Definition av rationalisering av radikaler (matematik)

Rationaliseringen av radikaler är en matematisk process som genomförs när det finns en kvot med radikaler eller rötter i nämnaren. På så sätt kan matematiska operationer underlättas där kvoter med radikaler och andra typer av matematiska objekt är inblandade.

Typer av kvoter med radikaler

Det är viktigt att nämna några typer av kvoter med radikaler som kan rationaliseras. Men innan du går in i rationaliseringsprocessen fullt ut måste ett par viktiga begrepp komma ihåg. Anta först att vi har följande uttryck: \(\sqrt[m]{n}\). Detta är roten \(m\) av talet \(n\), det vill säga resultatet av nämnda operation är ett tal så att om man höjer det till \(m\) får vi talet \(n\) som ett resultat). Potensen och roten är inversa operationer, på ett sådant sätt att: \(\sqrt[m]{{{n^m}}} = n\).
Å andra sidan är det värt att nämna att produkten av två lika rötter är lika med produktens rot, det vill säga att: \(\sqrt[m]{n}\sqrt[m]{p} = \sqrt[m ]{{np}}\). Dessa två fastigheter kommer att bli våra bästa allierade när vi rationaliserar.

Den vanligaste och enklaste typen av kvot med en radikal som vi kan hitta är följande:

\(\frac{a}{{b\sqrt c }}\)

Där \(a\), \(b\) och \(c\) kan vara valfria reella tal. Rationaliseringsprocessen består i detta fall av att hitta ett sätt att i kvoten få uttrycket \(\sqrt {{c^2}} = c\) för att bli av med radikalen. I det här fallet räcker det att multiplicera med \(\sqrt c \) både täljaren och nämnaren:

\(\frac{a}{{b\sqrt c }} = \frac{a}{{b\sqrt c }}\frac{{\sqrt c }}{{\sqrt c }} = \frac{{ a\sqrt c }}{{b\sqrt c \sqrt c }}\)

När vi kommer ihåg vad som nämndes ovan vet vi att \(\sqrt c \sqrt c = \sqrt {{c^2}} = c\). Därför får vi äntligen att:
\(\frac{a}{{b\sqrt c }} = \frac{a}{{bc}}\sqrt c \)

På så sätt har vi rationaliserat det tidigare uttrycket. Detta uttryck är inget annat än ett särskilt fall av ett allmänt uttryck som är följande:

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}}\)

Där \(a\), \(b\), \(c\) är reella tal och \(n\), \(m\) är positiva potenser. Rationaliseringen av detta uttryck bygger på samma princip som det föregående, det vill säga erhålla uttrycket \(\sqrt[n]{{{c^n}}} = c\) i nämnaren. Vi kan uppnå detta genom att multiplicera med \(\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}\) både täljaren och nämnaren:

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}} = \frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}} }\frac{{\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}{{\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}} = \frac{{a\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}\)

Vi kan utveckla produkten av radikaler i nämnaren enligt följande: \(\sqrt[n]{{{c^m}}}\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}} = \sqrt[n]{{{c^m}{c^ {n – m}}}} = \sqrt[n]{{{c^{m + \left( {n – m} \right)}}}} = \sqrt[n]{{{c^n}}} = c\). Därför förblir den rationaliserade kvoten som:

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}} = \frac{a}{{bc}}\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}\)

En annan typ av kvot med radikaler som kan rationaliseras är den där vi har ett binomial med kvadratrötter i nämnaren:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }}\)

