ความหมายของเศษส่วนที่เท่ากัน

เศษส่วนตั้งแต่สองส่วนขึ้นไปจะเท่ากันหากแสดงปริมาณเดียวกัน นั่นคือ ถ้า
\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\;,\)
เศษส่วน \(\frac{a}{b}\) และ \(\frac{c}{d}\) นั้นถือว่าเท่ากัน

เศษส่วนที่เท่ากัน: การแสดงกราฟิก

พิจารณาตารางที่เราจะแบ่งเป็นสี่ สาม แปด และสิบสอง

จากตัวเลขก่อนหน้านี้ เราสังเกตเห็นความเท่าเทียมกันต่อไปนี้:

จะรับเศษส่วนที่เท่ากันหนึ่งหรือหลายตัวได้อย่างไร

มีสองวิธีพื้นฐานในการรับเศษส่วนที่เทียบเท่ากับเศษส่วนที่กำหนด

1. คูณตัวเศษและตัวส่วนด้วยจำนวนบวกที่เท่ากัน.

ตัวอย่าง:

\(\frac{3}{4} = \frac{{3\left( 5 \right)}}{{4\left( 5 \right)}} = \frac{{15}}{{20}} \)

\(\frac{3}{4} = \frac{{3\left( 7 \right)}}{{4\left( 7 \right)}} = \frac{{21}}{{28}} \)

\(\frac{5}{8} = \frac{{5\left( 6 \right)}}{{8\left( 6 \right)}} = \frac{{30}}{{56}} \)

2. หารด้วยตัวหารร่วมที่เป็นบวกของตัวเศษและตัวส่วน

\(\frac{{52}}{{56}} = \frac{{52 \div 4}}{{56 \div 4}} = \frac{{13}}{{14}}.\)

\(\frac{{80}}{{140}} = \frac{{80 \div 20}}{{140 \div 20}} = \frac{4}{7}.\)

\(\frac{{21}}{{57}} = \frac{{21 \div 3}}{{57 \div 3}} = \frac{7}{{19}}\)

เมื่อในเศษส่วนทั้งตัวเศษและตัวส่วนถูกหารด้วยตัวหารร่วมเดียวกันที่ไม่ใช่ 1 จะถือว่าเศษส่วนนั้นลดลง

เศษส่วนที่ลดไม่ได้

เศษส่วนเรียกว่าเศษส่วนลดไม่ได้ ถ้าตัวหารร่วมมากของตัวเศษและตัวส่วนเท่ากับ 1

ถ้า \(gcd\left( {a, b} \right) = 1,\) เศษส่วน \(\frac{a}{b}\) เรียกว่า เศษส่วนที่ลดไม่ได้

กำหนดเศษส่วน \(\frac{a}{b}\) เพื่อให้ได้เศษส่วนที่เทียบเท่ากับเศษส่วนนี้และซึ่งก็คือ เศษส่วนลดไม่ได้ ตัวเศษและตัวเศษถูกหารด้วยตัวหารร่วมมากของ \(a\;\) และของ \(ข.\)

ตารางต่อไปนี้แสดงตัวอย่างเศษส่วนที่ลดไม่ได้และเศษส่วนที่ลดไม่ได้ ถ้ามันลดได้ แสดงว่าจะได้เศษส่วนเทียบเท่าที่ลดไม่ได้

เศษส่วน	ตัวหารร่วมมาก	ลดไม่ได้	เศษส่วนที่เท่ากันลดทอนไม่ได้
\(\frac{{14}}{{42}}\)	7	เลขที่	\(\frac{{14}}{{42}} = \frac{{14 \div 7}}{{42 \div 7}} = \frac{2}{7}\)
\(\frac{3}{{25}}\)	1	ใช่	\(\frac{3}{{25}}\)
\(\frac{{21}}{{201}}}\)	3	เลขที่	\(\frac{{21 \div 3}}{{20\;1 \div 3}} = \frac{7}{{67}}\)
\(\frac{5}{{24}}\)	1	ใช่	\(\frac{5}{{24}}\)
\(\frac{{72}}{{1125}}\)	9	เลขที่	\(\frac{{72}}{{1125}} = \frac{{72 \div 9}}{{1125 \div 9}} = \frac{8}{{125}}\)

เศษส่วนที่เท่ากัน: การแสดงด้วยวาจา

ตารางต่อไปนี้แสดงสองวิธีที่ต่างกันในการแสดงข้อมูลที่เทียบเท่า จากมุมมองที่เป็นตัวเลข

