ความหมายของการหาเหตุผลเข้าข้างตนเองของรากศัพท์ (คณิตศาสตร์)

การหาเหตุผลเข้าข้างตนเองของอนุมูลเป็นกระบวนการทางคณิตศาสตร์ที่ดำเนินการเมื่อมีผลหารที่มีรากหรือรากในตัวส่วน ด้วยวิธีนี้ การดำเนินการทางคณิตศาสตร์สามารถอำนวยความสะดวกในกรณีที่ผลหารที่มีอนุมูลและวัตถุทางคณิตศาสตร์ประเภทอื่นๆ เกี่ยวข้อง

ประเภทของผลหารด้วยอนุมูล

สิ่งสำคัญคือต้องกล่าวถึงผลหารบางประเภทด้วยอนุมูลที่สามารถหาเหตุผลเข้าข้างตนเองได้ อย่างไรก็ตาม ก่อนที่จะเข้าสู่กระบวนการเพรียวลมอย่างสมบูรณ์ จำเป็นต้องจดจำแนวคิดสำคัญสองสามข้อ ก่อนอื่น สมมติว่าเรามีนิพจน์ต่อไปนี้: \(\sqrt[m]{n}\) นี่คือรากของ \(m\) ของตัวเลข \(n\) นั่นคือ ผลลัพธ์ของการดำเนินการดังกล่าวคือตัวเลขที่ยกกำลัง \(m\) จะทำให้เราได้ตัวเลข \(n\) เป็นผลให้ ). เลขยกกำลังและรูทเป็นการดำเนินการผกผันในลักษณะที่: \(\sqrt[m]{{{n^m}}} = n\)
ในทางกลับกัน เป็นมูลค่าการกล่าวขวัญว่าผลคูณของรากที่เท่ากันสองตัวจะเท่ากับรากของผลคูณ กล่าวคือ \(\sqrt[m]{n}\sqrt[m]{p} = \sqrt[m ]{{np}}\) คุณสมบัติทั้งสองนี้จะเป็นพันธมิตรที่ดีที่สุดของเราเมื่อหาเหตุผลเข้าข้างตนเอง

ประเภททั่วไปและง่ายที่สุดของผลหารที่มีรากที่เราพบมีดังต่อไปนี้:

\(\frac{a}{{b\sqrt c }}\)

โดยที่ \(a\), \(b\) และ \(c\) สามารถเป็นจำนวนจริงใดๆ ก็ได้ กระบวนการหาเหตุผลเข้าข้างตนเองในกรณีนี้ประกอบด้วยการหาวิธีที่จะได้รับนิพจน์ \(\sqrt {{c^2}} = c\) ในผลหารเพื่อกำจัดรากศัพท์ ในกรณีนี้ แค่คูณด้วย \(\sqrt c \) ทั้งตัวเศษและตัวส่วนก็เพียงพอแล้ว:

\(\frac{a}{{b\sqrt c }} = \frac{a}{{b\sqrt c }}\frac{{\sqrt c }}{{\sqrt c }} = \frac{{ a\sqrt c }}{{b\sqrt c \sqrt c }}\)

เมื่อนึกถึงสิ่งที่กล่าวมาข้างต้น เรารู้ว่า \(\sqrt c \sqrt c = \sqrt {{c^2}} = c\) ดังนั้นเราจึงได้รับสิ่งนั้นในที่สุด:
\(\frac{a}{{b\sqrt c }} = \frac{a}{{bc}}\sqrt c \)

ด้วยวิธีนี้ เราได้หาเหตุผลเข้าข้างตนเองจากนิพจน์ก่อนหน้า นิพจน์นี้ไม่มีอะไรมากไปกว่ากรณีเฉพาะของนิพจน์ทั่วไปดังต่อไปนี้:

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}}\)

โดยที่ \(a\), \(b\), \(c\) เป็นจำนวนจริงใดๆ และ \(n\), \(m\) เป็นเลขยกกำลังบวก การหาเหตุผลเข้าข้างตนเองของนิพจน์นี้ใช้หลักการเดียวกันกับอันก่อนหน้า นั่นคือ รับนิพจน์ \(\sqrt[n]{{{c^n}}} = c\) ในตัวส่วน เราทำได้โดยการคูณด้วย \(\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}\) ทั้งตัวเศษและตัวส่วน:

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}} = \frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}} }\frac{{\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}{{\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}} = \frac{{a\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}}\)

