ทฤษฎีบทของธาเลสกำหนดไว้อย่างไร?

จากทฤษฎีบทของธาเลส กำหนดให้เส้นขนานหลายเส้น เส้น \(T\) ถูกกล่าวว่าเป็นเส้นขวางกับเส้นขนาน ถ้ามันตัดเส้นขนานแต่ละเส้น

ในรูปที่ 1 เส้น \({T_1}\) และ \({T_2}\) เป็นเส้นขวางกับเส้นคู่ขนาน \({L_1}\) และ \({L_2}.\)

ทฤษฎีบทของทาเลส (เวอร์ชั่นอ่อน)
หากแนวขนานหลายเส้นกำหนดส่วนที่สอดคล้องกัน (ซึ่งวัดเหมือนกัน) ในเส้นขวางเส้นใดเส้นหนึ่งจากสองเส้น ก็จะกำหนดส่วนที่สอดคล้องกันในเส้นขวางอื่นๆ ด้วย

ในรูปที่ 2 เส้นสีดำขนานกัน และคุณต้อง:
\({A_1}{A_2} = {A_2}{A_3} = {A_3}{A_4}.\)
เราสามารถรับประกันได้ดังต่อไปนี้:
\({B_1}{B_2} = {B_2}{B_3} = {B_3}{B_4}.\)

ว่ากันว่า Thales of Miletus ผู้ชาญฉลาดวัดความสูงของปิรามิด Cheops ด้วยเหตุนี้เขาจึงใช้เงาและการใช้คุณสมบัติความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยม ทฤษฎีบทของทาเลสเป็นพื้นฐานสำหรับการพัฒนาแนวคิดเรื่องความเหมือนของรูปสามเหลี่ยม

อัตราส่วนและคุณสมบัติของสัดส่วน

อัตราส่วนหนึ่งคือผลหารของตัวเลขสองตัว โดยมีตัวหารอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์ กล่าวคือ:

\(\frac{a}{b}\;{\rm{กับ\;}}b \ne 0\)

สัดส่วนคือความเท่าเทียมกันของสองอัตราส่วน นั่นคือ:

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k,\)

\(k\) เรียกอีกอย่างว่าค่าคงที่ของสัดส่วน

คุณสมบัติของสัดส่วน

ถ้า \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k\) ดังนั้นสำหรับ \(m \ne 0:\;\)

\(\frac{{ma}}{{mb}} = \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k\)

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{{a + c}}{{b + d}} = \frac{{a – c}}{{b – d}} = k\)

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{f}{g} = \frac{{a + c + f}}{{b + d + g}} = กิโล\)

\(\frac{{a \pm b}}{b} = \frac{{c \pm d}}{d}\)

ตัวอย่าง

\(\frac{9}{{24}} = \frac{{15}}{{40}} = \frac{{9 + 15}}{{24 + 40}} = \frac{{24}} {{64}}\)

\(\frac{9}{{24}} = \frac{{15}}{{40}} = \frac{{15 – 9}}{{40 – 24}} = \frac{6}{{ 16}}\)

\(\frac{{9 + 24}}{{24}} = \frac{{15 + 40}}{{40}}\)\(\frac{{33}}{{24}} = \frac {{55}}{{40}}\)

คู่ของส่วน \(\overline {AB} \) และ \(\overline {CD} \) ถูกกล่าวว่าเป็นสัดส่วนกับส่วน \(\overline {EF} \) และ \(\overline {GH} \) หากครบตามสัดส่วน:

\(\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{{EF}}{{GH}}\)

โดยที่ \(AB\;\) หมายถึงความยาวของส่วน \(\overline {AB} .\)

ทฤษฎีบทของธาเลส

ย้อนกลับไปที่คำนิยาม เส้นขนานหลายเส้นกำหนดส่วนที่สอดคล้องกันตามสัดส่วนในเส้นขวาง

ในรูปที่ 3 เส้นตรงขนานกัน และเราสามารถตรวจสอบได้ว่า:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\ (\frac{{{A_2}{A_3}}}{{{A_3}{A_4}}} = \frac{{{B_2}{B_3}}}{{{B_3}{B_4}}}\)\( \frac{{{A_2}{A_4}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_2}{B_4}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_3}{A_4}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_3}{B_4}}}\)\(\frac{{{A_1}{A_3}}}{{{A_1}{A_2}}} = \frac{{{B_1}{B_3}}}{{{B_1}{B_2}}}\)

โปรดทราบว่าสองสัดส่วนแรกก่อนหน้านี้เทียบเท่ากับสัดส่วนต่อไปนี้:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\ (\frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}}\)จากด้านบน เราได้รับ:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac {{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3} + {A_3}{A_4}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3} + {B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_4}}}{{{B_1}{B_4}}}\)