วลีทางวาจา	วลีที่เทียบเท่า (ตัวเลข)	การโต้แย้ง
ในปี 1930 ในเม็กซิโก คน 4 คนจาก 25 คนพูดภาษาแม่ได้	ในปี 1930 ในเม็กซิโก คน 16 คนจาก 100 คนพูดภาษาแม่ได้	ข้อมูลทั้งสองคูณด้วย 4
ในปี 1960 ในเม็กซิโก ผู้คน 104 คนจากทุกๆ 1,000 คนพูดภาษาแม่ได้	ในปี 1960 ในเม็กซิโก ผู้คน 13 คนจากทั้งหมด 125 คนพูดภาษาแม่ได้	ข้อมูลทั้งสองถูกหารด้วย 8

เศษส่วนที่เท่ากัน: การแสดงทศนิยม

ตารางด้านล่างแสดงตัวเลขทศนิยมต่างๆ และเศษส่วนเทียบเท่าที่แทนค่าเหล่านั้น

เลขฐานสิบ	เศษส่วน	เศษส่วนที่เท่ากัน	การดำเนินงาน
\(0.25\)	0.25=\(\frac{{25}}{{100}}\)	0.25=\(\frac{1}{4}\)	\(25 \div 25 = 1\) \(100 \div 25 = \)
\(1.4\)	\(1.4 = 1 + \frac{4}{{10}} = \frac{{14}}{{10}}\)	\(1.4 = \frac{7}{5}\)	\(14 \div 2 = 1\) \(10 \div 2 = 5\)
\(0.145\)	\(0.145 = \frac{{145}}{{1000}}\)	\(0.145 = \frac{{29}}{{200}}\)	\(145 \div 5 = 29\) \(1,000 \div 5 = 200\)

เศษส่วนที่เท่ากัน: การแสดงเป็นเปอร์เซ็นต์

ตารางด้านล่างแสดงตัวเลขทศนิยมต่างๆ และเศษส่วนเทียบเท่าที่แทนค่าเหล่านั้น

เลขฐานสิบ	เศษส่วน	เศษส่วนที่เท่ากัน	การดำเนินงาน
20%	\(\frac{{20}}{{100}}\)	\(\frac{1}{5}\)	\(20 \div 20 = 1\) \(100 \div 20 = 5\)
150%	\(\frac{{150}}{{100}}\)	\(\frac{3}{2}\)	\(150 \div 50 = 3\) \(100 \div 50 = 2\)
55%	\(\frac{{55}}{{100}}\)	\(\frac{{11}}{{20}}\)	\(55 \div 11 = 5\) \(100 \div 5 = 20\)

เศษส่วนที่เท่ากัน: จากต่างชนิดกันเป็นเนื้อเดียวกัน

จากเศษส่วนต่างกันสองตัว \(\frac{a}{b}\) และ \(\frac{c}{d}\) เราสามารถหาเศษส่วนได้สองส่วน เป็นเนื้อเดียวกันในลักษณะที่เศษส่วนหนึ่งเท่ากับเศษส่วน \(\frac{a}{b}\;\) และอีกส่วนเท่ากับ \(\frac{c}{d}\).

ต่อไป เราจะแสดงสองขั้นตอนในการดำเนินการตามที่กล่าวไว้ในย่อหน้าก่อนหน้า

ลองสังเกต:

\(\frac{a}{b} = \frac{{a\left( d \right)}}{{b\left( d \right)}}\)

\(\frac{c}{d} = {\rm{\;}}\frac{{c\left( b \right)}}{{d\left( b \right)}}\)

ตารางต่อไปนี้แสดงตัวอย่างบางส่วน

ฉ. ต่างกัน	การดำเนินงาน	ฉ. เป็นเนื้อเดียวกัน
\(\frac{4}{5}\), \(\frac{2}{3}\)	\(\frac{{4\left( 3 \right)}}{{5\left( 3 \right)}} = \frac{{12}}{{15}}\) \(\frac{{2\left( 5 \right)}}{{3\left( 5 \right)}} = \frac{{10}}{{15}}\)	\(\frac{{12}}{{15}}\), \(\frac{{10}}{{15}}\)
\(\frac{7}{{12}}\), \(\frac{4}{{18}}\)	\(\frac{{7\left( {18} \right)}}{{12\left( {18} \right)}} = \frac{{126}}{{216}}\) \(\frac{{4\left( {12} \right)}}{{18\left( {12} \right)}} = \frac{{48}}{{216}}\)	\(\frac{{126}}{{216}},\) \(\frac{{48}}{{216}}\)
\(\frac{7}{{10}}\), \(\frac{3}{{14}}\), \(\frac{5}{4}\)	\(\frac{{7\left( {14} \right)\left( 4 \right)}}{{10\left( {14} \right) 4}} = \frac{{392}}{{ 560}}\) \(\frac{{3\left( {10} \right)\left( 4 \right)}}{{14\left( {10} \right)\left( 4 \right)}} = \frac{ {120}}{{560}}\) \(\frac{{5\left( {10} \right)\left( {14} \right)}}{{4\left( {10} \right)\left( {14} \right)}} = \frac{{700}}{{560}}\)	\(\frac{{392}}{{560}}\), \(\frac{{120}}{{560}},\) \(\frac{{700}}{{560}}\)

