ความหมายของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ลำดับของตัวเลข \({a_1},\;{a_2},{a_3}, \ldots \) ​​เรียกว่า ความก้าวหน้าทางเลขคณิต ถ้าผลต่างระหว่างตัวเลขสองจำนวนติดต่อกันเท่ากับจำนวนเดียวกัน \(d\) นั่นคือใช่:

\({a_{n + 1}} - {a_n} = d\)

จำนวน \(d\) เรียกว่า ผลต่างของความก้าวหน้าทางเลขคณิต

องค์ประกอบ \({a_1}\) เรียกว่าองค์ประกอบแรกของลำดับเลขคณิต

องค์ประกอบของความก้าวหน้าทางเลขคณิตสามารถแสดงในรูปขององค์ประกอบที่หนึ่งและความแตกต่างของมัน นั่นคือ:

\({a_1},{a_1} + d,{a_1} + 2d,{a_1} + 3d\)

เป็นสี่องค์ประกอบแรกของความก้าวหน้าทางเลขคณิต โดยทั่วไป องค์ประกอบ \(k – \)th จะแสดงดังนี้:

\({a_k} = {a_1} + \left( {k – 1} \right) d\)

จากนิพจน์ด้านบนเราได้รับ:

\({a_k} – {a_l} = {a_1} + \left( {k – 1} \right) d – \left( {{a_1} + \left( {l – 1} \right) d} \right )\)

\({a_k} – {a_l} = \left( {k – l} \right) d\)

นิพจน์ข้างต้นเทียบเท่ากับ:

\({a_k} = {a_l} + \left( {k – l} \right) d\)

ตัวอย่างที่ใช้สำหรับความก้าวหน้าทางเลขคณิต

1. ค้นหาผลต่างของความก้าวหน้าทางเลขคณิต: \(3,8,13,18, \ldots \) ​​และค้นหาองค์ประกอบ \({a_{20}},\;{a_{99}}\)

สารละลาย

เนื่องจาก \(5 = 8 – 3 = 13 – 8 = 18 – 3\) เราสามารถสรุปได้ว่าความแตกต่างคือ:

\(d = 5\)

\({a_{20}} = {a_1} + \left( {20 – 1} \right) d = 3 + 19\left( 5 \right) = 98\)

\({a_{99}} = {a_1} + \left( {99 – 1} \right) d = 3 + 98\left( 5 \right) = 493\)

2. ในความก้าวหน้าทางเลขคณิต เรามี: \({a_{17}} = 20\;\)และ \({a_{29}} = – 130\) กำหนดความแตกต่างของความก้าวหน้าทางเลขคณิตและเขียนองค์ประกอบ 5 ตัวแรก

สารละลาย

น่าเหนื่อยหน่าย

\({a_k} – {a_l} = \left( {k – l} \right) d\)

\({a_{29}} – {a_{17}} = \left( {29 – 17} \right) d\)

\( – 130 – 20 = \left( {12} \right) d\)

\( – 150 = \left( {12} \right) d\)

\(12d = – 150\)

\(d = – \frac{{150}}{{12}} = – \frac{{25}}{2}\)

เพื่อหา 5 องค์ประกอบแรก; เราจะคำนวณ \({a_1}\):

\({a_k} = {a_1} + \left( {k – 1} \right) d\)

\({a_{17}} = {a_1} + \left( {17 – 1} \right)\left( { – \frac{{25}}{2}} \right)\)

\(20 = {a_1} + \left( {16} \right)\left( { – \frac{{25}}{2}} \right)\)

\(20 = {a_1} – 200\)

\({a_1} = 20 + 200 = 220\)

5 องค์ประกอบแรกคือ:

\(220,220 + \left( { – \frac{{25}}{2}} \right),220 + 2\left( { – \frac{{25}}{2}} \right),220 + 3 \left( { – \frac{{25}}{2}} \right),220 + 4\left( { – \frac{{25}}{2}} \right)\)

\(220,\frac{{415}}{2},195,\frac{{365}}{2},170\)

ตัวเลขหลายเหลี่ยมและผลรวมขององค์ประกอบ \(n\) ตัวแรกของการก้าวหน้าทางเลขคณิต

ตัวเลขสามเหลี่ยม

ตัวเลขสามเหลี่ยม \({T_n}\;\) เกิดจากความก้าวหน้าทางเลขคณิต: \(1,2,3,4 \ldots \); ด้วยวิธีการต่อไปนี้

\({T_1} = 1\)

