Definition av Bernoullis princip/ekvation

Bernoullis princip, ofta även kallad Bernoullis ekvation, är ett av de viktigaste begreppen inom hydrodynamik och vätskemekanik. Den formulerades av den schweiziske fysikern och matematikern Daniel Bernoulli 1738 som en del av hans arbete "hydrodynamik” och en del av bevarandet av energi i en idealisk vätska i rörelse.

Låt oss föreställa oss följande situation: Vi har en slang genom vilken vatten rinner, som lämnar slangen med en viss hastighet och ett visst tryck. Sedan fortsätter vi att delvis täcka slangens utgångshål med ett finger; genom att göra detta ser vi hur vattnet nu kommer ut med högre hastighet. Detta är ett exempel på Bernoullis princip i handling.

Idealiska vätskor i rörelse

Bernoullis princip gäller för ideala vätskor i rörelse, så innan vi fortsätter med att förklara denna princip är det viktigt att nämna vad vi menar med ideal vätska. En idealisk vätska är en förenkling av en riktig vätska, detta görs för att beskrivningen av en vätska ideal är matematiskt enklare och ger oss användbara resultat som senare kan utökas till vätskefallet verklig.

Det finns fyra antaganden som görs för att betrakta en vätska som idealisk och alla har att göra med flöde:

• Stadigt flöde: Ett stadigt flöde är ett där hastigheten med vilken vätskan rör sig är densamma var som helst i rymden. Med andra ord antar vi att vätskan inte genomgår turbulens.

• Inkompressibilitet: Det antas också att en ideal vätska är inkompressibel, det vill säga att den har en konstant densitet hela tiden.

• Icke-viskositet: Viskositet är en egenskap hos vätskor som i allmänna termer representerar motståndet som vätskan motsätter sig rörelse. Viskositet kan ses som analog med mekanisk friktion.

• Irrotationsflöde: Med detta antagande hänvisar vi till det faktum att den rörliga vätskan inte utför någon typ av cirkulär rörelse runt någon punkt på sin väg.

Genom att göra dessa antaganden och ha en idealisk vätska förenklar vi avsevärt den matematiska behandlingen och vi säkerställer också bevarandet av energi, vilket är utgångspunkten mot principen om Bernoulli.

Bernoullis ekvation förklaras

Låt oss betrakta en idealisk vätska som rör sig genom ett rör som visas i följande figur:

Vi kommer nu att använda Work and Kinetic Energy Theorem, som är ett annat sätt att uttrycka lagen om energibevarande, detta säger oss att:

\(W = {\rm{\Delta }}K\)

Där \(W\) är det totala mekaniska arbetet och \({\rm{\Delta }}K\) är förändringen i kinetisk energi mellan två punkter. I detta system har vi två typer av mekaniskt arbete, en som utförs av tyngdkraften på vätskan och en annan som är ett resultat av vätskans tryck. Låt \({W_g}\) vara det mekaniska arbetet som utförs av gravitation och \({W_p}\) vara det mekaniska arbetet som utförs av tryck, vi kan då säga att:

\({W_g} + {W_p} = {\rm{\Delta }}K\)

Eftersom gravitationen är en konservativ kraft, kommer det mekaniska arbetet som utförs av den att vara lika med skillnaden i gravitationell potentiell energi mellan två punkter. Den initiala höjden vid vilken vätskan hittas är \({y_1}\) och den slutliga höjden är \({y_2}\), därför har vi:

\({W_g} = – {\rm{\Delta }}mg{\rm{\Delta }}y = – {\rm{\Delta }}mg\left( {{y_2} – {y_1}} \right )\)

Där \({\rm{\Delta }}m\) är den del av vätskans massa som passerar genom en viss punkt och \(g\) är accelerationen på grund av gravitationen. Eftersom den ideala vätskan är inkompressibel, är \({\rm{\Delta }}m = \rho {\rm{\Delta }}V\). Där \(\rho \) är vätskans densitet och \({\rm{\Delta }}V\) är den del av volymen som strömmar genom en punkt. Om vi ​​ersätter detta med ekvationen ovan får vi:

\({W_g} = – \rho g{\rm{\Delta }}V\left( {{y_2} – {y_1}} \right)\)

Låt oss nu betrakta det mekaniska arbetet som utförs av vätskans tryck. Tryck är kraften som utövas per ytenhet, det vill säga \(F = PA\). Å andra sidan definieras mekaniskt arbete som \(W = F{\rm{\Delta }}x\) där \(F\) är den applicerade kraften och \({\rm{\Delta }}x\) är förskjutningen utförd i detta fall på x-axeln. I detta sammanhang kan vi tänka på \({\rm{\Delta }}x\) som längden på den del av vätska som strömmar genom en viss punkt. Genom att kombinera båda ekvationerna får vi att \(W = PA{\rm{\Delta }}x\). Vi kan inse att \(A{\rm{\Delta }}x = {\rm{\Delta }}V\), det vill säga det är den del av volymen som strömmar genom den punkten. Därför har vi att \(W = P{\rm{\Delta }}V\).

Vid den första punkten utförs mekaniskt arbete på systemet lika med \({P_1}{\rm{\Delta }}V\) och i slutpunkten utför systemet mekaniskt arbete på omgivningen lika med \({P_2}{\rm{\Delta }}V\). Det mekaniska arbetet på grund av vätskans tryck kommer då att vara det arbete som utförs på systemet minus det arbete det gör på sin omgivning, det vill säga att:

\({W_p} = {P_1}{\rm{\Delta }}V – {P_2}{\rm{\Delta }}V = \left( {{P_1} – {P_2}} \right){\rm {\Delta }}V\)

Slutligen kommer skillnaden i kinetisk energi \({\rm{\Delta }}K\) att vara lika med den kinetiska energin vid slutpunkten minus den kinetiska energin vid startpunkten. Det är:

\({\rm{\Delta }}K = \frac{1}{2}{\rm{\Delta }}mv_2^2 – \frac{1}{2}{\rm{\Delta }}mv_1^ 2 = \frac{1}{2}{\rm{\Delta }}m\left( {v_2^2 – v_1^2} \right)\)

Av ovanstående vet vi att \({\rm{\Delta }}m = \rho {\rm{\Delta }}V\). Ovanstående ekvation är då som:

\({\rm{\Delta }}K = \frac{1}{2}\rho {\rm{\Delta }}V\left( {v_2^2 – v_1^2} \right)\)

Genom att ersätta alla resultat som erhållits i energisparekvationen erhålls det att:

\(\left( {{P_1} – {P_2}} \right){\rm{\Delta }}V – \rho {\rm{\Delta }}V\left( {{y_2} – {y_1}} \right) = \frac{1}{2}\rho {\rm{\Delta }}V\left( {v_2^2 – v_1^2} \right)\)

Vi kan faktorisera termen \({\rm{\Delta }}V\) på båda sidor av ekvationen, vilket leder till:

\({P_1} – {P_2} – \rho g\left( {{y_2} – {y_1}} \right) = \frac{1}{2}\rho \left( {v_2^2 – v_1^2 } \höger)\)

Utveckla de saknade produkterna vi måste:

\({P_1} – {P_2} – \rho g{y_2} + \rho g{y_1} = \frac{1}{2}\rho v_2^2 – \frac{1}{2}\rho v_1^ 2\)

Om vi ​​ordnar om alla termer på båda sidor av ekvationen får vi att:

\({P_1} + \rho g{y_1} + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = {P_2} + \rho g{y_2} + \frac{1}{2}\rho v_2^ 2\)

Denna ekvation är en relation mellan initialtillståndet och sluttillståndet för vårt system. Vi kan äntligen säga att:

\(P + \rho gy + \frac{1}{2}\rho {v^2} = konstant\)

Denna sista ekvation är Bernoullis ekvation från vilken dess princip härleds. Bernoullis princip är en bevarandelag för en idealisk vätska i rörelse.

Referenser

David Halliday, Robert Resnick och Jearl Walker. (2011). Fysikens grunder. USA: John Wiley & Sons, Inc.