeln:

\({S_n} = \frac{{n\left( {{a_1} + {a_n}} \right)}}{2}\)

vilket motsvarar

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{a_1} + \left( {n – 1} \right) d} \right)}}{2}\)

Genom att tillämpa den föregående formeln erhålls formlerna för att beräkna de triangulära, kvadratiska och femkantiga talen; som visas i följande tabell.

polygonalt tal	\({a_1}\)	\(d\)	Formel
Triangulär \(n – \)th	1	1	\({T_n} = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\)
Kvadratur \(n – \)th	1	2	\({C_n} = {n^2}\)
Pentagonal \(n – \)th	1	3	\({P_n} = \frac{{n\left( {3n – 1} \right)}}{2}\)

Exempel på polygonala tal

3. Från exempel 2 beräkna \({S_{33}}\).

Lösning

I det här fallet \({a_1} = 200\) och \(d = – \frac{{25}}{2}\)

ansöker

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{a_1} + \left( {n – 1} \right) d} \right)}}{2}\)

\({S_{33}} = \frac{{34\left( {2\left( {200} \right) + \left( {33 – 1} \right)\left( { – \frac{{25 }}{2}} \right)} \right)}}{2}\)

\({S_{33}} = 17\vänster( {400 + 16\vänster( { – 25} \höger)} \höger) = 17\vänster( 0 \höger) = 0\)

aritmetiska medel

Givet två siffror \(a\;\) och \(b,\) kallas talen \({a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}}\) \(k\) betyder aritmetiska tal \(a\;\) och \(b\); om sekvensen \(a,{a_2},{a_3}, \ldots,{a_{k + 1}},b\) är en aritmetisk progression.

För att känna till värdena för \(k\) aritmetiska medelvärden för talen \(a\;\) och \(b\), räcker det att känna till skillnaden mellan den aritmetiska progressionen, för detta måste följande vara anses vara:

\(a = {a_1},{a_2},{a_3}, \ldots,{a_{k + 1}},{a_{k + 2}} = b,\)

Från ovanstående etablerar vi förhållandet:

\(b = a + \left( {k + 2 – 1} \höger) d\)

När vi löser \(d\), får vi:

\(d = \frac{{b – a}}{{k + 1}}\)

exempel

4. Hitta 7 aritmetiska medelvärden mellan talen -5 och 25.

Lösning

Vid ansökan

\(d = \frac{{b – a}}{{k + 1}}\)

med \(b = 25,\;a = – 5\) och \(k = 7\;\):

\(d = \frac{{25 – \left( { – 5} \right)}}{{7 + 1}} = \frac{{30}}{8} = \frac{{15}}{4 }\)

De 7 aritmetiska medelvärdena är:

\( – \frac{5}{4},\;\frac{5}{2},\;\frac{{25}}{4},10,\frac{{55}}{4},\ frac{{35}}{2},\frac{{85}}{4}\)

9. En person gav 2 000 dollar som handpenning för att köpa ett kylskåp och betalade resten med sitt kreditkort i 18 månader utan ränta. Han måste betala 550 dollar i månaden för att reglera skulden, som han förvärvade för att betala för sitt kylskåp.

till. Vad kostar kylskåpet?

b. Om du har betalat resten under 12 månader utan ränta, hur mycket skulle månadsbetalningen vara?

Lösning

till. I detta fall:

\({a_{19}} = 2000 + 18\left( {550} \right)\)

\({a_{19}} = 2000 + 9900 = 11900\)

b. Mellan talen 2000 och 11900 måste vi hitta 11 aritmetiska medelvärden, för vilka:

\(d = \frac{{11900 – 2000}}{{12}} = 825\)

5. Givet sekvensen \(7,\;22,\;45,\;76,115,162\) hitta följande 3 element och det allmänna uttrycket för elementet \(n\).

Lösning

Sekvensen i fråga är inte en aritmetisk progression, eftersom \(22 – 7 \ne 45 – 22\), men vi kan bilda en sekvens med skillnaderna mellan två på varandra följande element och följande tabell visar resultat:

Element i sekvensen \({b_n}\)	Sekvens \(\;{c_n} = {b_n} – {b_{n – 1}}\)	\(d = {c_{n + 1}} – {c_n}\)
\({b_1} = 7\)	\({c_1} = {b_1}\)
\({b_2} = 22\)	\({c_2} = {b_2} – {b_1} = 15\)	\({c_2} – {c_1} = 8\)
\({b_3} = 45\)	\({c_3} = {b_3} – {b_2} = \)23	\({c_3} – {c_2} = 8\)
\({b_4} = 76\)	\({c_4} = {b_4} – {b_3} = 31\)	\({c_4} – {c_3} = 8\)
\({b_5} = 115\)	\({c_5} = {b_5} – {b_4} = 39\)	\({c_5} – {c_4} = 8\)
\({b_6} = 162\)	\({c_6} = {b_6} – {b_5} = 47\)	\({c_6} – {c_5} = 8\)

Den tredje kolumnen i tabellen ovan berättar att sekvensen \(15,\;23,31,39,\;47, \ldots .\); är en aritmetisk sekvens vars skillnad är \(d = 8\).

Därefter kommer vi att skriva elementen i sekvensen \({b_n}\) i termer av sekvensen \({c_n},\)

\({b_1} = {c_1}\)

\({b_2} = {c_1} + {c_2}\)

\({b_3} = {b_2} + {c_3} = {c_1} + {c_2} + {c_3}\)

\({b_4} = {b_3} + {c_4} = {c_1} + {c_2} + {c_3} + {c_4}\)

Generellt har du:

\({b_n} = {c_1} + {c_2} + {c_3} + \ldots + {c_n}\;\)

Vid ansökan

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{c_1} + \left( {n – 1} \right) d} \right)}}{2}\)

Med \({c_1} = 7\) och \(d = 8,\) får vi:

\({b_n} = \frac{{n\left( {14 + \left( {n – 1} \right) 8} \right)}}{2}\)

\({b_n} = n\left( {7 + 4\left( {n – 1} \right)} \right)\)

\({b_n} = n\vänster( {4n + 3} \höger)\)

Genom att tillämpa föregående formel: \({b_7} = 217,\;{b_8} = 280,\;{b_9} = 351\)