\({T_2} = 1 + 2 = 3\)

\({T_3} = 1 + 2 + 3 = 6\)

\({T_4} = 1 + 2 + 3 + 4 = 10\)

ตัวเลขสี่เหลี่ยม

เลขยกกำลังสอง \({C_n}\;\) เกิดจากความก้าวหน้าทางเลขคณิต: \(1,3,5,7 \ldots \); ดังนี้

\({C_1} = 1\)

\({C_2} = 1 + 3 = 4\)

\({C_3} = 1 + 3 + 5 = 9\)

\(C{\;_4} = 1 + 3 + 5 + 7 = 16\)

ตัวเลขห้าเหลี่ยม

เลขกำลังสอง \({P_n}\;\) เกิดจากความก้าวหน้าทางเลขคณิต: \(1,3,5,7 \ldots \); ดังนี้

\({P_1} = 1\)

\({P_2} = 1 + 4 = 5\)

\({P_3} = 1 + 4 + 7 = 12\)

\({P_4} = 1 + 4 + 7 + 10 = 22\)

ต่อไป เราจะแสดงสูตรเพื่อหาผลรวมขององค์ประกอบ \(n\) ตัวแรกของความก้าวหน้าทางเลขคณิต

กำหนดความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ \({a_1},{a_2} = {a_1} + d,{a_3} + 2d, \ldots .,{a_n} = {a_1} + \left( {n – 1} \right) ง\). ในการคำนวณผลรวม \({S_n} = {a_1} + {a_2} + {a_3} + \ldots + {a_n};\) คุณสามารถใช้สูตร:

\({S_n} = \frac{{n\left( {{a_1} + {a_n}} \right)}}{2}\)

ซึ่งเทียบเท่ากับ

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{a_1} + \left( {n – 1} \right) d} \right)}}{2}\)

เมื่อใช้สูตรก่อนหน้านี้ จะได้สูตรสำหรับคำนวณตัวเลขสามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม และห้าเหลี่ยม ซึ่งแสดงไว้ในตารางต่อไปนี้

จำนวนหลายเหลี่ยม	\({a_1}\)	\(ง\)	สูตร
รูปสามเหลี่ยม \(n – \)th	1	1	\({T_n} = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\)
สแควร์ \(n – \)th	1	2	\({C_n} = {n^2}\)
ห้าเหลี่ยม \(n – \)th	1	3	\({P_n} = \frac{{n\left( {3n – 1} \right)}}{2}\)

ตัวอย่างตัวเลขหลายเหลี่ยม

3. จากตัวอย่างที่ 2 คำนวณ \({S_{33}}\)

สารละลาย

ในกรณีนี้ \({a_1} = 200\) และ \(d = – \frac{{25}}{2}\)

การสมัคร

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{a_1} + \left( {n – 1} \right) d} \right)}}{2}\)

\({S_{33}} = \frac{{34\left( {2\left( {200} \right) + \left( {33 – 1} \right)\left( { – \frac{{25 }}{2}} \right)} \right)}}{2}\)

\({S_{33}} = 17\left( {400 + 16\left( { – 25} \right)} \right) = 17\left( 0 \right) = 0\)

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต

ให้ตัวเลขสองตัว \(a\;\) และ \(b,\) ตัวเลข \({a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}}\) เรียกว่า \(k\) หมายถึง เลขคณิต \(a\;\) และ \(b\); ถ้าลำดับ \(a,{a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}},b\) เป็นความก้าวหน้าทางเลขคณิต

หากต้องการทราบค่าของค่าเฉลี่ยเลขคณิต \(k\) ของตัวเลข \(a\;\) และ \(b\) ก็เพียงพอที่จะทราบความแตกต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ สำหรับสิ่งนี้จะต้องมีสิ่งต่อไปนี้ ที่พิจารณา:

\(a = {a_1},{a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}},{a_{k + 2}} = b,\)

จากข้างต้นเราสร้างความสัมพันธ์:

\(b = a + \left( {k + 2 – 1} \right) d\)

การแก้หา \(d\) เราได้:

\(d = \frac{{b – a}}{{k + 1}}\)

ตัวอย่าง

4. ค้นหา 7 ค่าเฉลี่ยเลขคณิตระหว่างตัวเลข -5 และ 25

สารละลาย

เมื่อสมัคร

\(d = \frac{{b – a}}{{k + 1}}\)

ด้วย \(b = 25,\;a = – 5\) และ \(k = 7\;\):

