สมการของแมกซ์เวลล์คืออะไร และมีคำจำกัดความอย่างไร

แองเจิล ซาโมรา รามิเรซ | ก.ค. 2022
ปริญญาฟิสิกส์

ก่อนสมการเหล่านี้ ว่ากันว่าแรงไฟฟ้าและแม่เหล็กเป็น "แรงในระยะไกล" ไม่มีวิธีการทางกายภาพที่ทราบโดยวิธีการโต้ตอบประเภทนี้ หลังจากหลายปีของการวิจัยเกี่ยวกับ ไฟฟ้า Y แม่เหล็กไมเคิล ฟาราเดย์ สัญชาตญาณว่าจะต้องมีบางอย่างทางกายภาพในช่องว่างระหว่างประจุและกระแสไฟฟ้าที่จะยอมให้พวกมันมีปฏิสัมพันธ์ซึ่งกันและกันและแสดงให้เห็น ปรากฏการณ์ทางไฟฟ้าและแม่เหล็กที่รู้จักกันในตอนแรกเขาเรียกสิ่งเหล่านี้ว่า "เส้นแรง" ซึ่งนำไปสู่แนวคิดของการมีอยู่ของสนามแม่เหล็กไฟฟ้า

จากแนวคิดของฟาราเดย์ James Clerk Maxwell ได้พัฒนาทฤษฎีภาคสนามซึ่งแสดงด้วยสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยสี่สมการ แมกซ์เวลล์เรียกสิ่งนี้ว่า "ทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้า" และเป็นคนแรกที่รวมภาษาคณิตศาสตร์ประเภทนี้เข้ากับทฤษฎีทางกายภาพ สมการของแมกซ์เวลล์ในรูปแบบดิฟเฟอเรนเชียลสำหรับสุญญากาศ (นั่นคือ เมื่อไม่มีวัสดุไดอิเล็กตริกและ/หรือโพลาไรซ์ได้) มีดังนี้:

\(\nabla \cdot \vec{E}=\frac{\rho }{{{\epsilon }_{0}}}\)
\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)
\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)
\(\nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}\vec{J}+{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac {\partial \vec{E}}{\partial t}\)
สมการของแมกซ์เวลล์สำหรับสุญญากาศในรูปแบบดิฟเฟอเรนเชียล

โดยที่ \(\vec{E}~\)คือสนามไฟฟ้า \(\vec{B}~\)คือสนามแม่เหล็ก \(\rho ~\)คือความหนาแน่นของ ค่าไฟฟ้า, \(\vec{J}~~\) เป็นเวกเตอร์ที่เกี่ยวข้องกับ a กระแสไฟฟ้า, \({{\epsilon }_{0}}~\) คือค่าความยอมทางไฟฟ้าของสุญญากาศ และ \({{\mu }_{0}}~~\) คือค่าการซึมผ่านของแม่เหล็กของสุญญากาศ สมการแต่ละสมการเหล่านี้สอดคล้องกับ a กฎ ของแม่เหล็กไฟฟ้าและมีความหมาย ฉันจะอธิบายสั้น ๆ เกี่ยวกับแต่ละข้อด้านล่าง

กฎของเกาส์

\(\nabla \cdot \vec{E}=\frac{\rho }{{{\epsilon }_{0}}}\)
กฎของเกาส์สำหรับสนามไฟฟ้า

สมการแรกนี้บอกเราว่าประจุไฟฟ้าเป็นแหล่งกำเนิดของสนามไฟฟ้า สนามไฟฟ้านี้จะ "แยก" ออกจากประจุโดยตรง ยิ่งไปกว่านั้น ทิศทางของสนามไฟฟ้าถูกกำหนดโดยสัญญาณของประจุไฟฟ้าที่ผลิตขึ้น และเส้นสนามอยู่ใกล้แค่ไหนก็บ่งบอกถึงขนาดของสนามเอง ภาพด้านล่างเป็นการสรุปสิ่งที่เพิ่งกล่าวถึงไปบ้าง

ภาพประกอบ 1 จาก Studiowork.- ไดอะแกรมของสนามไฟฟ้าที่เกิดจากประจุสองจุด หนึ่งประจุบวกและหนึ่งประจุลบ.