หลายครั้งจะเป็นการดีกว่าที่จะทำงานกับสัดส่วนก่อนหน้า และในกรณีนี้:

\(\frac{{{A_i}{A_j}}}{{{B_i}{B_j}}} = k\)

สนทนาทฤษฎีบทของธาเลส

หากเส้นหลายเส้นกำหนดส่วนที่สอดคล้องกันตามสัดส่วนในเส้นขวาง เส้นนั้นจะขนานกัน

หากเป็นไปตามรูปที่ 4 ถือว่าสำเร็จ

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}}\)

จากนั้นเรายืนยันได้ว่า: \({L_1}\ขนาน {L_2}\ขนาน {L_3}.\)

สัญลักษณ์ \({L_1}\ขนาน {L_2}\), อ่าน \({L_1}\) ขนานกับ \({L_2}\)

จากสัดส่วนก่อนหน้าที่เราได้รับ:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac {{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_1}{A_3}}}{{{ B_1}{B_3}}}\)

การแบ่งส่วนออกเป็นหลายส่วนที่มีความยาวเท่ากัน

จากตัวอย่างที่เป็นรูปธรรม เราจะแสดงวิธีแบ่งส่วนออกเป็นส่วนๆ ที่มีความยาวเท่ากัน

แบ่งส่วน \(\overline {AB} \) ออกเป็น 7 ส่วนที่มีความยาวเท่ากัน

สถานการณ์เริ่มต้น

วาดเส้นเสริมที่ผ่านปลายด้านหนึ่งของส่วน

ด้วยการสนับสนุนของเข็มทิศ 7 ส่วนที่มีความยาวเท่ากันจะถูกวาดบนเส้นเสริม

วาดเส้นที่เชื่อมปลายของส่วนสุดท้ายที่วาดและปลายอีกด้านหนึ่งของส่วนที่จะแบ่ง

พวกเขาวาดขนานกับเส้นสุดท้ายที่เพิ่งลากผ่านจุดที่ส่วนโค้งของเส้นรอบวงตัดกับเส้นเสริม

กำหนดส่วน \(\overline {AB} \) จุด \(P\) ของส่วนนั้นแบ่งส่วน \(\overline {AB} \) ในอัตราส่วน \(\frac{{AP} } {{PB}}.\)

การแบ่งส่วนในอัตราส่วนที่กำหนด

กำหนดส่วน \(\overline {AB} \) และจำนวนเต็มบวกสองจำนวน \(a, b\); จุด \(P\) ที่แบ่งส่วนในอัตราส่วน \(\frac{a}{b};\;\) จะพบได้ดังนี้:

1. แบ่งส่วน \(\overline {AB} \) ออกเป็นส่วน \(a + b\) ที่มีความยาวเท่ากัน
2. ใช้ \(a\) ส่วนนับจากจุด \(A\)

ตัวอย่าง

การหารส่วน \(\overline {AB} \) ในอัตราส่วน \(\frac{a}{b}\)

เหตุผล	จำนวนส่วนที่แบ่งส่วน	ตำแหน่งของจุด \(P\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{4}{3}\)	\(4 + 3 = 7\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = 6 = \frac{6}{1}\)	\(6 + 1 = 7\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{2}{3}\)	\(2 + 3 = 5\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{3}{2}\)	\(3 + 2 = 5\)

ตัวอย่างประยุกต์ของทฤษฎีบทของธาเลส

ใบสมัคร 1: พื้นที่สามแปลงขยายจากถนน Sol ถึงถนน Luna ดังแสดงในรูปที่ 5

ขอบเขตด้านข้างเป็นส่วนที่ตั้งฉากกับ Luna Street หากพื้นที่ด้านหน้าทั้งหมดของที่ดินบนถนน Sol วัดได้ 120 เมตร ให้กำหนดพื้นที่ด้านหน้าของแต่ละที่ดินบนถนนดังกล่าว หากเป็นที่ทราบ:

\({A_1}{A_2} = 10{\rm{m}},\;{A_2}{A_3} = 40{\rm{m}},\;{A_3}{A_4} = 20{\rm{ m}},\;{A_4}{A_5} = 30{\rm{m}}.\)

คำชี้แจงปัญหา

เนื่องจากเส้นตั้งฉากกับ Luna Street ดังนั้นเส้นทั้งสองจึงขนานกัน โดยใช้ทฤษฎีบทของ Thales เราสามารถยืนยันได้ว่า:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}},\; \;\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_1}{A_4}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_1}{B_4}}}\;,\;\;\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_1}{A_5}} } = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_1}{B_5}}}\)จากด้านบน เราสามารถสรุปได้:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_1}{A_4}}}{{{B_1}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_5}}}{{{B_1}{B_5}}}\;\)