\(d = \frac{{25 – \left( { – 5} \right)}}{{7 + 1}} = \frac{{30}}{8} = \frac{{15}}{4 }\)

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต 7 วิธีคือ:

\( – \frac{5}{4},\;\frac{5}{2},\;\frac{{25}}{4},10,\frac{{55}}{4},\ แฟรค{{35}}{2},\frac{{85}}{4}\)

9. คนหนึ่งให้เงินดาวน์ 2,000 ดอลลาร์เพื่อซื้อตู้เย็นและจ่ายส่วนที่เหลือด้วยบัตรเครดิตเป็นเวลา 18 เดือนโดยไม่มีดอกเบี้ย เขาต้องจ่ายเงิน 550 ดอลลาร์ต่อเดือนเพื่อชำระหนี้ ซึ่งเขาได้มาเพื่อจ่ายค่าตู้เย็น

ถึง. ตู้เย็นราคาเท่าไหร่คะ?

ข. หากคุณชำระส่วนที่เหลือเกิน 12 เดือนโดยไม่มีดอกเบี้ย จะต้องชำระเดือนละเท่าไร?

สารละลาย

ถึง. ในกรณีนี้:

\({a_{19}} = 2000 + 18\left( {550} \right)\)

\({a_{19}} = 2000 + 9900 = 11900\)

ข. ระหว่างตัวเลข 2000 ถึง 11900 เราต้องหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต 11 ค่าซึ่ง:

\(d = \frac{{11900 – 2000}}{{12}} = 825\)

5. กำหนดลำดับ \(7,\;22,\;45,\;76,115,162\) ค้นหาองค์ประกอบ 3 รายการต่อไปนี้และนิพจน์ทั่วไปขององค์ประกอบ \(n\)

สารละลาย

ลำดับที่เป็นปัญหาไม่ใช่ความก้าวหน้าทางเลขคณิต เนื่องจาก \(22 – 7 \ne 45 – 22\) แต่เราสามารถสร้าง ลำดับที่มีความแตกต่างของสององค์ประกอบที่ต่อเนื่องกันและตารางต่อไปนี้แสดง ผลลัพธ์:

องค์ประกอบของลำดับ \({b_n}\)	ลำดับ \(\;{c_n} = {b_n} – {b_{n – 1}}\)	\(d = {c_{n + 1}} – {c_n}\)
\({b_1} = 7\)	\({c_1} = {b_1}\)
\({b_2} = 22\)	\({c_2} = {b_2} – {b_1} = 15\)	\({c_2} – {c_1} = 8\)
\({b_3} = 45\)	\({c_3} = {b_3} – {b_2} = \)23	\({c_3} – {c_2} = 8\)
\({b_4} = 76\)	\({c_4} = {b_4} – {b_3} = 31\)	\({c_4} – {c_3} = 8\)
\({b_5} = 115\)	\({c_5} = {b_5} – {b_4} = 39\)	\({c_5} – {c_4} = 8\)
\({b_6} = 162\)	\({c_6} = {b_6} – {b_5} = 47\)	\({c_6} – {c_5} = 8\)

คอลัมน์ที่สามของตารางด้านบนบอกเราว่าลำดับ \(15,\;23,31,39,\;47, \ldots .\); เป็นลำดับเลขคณิตที่มีความแตกต่าง \(d = 8\)

ต่อไป เราจะเขียนองค์ประกอบของลำดับ \({b_n}\) ในรูปของลำดับ \({c_n},\)

\({b_1} = {c_1}\)

\({b_2} = {c_1} + {c_2}\)

\({b_3} = {b_2} + {c_3} = {c_1} + {c_2} + {c_3}\)

\({b_4} = {b_3} + {c_4} = {c_1} + {c_2} + {c_3} + {c_4}\)

โดยทั่วไปคุณมี:

\({b_n} = {c_1} + {c_2} + {c_3} + \ldots + {c_n}\;\)

เมื่อสมัคร

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{c_1} + \left( {n – 1} \right) d} \right)}}{2}\)

ด้วย \({c_1} = 7\) และ \(d = 8,\) เราได้:

\({b_n} = \frac{{n\left( {14 + \left( {n – 1} \right) 8} \right)}}{2}\)

\({b_n} = n\left( {7 + 4\left( {n – 1} \right)} \right)\)

\({b_n} = n\left( {4n + 3} \right)\)

โดยใช้สูตรก่อนหน้า: \({b_7} = 217,\;{b_8} = 280,\;{b_9} = 351\)