Hur definieras Thales sats?

Från Thales sats, givet flera parallella linjer, sägs linjen \(T\) vara tvärgående mot de parallella linjerna om den skär var och en av de parallella linjerna.

I figur 1 är linjerna \({T_1}\) och \({T_2}\) tvärgående mot de parallella linjerna \({L_1}\) och \({L_2}.\)

Thales teorem (svag version)
Om flera paralleller bestämmer kongruenta segment (som mäter samma) i en av sina två tvärgående linjer, kommer de också att bestämma kongruenta segment i de andra tvärgående.

I figur 2 är de svarta linjerna parallella och du måste:
\({A_1}{A_2} = {A_2}{A_3} = {A_3}{A_4}.\)
Vi kan säkerställa följande:
\({B_1}{B_2} = {B_2}{B_3} = {B_3}{B_4}.\)

Det sägs att den vise Thales av Miletus mätte höjden på Cheopspyramiden, för detta använde han skuggor och tillämpningen av triangellikhetsegenskaper. Thales sats är grundläggande för utvecklingen av begreppet likhet mellan trianglar.

Förhållanden och egenskaper hos proportioner

Ett förhållande är kvoten av två tal, med divisorn annan än noll; det vill säga:

\(\frac{a}{b}\;{\rm{med\;}}b \ne 0\)

En proportion är likheten mellan två förhållanden, det vill säga:

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k,\)

\(k\) kallas även proportionalitetskonstanten.

Egenskaper av proportioner

Om \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k\) så för \(m \ne 0:\;\)

\(\frac{{ma}}{{mb}} = \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k\)

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{{a + c}}{{b + d}} = \frac{{a – c}}{{b – d}} = k\)

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{f}{g} = \frac{{a + c + f}}{{b + d + g}} = k\)

\(\frac{{a \pm b}}{b} = \frac{{c \pm d}}{d}\)

exempel

\(\frac{9}{{24}} = \frac{{15}}{{40}} = \frac{{9 + 15}}{{24 + 40}} = \frac{{24}} {{64}}\)

\(\frac{9}{{24}} = \frac{{15}}{{40}} = \frac{{15 – 9}}{{40 – 24}} = \frac{6}{{ 16}}\)

\(\frac{{9 + 24}}{{24}} = \frac{{15 + 40}}{{40}}\)\(\frac{{33}}{{24}} = \frac {{55}}{{40}}\)

Segmentparet \(\overline {AB} \) och \(\overline {CD} \) sägs vara proportionella mot segmenten \(\overline {EF} \) och \(\overline {GH} \) om andelen är uppfylld:

\(\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{{EF}}{{GH}}\)

Där \(AB\;\) anger längden på segmentet \(\överlinje {AB} .\)

Thales teorem

Om vi ​​går tillbaka till definitionen bestämmer flera paralleller proportionella motsvarande segment i sina tvärgående linjer.

I figur 3 är de räta linjerna parallella och vi kan säkerställa:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\ (\frac{{{A_2}{A_3}}}{{{A_3}{A_4}}} = \frac{{{B_2}{B_3}}}{{{B_3}{B_4}}}\)\( \frac{{{A_2}{A_4}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_2}{B_4}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_3}{A_4}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_3}{B_4}}}\)\(\frac{{{A_1}{A_3}}}{{{A_1}{A_2}}} = \frac{{{B_1}{B_3}}}{{{B_1}{B_2}}}\)

Låt oss notera att de två första föregående proportionerna är likvärdiga med följande proportioner:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\ (\frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}}\)Av ovan vi får:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac {{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3} + {A_3}{A_4}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3} + {B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_4}}}{{{B_1}{B_4}}}\)

Vid många tillfällen är det bättre att arbeta med de tidigare proportionerna och i det här fallet:

\(\frac{{{A_i}{A_j}}}{{{B_i}{B_j}}} = k\)

Motsatsen till Thales sats

Om flera linjer bestämmer proportionella motsvarande segment i sina tvärgående linjer så är linjerna parallella

Om det i figur 4 är uppfyllt

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}}\)

Då kan vi bekräfta att: \({L_1}\parallel {L_2}\parallel {L_3}.\)

Notationen \({L_1}\parallell {L_2}\), läs \({L_1}\) är parallell med \({L_2}\).

Från föregående andel får vi:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac {{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_1}{A_3}}}{{{ B_1}{B_3}}}\)

Uppdelning av ett segment i flera lika långa delar

Genom ett konkret exempel kommer vi att illustrera hur man delar upp ett segment i lika långa delar.

Dela upp segmentet \(\överlinje {AB} \) i 7 lika långa segment

Inledande situation

Rita en hjälplinje som går genom en av ändarna på segmentet

Med stöd av en kompass ritas 7 lika långa segment på hjälplinjen

Rita linjen som förenar ändarna av det senast ritade segmentet och den andra änden av segmentet som ska delas

De är ritade parallellt med den sista linjen som just ritats som passerar genom punkterna där omkretsbågarna skär hjälplinjen.

Givet ett segment \(\overline {AB} \), sägs en punkt \(P\) i segmentet dividera segmentet \(\overline {AB} \), i förhållandet \(\frac{{AP} } {{PB}}.\)

Uppdelning av ett segment i ett givet förhållande

Givet ett segment \(\överlinje {AB} \), och två positiva heltal \(a, b\); punkten \(P\) som delar segmentet i förhållandet \(\frac{a}{b};\;\) kan hittas enligt följande:

1. Dela upp segmentet \(\överlinje {AB} \) i \(a + b\) segment med lika långa stycken.
2. Ta \(a\) segment räknat från punkt \(A\).

exempel

Division av segmentet \(\överlinje {AB} \) i förhållandet \(\frac{a}{b}\)

Anledning	Antal delar som segmentet är uppdelat i	Plats för punkt \(P\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{4}{3}\)	\(4 + 3 = 7\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = 6 = \frac{6}{1}\)	\(6 + 1 = 7\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{2}{3}\)	\(2 + 3 = 5\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{3}{2}\)	\(3 + 2 = 5\)

Tillämpade exempel på Thales sats

ansökan 1: Tre tomter sträcker sig från Solgatan till Lunagatan, som visas i figur 5.

