Newtons binomiala exempel

De Newtons binomial, även kallad "binomialteorem " är en logaritm som gör att vi kan få binomialer.

För att erhålla binomialeffekten kallade koefficienterna “binomiala koefficienter"Som består av sekvenser av kombinationer.

Exempel 1, allmänna formler för Newtons binomial:

(a + b)² = a² + 2 ab + b²
(a - b)² = a² –2 ab + b²
(a + b) 3 a³ + 3 till²b + 3 ab² + b³

Dessa formler är kända under namnet på anmärkningsvärda identiteter, där en mer allmän formel skapas som motsvarar utvecklingen av (a + b)ⁿ, där n är något naturligt heltal.

Denna formel gäller för alla element till Y b av en ring,

A (för lagar + Y x) till

Villkor att de två elementen tillY b vara sådan att till x b = b x till:

(a + b)ⁿ = aⁿ + C¹_n till^n-2 xb² + ...
+ C^sid_n  till^n-p x b^sid +… + C_sidⁿ¹ + bⁿ.

De C^sid_n är naturliga heltal, kallade binomialkoefficienter (de som uttrycker antalet kombinationer av n föremål tagna sid till sid; kan enkelt beräknas tack vare Pascals triangel).

Exempel 2, från Newtons binomial:

Vi överväger multiplikation:

z. z = z² där z kan vara vilket algebraiskt uttryck som helst:

Antag nu det z = x + Y, sedan:

z. z = (x + y) = (x + y) men (x + y)

som kan beräknas så här:

x + y
x + y

Här utförs multiplikationen från vänster till höger och resultatet uppnås genom att lägga till algebraiskt:

x² + x y
+ xy + y²

x² + 2 x y + y²

(x + y)² = x² + 2 x y + y²

Om vi ​​överväger:

z. z. z = z³;

(x + y) (x + y) (x + y) = (x + y)². (x + y) 2. (x + y) = (x² + 2 xy + y²) (x + y)

När multiplikationen genomförs får vi:

X2 + 2 x y + y2
+ x²y + 2 x y² + och²

X³ + 3 x² y + 3 x y² + och³

(x + y)² (x + y) = (x + y)³ = x³ + 3 x² y + 3 x y² + och³.

 z³. z = z⁴

z3. z = (x3 + 3 x2 y + 3 x y2 + y3) (x + y)

Och när vi gör multiplikationen.

x³ + x² y + 3 x y² + och³

x + y_________________

x⁴ + 3 x³ y + 3 x² Y² + x y³

+ x³ y + 3 x2 y2 + 3xy³ + och⁴

x⁴ + 4x³och + 6x² y + 4xy³ + och⁴

(x + y)⁴ = x4 + 4x³och + 6x² Y² + 4xy³ + och⁴