ข้อเสียของวิธีนี้คือสามารถผลิตได้จำนวนมากในกระบวนการ ในหลายกรณี คุณสามารถหลีกเลี่ยงได้ หากคำนวณตัวหารร่วมน้อยของตัวส่วน และวิธีที่สองขึ้นอยู่กับการคำนวณตัวคูณร่วมน้อย

ตัวคูณร่วมน้อยในการคำนวณเศษส่วน

ต่อไป ผ่านสองตัวอย่าง วิธีหาเศษส่วนที่เป็นเนื้อเดียวกันโดยใช้ตัวคูณร่วมน้อยของตัวส่วน ซึ่งจะเป็นตัวส่วนร่วมของเศษส่วนที่เกี่ยวข้อง

พิจารณาเศษส่วน: \(\frac{7}{{12}}\), \(\frac{4}{{18}}.\)

ตัวคูณร่วมน้อยของ \(12\) และ \(18\) คือ \(36\); ตอนนี้

\(36 \div 12 = 3\)

\(36 \div 18 = 2\)

\(\frac{7}{{12}} = \frac{{7\left( 3 \right)}}{{12\left( 3 \right)}} = \frac{{21}}{{36 }},\)

\(\frac{4}{{18}} = \frac{{4\left( 2 \right)}}{{18\left( 2 \right)}} = \frac{8}{{36}} \)

พิจารณาเศษส่วน: \(\frac{7}{{10}}\), \(\frac{3}{{14}}\), \(\frac{5}{4}\)

ตัวคูณร่วมน้อยของ \(10\), \(14\) และ \(3\) คือ \(140\); ตอนนี้

\(140 \div 10 = 14\)

\(140 \div 14 = 10\)

\(140 \div 4 = 35\)

\(\frac{7}{{10}} = \frac{{7\left( {14} \right)}}{{10\left( {14} \right)}} = \frac{{98} {{140}},\)

\(\frac{3}{{14}} = \frac{{3\left( {10} \right)}}{{14\left( {10} \right)}} = \frac{{30} {{140}}\)

\(\frac{5}{4} = \frac{{5\left( {35} \right)}}{{4\left( {35} \right)}} = \frac{{175}}{ {140}}\)

จากตัวเลขก่อนหน้านี้ เราสังเกตเห็นข้อเท็จจริงต่อไปนี้:

\(\frac{1}{4} = \frac{3}{{12}}\)

นี่คือตัวอย่างอื่นๆ

ฉ. ต่างกัน	นาที ตัวส่วนร่วม	การดำเนินงาน	ฉ. เป็นเนื้อเดียวกัน
\(\frac{1}{{14}}\) \(\frac{1}{{18}}\)	126	\(126 \div 14 = 9\) \(\frac{1}{{14}} = \frac{{1\left( 9 \right)}}{{14\left( 9 \right)}} = \frac{9}{{126}} \) \(126 \div 18 = 7\) \(\frac{1}{{18}} = \frac{{1\left( 7 \right)}}{{18\left( 7 \right)}} = \frac{7}{{126}} \)	\(\frac{9}{{126}}\), \(\frac{7}{{126}}\)
\(\frac{5}{6}\) \(\frac{2}{{15}},\) \(\frac{4}{9}\)	90	\(90 \div 6 = 15\) \(\frac{5}{6} = \frac{{5\left( {15} \right)}}{{6\left( {15} \right)}} = \frac{{75}}{ {90}}\) \(90 \div 15 = 6\) \(\frac{2}{{15}} = \frac{{2\left( {15} \right)}}{{15\left( 6 \right)}} = \frac{{30}}{ {90}}\) \(90 \div 9 = 10\) \(\frac{4}{9} = \frac{{4\left( {10} \right)}}{{9\left( {10} \right)}} = \frac{{40}}{ {90}}\)	\(\frac{{75}}{{90}}\), \(\frac{{30}}{{90}}\), \(\frac{{40}}{{90}}\)