ลำดับชั้นของการดำเนินงานคืออะไร?

ลำดับชั้นของการดำเนินการเป็นแบบแผนทางคณิตศาสตร์ที่กำหนดลำดับที่การดำเนินการคำนวณแบบรวมควรดำเนินการใน คำสั่งทางคณิตศาสตร์เดียวกัน นั่นคือ เมื่อมีคำสั่งทางคณิตศาสตร์ที่มีการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ (การบวก การลบ การคูณ การหาร เลขยกกำลัง และราก) รวมกัน จะต้องทำตามลำดับที่เฉพาะเจาะจงจึงจะได้ผลลัพธ์ ทั่วไป.

แต่ทำไมต้องมีลำดับชั้น? เพื่อที่จะตอบคำถาม ก่อนอื่นเราต้องเข้าใจธรรมชาติของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ ซึ่งประกอบด้วยการแปลงที่ใช้กับองค์ประกอบของชุด ตัวอย่างเช่น ลองนึกถึงเซตของจำนวนจริง ซึ่งก็คือจำนวนที่เราทุกคนรู้จัก ถ้าเรานำเลข a มาบวกกับเลข b อีกตัว เราจะได้เลข c อีกตัวที่เป็นของจำนวนจริงชุดเดียวกัน นั่นคือ:

เอ+บี = ค

นอกจากนี้ ลำดับที่แสดงส่วนเพิ่มเติมจะไม่ส่งผลต่อผลลัพธ์สุดท้าย นั่นคือ นั่นคือ เอ+บี = บี+เอคุณสมบัตินี้เรียกว่าการสลับที่ สิ่งสำคัญคือต้องพูดถึงการบวก เพราะเป็นการดำเนินการพื้นฐานที่ได้รับมาจากการดำเนินการอื่นๆ ทั้งหมด การคูณไม่มีอะไรมากไปกว่าการบวกซ้ำกันเป็นชุดๆ ถ้าเรามีเลข a อีกครั้งและเราคูณด้วยเลข b บางครั้งเรากำลังบวกเลข b กับตัวมันเอง หรืออีกทางหนึ่งคือบวก b คูณจำนวน a กับตัวมันเอง หลังเป็นเช่นนั้น เนื่องจากการคูณเป็นการสลับที่เหมือนการบวก นี่ก็หมายความว่า:

a⋅b = b⋅a. ดังกล่าวข้างต้นสามารถแสดงเป็น:

เราสามารถเห็นภาพนี้ได้อย่างง่ายดายด้วยตัวอย่าง มาทำการคูณ 5x2:

5×2 = 2×5 = 2+2+2+2+2 = 5+5 = 10

ทีนี้ ถ้าเราต้องดำเนินการโดยที่เราได้รวมการบวกเข้ากับการคูณล่ะ? ตัวอย่างเช่น a⋅b+c ลำดับที่ต้องทำการเพิ่มและการคูณคืออะไร? เราต้องให้ความสำคัญกับการดำเนินการใด หากเราทำการคูณก่อนและพัฒนาเป็นผลรวม เราจะได้:

ทีนี้ ถ้าเราทำการบวกก่อนแล้วจึงคูณ เราจะได้:

เนื่องจากการบวกเป็นการสลับที่ เราสามารถจัดกลุ่มใหม่ทางด้านขวาของสมการเพื่อให้ได้:

การเปรียบเทียบผลลัพธ์ที่ได้รับในทั้งสองสถานการณ์เป็นเรื่องง่ายที่จะทราบว่า:

เราสรุปได้ว่าลำดับที่ตัดสินใจดำเนินการจะส่งผลต่อผลลัพธ์ที่ได้รับ สิ่งเดียวกันนี้เกิดขึ้นเมื่อเราเกี่ยวข้องกับพลัง เมื่อเราเพิ่มจำนวน b ยกกำลัง c สิ่งที่เรากำลังทำคือการคูณ c คูณด้วยจำนวน b ด้วยตัวของมันเอง นั่นคือ:

ตอนนี้เราดำเนินการรวมต่อไปนี้ซึ่งเกี่ยวข้องกับการคูณและยกกำลัง a⋅b^ค ในลำดับที่แตกต่างจากที่เราทำในกรณีก่อนหน้า หากเราให้ความสำคัญกับอำนาจเป็นอันดับแรก เราจะมี:

ทีนี้ ถ้าเราทำการคูณก่อนแล้วยกกำลัง เราจะได้:

การใช้ประโยชน์จากการสับเปลี่ยนของการคูณ เราสามารถจัดกลุ่มทางขวามือของสมการใหม่ได้ดังนี้:

อีกครั้ง เราสามารถเปรียบเทียบผลลัพธ์ที่ได้รับจากการดำเนินการตามลำดับที่แตกต่างกัน เพื่อให้ทราบว่า:

นอกจากนี้ ในกรณีนี้ ลำดับการดำเนินการจะส่งผลต่อผลลัพธ์ที่ได้รับ ดังนั้นการดำเนินการที่ต้องดำเนินการตามลำดับคืออะไร? ลำดับชั้นของการดำเนินการกำหนดว่าเลขยกกำลังอยู่ในระดับที่สูงกว่าลำดับชั้นมากกว่าการคูณ ในลักษณะที่ว่าเลขยกกำลังมีความสำคัญกว่าในข้อความทางคณิตศาสตร์ ในทางกลับกัน การคูณจะมีระดับลำดับชั้นที่สูงกว่าการบวก

แล้วการลบ การหาร และรากล่ะ? การลบเป็นการดำเนินการที่ตรงกันข้ามกับการบวก เมื่อเราลบเลข b ออกจากเลข a เราจะได้เลข c อีกตัว ซึ่งก็คือ c+b=a สิ่งที่คล้ายกันเกิดขึ้นกับการหารและการลบ หากเรานำจำนวน a ไปหารด้วยจำนวน b และได้ผลลัพธ์เป็นจำนวน c เราพบจำนวนที่ b⋅c=a และสุดท้าย การคำนวณราก b ของจำนวน a เราจะพบจำนวน c เช่นนั้น^ข=ก. ความเท่าเทียมกันเหล่านี้ทำให้การลบ การหาร และการรูทอยู่ในระดับลำดับชั้นเดียวกันกับการบวก การคูณ และยกกำลังตามลำดับ

วงเล็บและวงเล็บเหลี่ยม

ทีนี้ จะเกิดอะไรขึ้นหากเราต้องการให้ความสำคัญกับการดำเนินการบางอย่างในข้อความทางคณิตศาสตร์โดยไม่คำนึงถึงระดับลำดับชั้น ในการทำเช่นนี้ จะใช้วงเล็บและวงเล็บเหลี่ยม สมมติว่าเรามีข้อความของหลักการ a⋅b+c จากที่เราพูดไปก่อนหน้านี้เราก็รู้แล้วว่าต้องทำการคูณก่อนแล้วจึงบวก แต่ถ้าเราต้องการไม่ให้เป็นเช่นนั้นล่ะ? ในการทำเช่นนี้ เราจะต้องใช้วงเล็บหรือวงเล็บเหลี่ยมเพื่อแยกการบวกออกจากการคูณ ดังนั้นจึงให้ความสำคัญกับการคำนวณการบวกก่อน นั่นคือ: a⋅(b+c) ซึ่งจะทำให้ข้อความที่คั่นด้วยวงเล็บและวงเล็บเหลี่ยมมีลำดับความสำคัญสูงสุดเหนือการดำเนินการอื่นๆ ทั้งหมด

จากทั้งหมดที่กล่าวมาข้างต้น ลำดับขั้นของการดำเนินงานหรือลำดับที่ต้องดำเนินการมีดังนี้:

1) วงเล็บและวงเล็บ
2) พลังและราก
3) การคูณและการหาร
4) การบวกและการลบ

อ้างอิง

ชม. เบห์นเก้, เอฟ. บาคแมน, เค. แฟลดท์, ดับเบิลยู. ซัส, เอช. เกอริค, เอฟ. โฮเฮนเบิร์ก, จี. พิกเคิร์ต, เอช. เรา & เอส ชม. โกลด์ (1983). ความรู้พื้นฐานทางคณิตศาสตร์: เล่มที่ 1 เคมบริดจ์ แมสซาชูเซตส์ และลอนดอน: The MIT Press