กฎข้อนี้เป็นชื่อของนักคณิตศาสตร์ โยฮันน์ คาร์ล ฟรีดริช เกาส์ ผู้คิดค้นกฎนี้โดยใช้ทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์ของเขา

กฎของเกาส์สำหรับสนามแม่เหล็ก

\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)

กฎของเกาส์สำหรับสนามแม่เหล็ก

กฎข้อนี้ไม่มีชื่อเฉพาะ แต่เรียกว่าเพราะมีความคล้ายคลึงกันกับสมการก่อนหน้านี้ ความหมายของนิพจน์นี้คือไม่มี "ประจุแม่เหล็ก" ที่คล้ายคลึงกับ "ประจุไฟฟ้า" นั่นคือไม่มีขั้วแม่เหล็กที่เป็นแหล่งกำเนิดของสนามแม่เหล็ก นี่คือเหตุผลว่าทำไมถ้าเราแบ่งแม่เหล็กออกเป็นสองส่วน เราจะยังมีแม่เหล็กที่คล้ายกันอยู่สองตัว ทั้งขั้วเหนือและขั้วใต้

กฎของฟาราเดย์

\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)
กฎการเหนี่ยวนำของฟาราเดย์

นี่คือกฎการเหนี่ยวนำที่มีชื่อเสียงซึ่งกำหนดโดยฟาราเดย์เมื่อในปี พ.ศ. 2374 เขาค้นพบว่าสนามแม่เหล็กที่เปลี่ยนไปนั้นสามารถเหนี่ยวนำกระแสไฟฟ้าได้ ความหมายของสมการนี้คือสนามแม่เหล็กที่เปลี่ยนแปลงตามเวลาสามารถเหนี่ยวนำได้ มีสนามไฟฟ้าอยู่รอบๆ ซึ่งจะทำให้ประจุไฟฟ้าเคลื่อนที่และสร้าง a ลำธาร. แม้ว่าสิ่งนี้อาจฟังดูเป็นนามธรรมในตอนแรก แต่กฎของฟาราเดย์อยู่เบื้องหลังการทำงานของมอเตอร์ กีต้าร์ไฟฟ้า และเตาแม่เหล็กไฟฟ้า

กฎหมายแอมแปร์–แมกซ์เวลล์

\(\nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}\vec{J}+{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac {\partial \vec{E}}{\partial t}\)

สิ่งแรกที่สมการนี้บอกเราคือกระแสไฟฟ้าสร้างสนามแม่เหล็กรอบทิศทางของกระแสและนั่น ขนาดของสนามแม่เหล็กที่สร้างขึ้นนั้นขึ้นอยู่กับขนาดของสิ่งนี้ นี่คือสิ่งที่ Oersted สังเกตและต่อมา Ampère ก็สามารถ กำหนด. อย่างไรก็ตาม มีบางอย่างที่น่าสงสัยอยู่เบื้องหลังสมการนี้ และนั่นคือเทอมที่สองที่อยู่ด้านข้าง กฎ ของสมการได้รับการแนะนำโดย Maxwell เพราะนิพจน์นี้เดิมไม่สอดคล้องกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ทำให้เกิดการละเมิดกฎหมายว่าด้วยการอนุรักษ์ประจุไฟฟ้า เพื่อหลีกเลี่ยง Maxwell นี้เพียงแค่แนะนำเทอมที่สองนี้เพื่อให้ทฤษฎีทั้งหมดของเขามีความสอดคล้องกันเทอมนี้ ได้รับชื่อ "กระแสการกระจัด" และในขณะนั้นยังไม่มีหลักฐานการทดลองสนับสนุน จะสำรองข้อมูล

ภาพประกอบ 2 เดอรวยรวย.- กระแสไฟฟ้าที่ไหลผ่านสายเคเบิลจะสร้างสนามแม่เหล็กรอบตัวตามกฎของแอมแปร์

ความหมายของกระแสการกระจัดคือในลักษณะเดียวกับสนามแม่เหล็ก ตัวแปรทำให้เกิดสนามไฟฟ้า สนามไฟฟ้าที่เปลี่ยนแปลงตามเวลาสามารถสร้างสนามได้ แม่เหล็ก การยืนยันการทดลองครั้งแรกของกระแสการกระจัดคือการสาธิตการมีอยู่ของ คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าโดยไฮน์ริช เฮิรตซ์ในปี พ.ศ. 2430 มากกว่า 20 ปีหลังจากการตีพิมพ์ทฤษฎี แม็กซ์เวลล์ อย่างไรก็ตาม การวัดกระแสดิสเพลสเมนต์โดยตรงครั้งแรกนั้นทำโดย M. ร. Van Cauwenberghe ในปี 1929

แสงเป็นคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า

การคาดคะเนอย่างเหลือเชื่อครั้งแรกที่ทำโดยสมการของแมกซ์เวลล์คือการมีอยู่ของ คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า แต่ไม่เพียงเท่านั้น พวกเขายังเปิดเผยว่าแสงต้องเป็นคลื่นของสิ่งนี้ พิมพ์. เพื่อดูสิ่งนี้ เราจะเล่นกับสมการของ Maxwell แต่ก่อนหน้านั้น นี่คือรูปแบบของสมการคลื่นใดๆ:

\({{\nabla }^{2}}u=\frac{1}{{{v}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial {{ t}^{2}}}\)
รูปแบบทั่วไปของสมการคลื่นในสามมิติ

โดยที่ \({{\nabla }^{2}}\) เป็นตัวดำเนินการ Laplacian \(u\) คือฟังก์ชันคลื่น และ \(v\) คือความเร็วของคลื่น เราจะทำงานกับสมการของแมกซ์เวลล์ในพื้นที่ว่างด้วย นั่นคือในกรณีที่ไม่มีประจุไฟฟ้าและกระแสไฟฟ้า จะใช้เฉพาะสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กเท่านั้น:

\(\nabla \cdot \vec{E}=0\)

\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)

\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)

\(\nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\)

และเราจะใช้สิ่งต่อไปนี้ด้วย ตัวตน แคลคูลัสเวกเตอร์:

\(\nabla \times \left( \nabla \times \vec{A} \right)=\nabla \left( \nabla \cdot \vec{A} \right)-{{\nabla }^{2}} \เวลา{A}\)

หากเราใช้เอกลักษณ์นี้กับสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กโดยใช้สมการของแมกซ์เวลล์สำหรับพื้นที่ว่างด้านบน เราจะได้ผลลัพธ์ดังต่อไปนี้:

\({{\nabla }^{2}}\vec{E}={{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac{{{\partial }^{2} }\vec{E}}{\บางส่วน {{t}^{2}}}\)

\({{\nabla }^{2}}\vec{B}={{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac{{{\partial }^{2} }\vec{B}}{\บางส่วน {{t}^{2}}}\)

สังเกตความคล้ายคลึงของสมการเหล่านี้กับสมการคลื่นด้านบนใน บทสรุปสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กสามารถทำหน้าที่เหมือนคลื่น (คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า) หากเรากำหนดความเร็วของคลื่นเหล่านี้เป็น \(c\) และเปรียบเทียบสมการเหล่านี้กับสมการคลื่นด้านบน เราสามารถพูดได้ว่าความเร็วคือ:

\(c=\frac{1}{\sqrt{{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}}}\)

\({{\mu }_{0}}\) และ \({{\epsilon }_{0}}\) คือค่าการซึมผ่านของแม่เหล็กและการยอมให้ไฟฟ้าของสุญญากาศตามลำดับ และทั้งคู่เป็นค่าคงที่ ค่าสากลที่มีค่าคือ \({{\mu }_{0}}=4\pi \times {{10}^{-7}}~~T\cdot m/A\) และ \({{\ เอปซิลอน } 0}}=8.8542\times {{10}^{-12}}~{{C}^{2}}/N\cdot m~\), แทนค่าเหล่านี้ เราได้ค่าของ \(c\) คือ \(c=299,792,458\frac{m}{s}\ประมาณ 300,000~km/s\) ซึ่งเป็นความเร็วของ แสงสว่าง.

ด้วยการวิเคราะห์เล็กๆ น้อยๆ นี้ เราจะได้รับข้อสรุปที่สำคัญสามประการ:

1) สนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กสามารถประพฤติตัวเหมือนคลื่น กล่าวคือ มีคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าที่สามารถแพร่กระจายผ่านสุญญากาศได้เช่นกัน

2) แสงเป็นคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าที่มีความเร็วขึ้นอยู่กับการซึมผ่านของแม่เหล็กและการอนุญาติ ของตัวกลางที่มันแพร่กระจายไปในที่ว่างแสงมีความเร็วประมาณ 300,000 กม./วินาที

3) เนื่องจากค่าการซึมผ่านของแม่เหล็กและการอนุญาตทางไฟฟ้าเป็นค่าคงที่สากล ดังนั้น ความเร็วของแสงก็เป็นค่าคงที่สากลเช่นกัน แต่ก็หมายความว่าค่าของมันไม่ได้ขึ้นอยู่กับ ของ กรอบ จากที่มันวัด

ประโยคสุดท้ายนี้เป็นที่ถกเถียงกันอย่างมากในขณะนั้น เป็นไปได้อย่างไรที่ความเร็วของ แสงจะเหมือนกันโดยไม่คำนึงถึงการเคลื่อนไหวของบุคคลที่วัดแสงและการเคลื่อนไหวของแหล่งกำเนิดแสง แสงสว่าง? ความเร็วของบางอย่างต้องสัมพันธ์กันใช่ไหม นี่เป็นแหล่งต้นน้ำสำหรับฟิสิกส์ของเวลาและข้อเท็จจริงที่เรียบง่าย แต่ลึกซึ้งนี้นำไปสู่การพัฒนาทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษโดย Albert Einstein ในปี 1905