De laterala gränserna är segment vinkelräta mot Luna Street. Om den totala fasaden av tomterna på Solgatan mäter 120 meter, bestäm fasaden för varje tomt på nämnda gata, om den också är känd:

\({A_1}{A_2} = 10{\rm{m}},\;{A_2}{A_3} = 40{\rm{m}},\;{A_3}{A_4} = 20{\rm{ m}},\;{A_4}{A_5} = 30{\rm{m}}.\)

Problembeskrivning

Eftersom linjerna är vinkelräta mot Luna Street, då de är parallella med varandra, kan vi genom att tillämpa Thales sats bekräfta:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}},\; \;\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_1}{A_4}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_1}{B_4}}}\;,\;\;\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_1}{A_5}} } = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_1}{B_5}}}\)Av ovanstående vi kan dra slutsatsen:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_1}{A_4}}}{{{B_1}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_5}}}{{{B_1}{B_5}}}\;\)

På samma sätt kan vi dra slutsatsen:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_4}{A_5}}}{{{B_4}{B_5}}}\)

Lösning

För att bestämma proportionalitetskonstanten \(k,\) kommer vi att använda egenskaper för proportioner:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_4}{A_5}}}{{{B_4}{B_5}}} = \frac{{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3} + {A_3}{A_4} + {A_4}{A_5}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3} + { B_3}{B_4} + {B_4}{B_5}}} = \frac{{{A_1}{A_5}}}{{{B_1}{B_5}}} = \frac{{100}}{{120}} = \frac{5}{6}\)

Från ovanstående får vi:
\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{5}{6}\)\(\frac{{{B_1}{B_2}}}{ {{A_1}{A_2}}} = \frac{6}{5}\)\({B_1}{B_2} = \frac{6}{5}{A_1}{A_2} = \frac{6}{ 5}\left( {10} \right) = 12.\)

Analogt:

\({B_2}{B_3} = \frac{6}{5}{A_2}{A_3} = \frac{6}{5}\left( {40} \right) = 48\)\({B_3} {B_4} = \frac{6}{5}{A_3}{A_4} = \frac{6}{5}\left( {20} \right) = 24\)\({B_4}{B_5} = \frac{6}{5}{A_4}{A_5} = \frac{6 }{5}\left( {30} \right) = 36\)

Svar

Segmentet	\({B_1}{B_2}\)	\({B_2}{B_3}\)	\({B_3}{B_4}\)	\({B_4}{B_5}\)
Längd	12m	48m	24m	36m

ansökan 2: En grafisk designer har designat en hylla i form av ett parallellogram och kommer att placera 3 hyllor som visas i Figur 6, punkterna E och F är mittpunkterna på sidorna \(\overline {AD} \) och \(\overline {BC} ,\) respektive. Man måste göra snitt i hyllorna för att kunna göra monteringarna. I vilken del av hyllorna ska snitten göras?

Problembeskrivning: På grund av de villkor som anges i problemet är följande uppfyllt:

\(ED = EA = CF = BF\)

Som hjälpkonstruktioner kommer vi att förlänga sidorna \(\overline {CB} \) och \(\overline {DA} \). En linje dras genom punkt A genom \(A\) och parallellt med sidan \(\överlinje {EB} \) och genom punkten \(C\;\) dras en linje parallell med sidan \(\överlinje {DF} \).

Vi kommer att använda motsatsen till Thales sats för att visa att segmenten \(\overline {EB} \) och \(\overline {DF} \) är parallella för att tillämpa Thales' sats.

Lösning

Genom konstruktion är fyrhörningen \(EAIB\) ett parallellogram så vi har att EA=BI, eftersom de är motsatta sidor av ett parallellogram. Nu:

\(\frac{{DE}}{{EA}} = \frac{{BF}}{{BI}} = 1\)

Genom att tillämpa det ömsesidiga det ömsesidiga i Thales sats kan vi dra slutsatsen:

\(\overline {AI} \parallel \overline {EB} \parallel \overline {DF} \parallel \overline {JC} \)

Om man tar segmenten \(\overline {AI} \parallel \overline {EB} \parallel \overline {DF} \parallel \overline {JC} \) och segmenten BC och CI som sina transversaler; som:

\(FC = BF = BI\)\(CH = HG = GA\)

Om vi ​​tar \(\overline {AD} \parallel \overline {BC} \) och segmenten \(\overline {AC} \) och \(\overline {EB} \) som sina transversaler kommer vi att ha:

\(\frac{{EG}}{{GB}} = \frac{{AG}}{{GC}} = \frac{{AG}}{{CH + HG}} = \frac{{AG}} {{2\left( {AG} \right)}} = \frac{1}{2}\)

På samma sätt visas att:

\(\frac{{DH}}{{HF}} = 2\)

Svar

Diagonala snitt \(\overline {AC} \) måste göras vid punkterna \(G\;\) och \(H\), så att:

\(\frac{{AG}}{{AC}} = \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{1}{3}\)

Detsamma gäller för hyllorna \(\overline {EB} \) och \(\overline {DF} \).