เราสามารถสรุปได้ในทำนองเดียวกัน:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_4}{A_5}}}{{{B_4}{B_5}}}\)

สารละลาย

ในการกำหนดค่าคงที่ของสัดส่วน \(k,\) เราจะใช้คุณสมบัติของสัดส่วน:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_4}{A_5}}}{{{B_4}{B_5}}} = \frac{{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3} + {A_3}{A_4} + {A_4}{A_5}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3} + { B_3}{B_4} + {B_4}{B_5}}} = \frac{{{A_1}{A_5}}}{{{B_1}{B_5}}} = \frac{{100}}{{120}} = \frac{5}{6}\)

จากด้านบนเราได้รับ:
\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{5}{6}\)\(\frac{{{B_1}{B_2}}}{ {{A_1}{A_2}}} = \frac{6}{5}\)\({B_1}{B_2} = \frac{6}{5}{A_1}{A_2} = \frac{6}{ 5}\left( {10} \right) = 12.\)

คล้ายคลึงกัน:

\({B_2}{B_3} = \frac{6}{5}{A_2}{A_3} = \frac{6}{5}\left( {40} \right) = 48\)\({B_3} {B_4} = \frac{6}{5}{A_3}{A_4} = \frac{6}{5}\left( {20} \right) = 24\)\({B_4}{B_5} = \frac{6}{5}{A_4}{A_5} = \frac{6 }{5}\left( {30} \right) = 36\)

คำตอบ

ส่วนงาน	\({B_1}{B_2}\)	\({B_2}{B_3}\)	\({B_3}{B_4}\)	\({B_4}{B_5}\)
ความยาว	12 ม	48 ม	24 ม	36 ม

ใบสมัคร 2: นักออกแบบกราฟิกได้ออกแบบชั้นวางของเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานและจะวางชั้นวางได้ 3 ชั้นดังรูป รูปที่ 6 จุด E และ F เป็นจุดกึ่งกลางของด้าน \(\overline {AD} \) และ \(\overline {BC} ,\) ตามลำดับ คุณต้องทำการตัดชั้นวางเพื่อให้ประกอบได้ ควรตัดส่วนใดของชั้นวาง?

คำชี้แจงของปัญหา: เนื่องจากเงื่อนไขที่กำหนดในปัญหา ต่อไปนี้เป็นจริง:

\(ED = EA = CF = BF\)

ในฐานะที่เป็นโครงสร้างเสริม เราจะขยายด้าน \(\overline {CB} \) และ \(\overline {DA} \) เส้นลากผ่านจุด A ถึง \(A\) และขนานกับด้าน \(\overline {EB} \) และผ่านจุด \(C\;\) เส้นจะขนานกับด้าน \(\overline {ดีเอฟ} \).

เราจะใช้ทฤษฎีบทสนทนาของธาเลสเพื่อแสดงว่าส่วน \(\overline {EB} \) และ \(\overline {DF} \) ขนานกันเพื่อใช้ทฤษฎีบทของ Thales

สารละลาย

จากการสร้างรูปสี่เหลี่ยม \(EAIB\) เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน ดังนั้นเราจึงมี EA=BI นั้น เนื่องจากพวกมันเป็นด้านตรงข้ามของสี่เหลี่ยมด้านขนาน ตอนนี้:

\(\frac{{DE}}{{EA}} = \frac{{BF}}{{BI}} = 1\)

การใช้ส่วนกลับซึ่งกันและกันของทฤษฎีบทของ Thales เราสามารถสรุปได้:

\(\overline {AI} \parallel \overline {EB} \parallel \overline {DF} \parallel \overline {JC} \)

นำส่วน \(\overline {AI} \parallel \overline {EB} \parallel \overline {DF} \parallel \overline {JC} \) และส่วน BC และ CI เป็นแนวขวาง เช่น:

\(FC = BF = BI\)\(CH = HG = GA\)

ใช้ \(\overline {AD} \parallel \overline {BC} \) และส่วน \(\overline {AC} \) และ \(\overline {EB} \) เป็นเส้นขวาง เราจะได้:

\(\frac{{EG}}{{GB}} = \frac{{AG}}{{GC}} = \frac{{AG}}{{CH + HG}} = \frac{{AG}} {{2\left( {AG} \right)}} = \frac{1}{2}\)

ในทำนองเดียวกัน แสดงให้เห็นว่า:

\(\frac{{DH}}{{HF}} = 2\)

คำตอบ

การตัดเส้นทแยงมุม \(\overline {AC} \) จะต้องทำที่จุด \(G\;\) และ \(H\) เพื่อให้:

\(\frac{{AG}}{{AC}} = \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{1}{3}\)

เช่นเดียวกับชั้นวาง \(\overline {EB} \) และ \(\overline {DF} \)