Där \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) och \(e\;\) är några reella tal. Symbolen \( ± \) indikerar att tecknet kan vara positivt eller negativt. Nämnaren binomial kan ha båda rötter eller bara en, men vi använder det här fallet för att få ett mer generellt resultat. Den centrala tanken att genomföra rationaliseringsprocessen i detta fall är densamma som i de tidigare fallen, bara det i det här fallet multiplicerar vi både täljaren och nämnaren med konjugatet av binomet som finns i nämnare. Konjugatet av en binomial är en binomial som har samma termer, men vars centrala symbol är motsatt den ursprungliga binomialen. Till exempel är konjugatet av binomialet \(ux + vy\) \(ux – vy\). Som sagt, vi har då:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }}\frac{{b\sqrt c \ mp d\sqrt e }}{{b\sqrt c \mp d\sqrt e }} = \frac{{a\left( {b\sqrt c \mp d\sqrt e } \right)}}{{\left( {b\sqrt c \pm d\sqrt e } \right)\left( {b \sqrt c \mp d\sqrt e } \right)}}\)

Symbolen \( \mp \) indikerar att tecknet kan vara positivt eller negativt, men det måste vara motsatt symbolen för nämnaren för att binomialen ska kunna konjugeras. Genom att utveckla multiplikationen av binomialer av nämnaren får vi att:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{{a\left( {b\sqrt c \mp d\sqrt e } \right)}}{{{ b^2}\sqrt {{c^2}} + bd\sqrt {ce} – bd\sqrt {ce} – {d^2}\sqrt {{e^2}} }}\)

Äntligen får vi det:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{a}{{{b^2}c – {d^2}e}}\left( {b\ sqrt c \mp d\sqrt e } \right)\)

Med detta har vi rationaliserat kvoten med radikal. Dessa kvoter med radikaler är de som generellt kan rationaliseras. Därefter ska vi se några exempel på rationalisering av radikaler.

exempel

Låt oss titta på några exempel på rationalisering med kvoter med radikaler av ovan nämnda typ. Anta först att vi har följande kvot:

\(\frac{3}{{7\sqrt 2 }}\)

I det här fallet räcker det att multiplicera täljaren och nämnaren med \(\sqrt 2 \)

\(\frac{3}{{7\sqrt 2 }} = \frac{3}{{7\sqrt 2 }}\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = \frac{3 }{{7\sqrt 2 \sqrt 2 }}\sqrt 2 = \frac{3}{{7\sqrt 4 }}\sqrt 2 = \frac{3}{{14}}\sqrt 2 \)

Antag nu att vi har följande kvot med radikal:

\(\frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}}}\)

I det här fallet har vi en sjätte rot av en kubikpotens. I föregående avsnitt nämnde vi att om vi har en radikal av formen \(\sqrt[n]{{{c^m}}}\) i nämnare, kan vi rationalisera kvoten genom att multiplicera täljaren och nämnaren med \(\sqrt[n]{{{c^{n –m}}}}\). Genom att jämföra detta med fallet som presenteras här kan vi inse att \(n = 6\), \(c = 4\) och \(m = 3\), därför Därför kan vi rationalisera den föregående kvoten genom att multiplicera täljaren och nämnaren med \(\sqrt[6]{{{4^3}}}\):

\(\frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}}} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}} }\frac{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}}{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}\sqrt[6]{{{4^3}}}}}\sqrt[6]{{{4^3} }} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^6}}}}}\sqrt[6]{{{4^3}}} = \frac{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}}{6}\)

Anta slutligen att vi har följande funktion:

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }}\)

Som framgår av föregående avsnitt, för att rationalisera denna typ av kvot med radikaler, måste du multiplicera täljaren och nämnaren med konjugatet av nämnaren. I det här fallet skulle konjugatet av nämnaren vara \(x – \sqrt x \). Därför skulle uttrycket vara som följer:

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }}\frac{{x – \sqrt x }}{{x – \sqrt x }} = \frac{1}{{\left( {x + \sqrt x } \right)\left( {x – \sqrt x } \right)}}\left( {x – \sqrt x } \right)\)

Genom att utveckla multiplikationen av konjugerade binomialer av nämnaren får vi slutligen att:

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }} = \frac{{x – \sqrt x }}{{{x^2} – x}}\)

Referenser

Aguilar Arturo, Bravo Fabián, Gallegos Herman, Cerón Miguel & Reyes Ricardo. (2009). Aritmetisk. Mexiko: Pearson Education.