เราสามารถพัฒนาผลคูณของอนุมูลในตัวส่วนได้ดังนี้ \(\sqrt[n]{{{c^m}}}\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}} = \sqrt[n]{{{c^m}{c^ {n – m}}}} = \sqrt[n]{{{c^{m + \left( {n – m} \right)}}}} = \sqrt[n]{{{c^n}}} = c\) ดังนั้นผลหารที่หาเหตุผลเข้าข้างตนเองยังคงเป็น:

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}} = \frac{a}{{bc}}\sqrt[n]{{{c^{n – ม}}}}\)

ผลหารประเภทอื่นที่มีอนุมูลที่สามารถหาเหตุผลเข้าข้างตนเองได้คือประเภทที่เรามีทวินามที่มีรากที่สองในตัวส่วน:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }}\)

โดยที่ \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) และ \(e\;\) เป็นจำนวนจริงใดๆ สัญลักษณ์ \( ± \) แสดงว่าเครื่องหมายสามารถเป็นบวกหรือลบได้ ตัวหารทวินามสามารถมีได้ทั้งรากหรือรากเดียว อย่างไรก็ตาม เราใช้กรณีนี้เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่กว้างกว่า แนวคิดหลักในการดำเนินกระบวนการหาเหตุผลเข้าข้างตนเองในกรณีนี้ก็เหมือนกับในกรณีก่อนหน้า เพียงแต่ว่า ในกรณีนี้ เราจะคูณทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยคอนจูเกตของทวินามที่พบใน ตัวส่วน คอนจูเกตของทวินามคือทวินามที่มีพจน์เหมือนกัน แต่มีสัญลักษณ์กลางตรงข้ามกับทวินามเดิม ตัวอย่างเช่น คอนจูเกตของทวินาม \(ux + vy\) คือ \(ux – vy\) ดังที่ได้กล่าวมาแล้วเรามี:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }}\frac{{b\sqrt c \ mp d\sqrt e }}{{b\sqrt c \mp d\sqrt อี }} = \frac{{a\left( {b\sqrt c \mp d\sqrt e } \right)}}{{\left( {b\sqrt c \pm d\sqrt e } \right)\left( {b \sqrt c \mp d\sqrt e } \right)}}\)

สัญลักษณ์ \( \mp \) ระบุว่าเครื่องหมายสามารถเป็นบวกหรือลบได้ แต่ต้องอยู่ตรงข้ามกับสัญลักษณ์ของตัวส่วนจึงจะผันทวินามได้ โดยพัฒนาการคูณทวินามของตัวส่วน เราได้:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{{a\left( {b\sqrt c \mp d\sqrt e } \right)}}{{{ b^2}\sqrt {{c^2}} + bd\sqrt {ce} – bd\sqrt {ce} – {d^2}\sqrt {{e^2}} }}\)

ในที่สุดเราก็ได้สิ่งนั้น:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{a}{{{b^2}c – {d^2}e}}\left( {b\ sqrt c \mp d\sqrt e } \right)\)

ด้วยวิธีนี้ เราได้หาเหตุผลเข้าข้างตนเองของผลหารด้วยราก ผลหารที่มีอนุมูลเหล่านี้คือผลหารที่สามารถหาเหตุผลเข้าข้างตนเองได้ ต่อไป เราจะเห็นตัวอย่างของการหาเหตุผลเข้าข้างตนเองของอนุมูล

ตัวอย่าง

ลองดูตัวอย่างของการหาเหตุผลเข้าข้างตนเองด้วยผลหารที่มีรากของประเภทที่กล่าวถึงข้างต้น ก่อนอื่น สมมติว่าเรามีผลหารต่อไปนี้:

\(\frac{3}{{7\sqrt 2 }}\)

ในกรณีนี้ แค่คูณตัวเศษและตัวส่วนด้วย \(\sqrt 2 \) ก็เพียงพอแล้ว

\(\frac{3}{{7\sqrt 2 }} = \frac{3}{{7\sqrt 2 }}\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = \frac{3 }{{7\sqrt 2 \sqrt 2 }}\sqrt 2 = \frac{3}{{7\sqrt 4 }}\sqrt 2 = \frac{3}{{14}}\sqrt 2 \)

ตอนนี้ สมมติว่าเรามีผลหารต่อไปนี้ด้วยเครื่องหมายกรณฑ์:

\(\frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}}}\)

ในกรณีนี้ เรามีรากที่หกของกำลังลูกบาศก์ ในส่วนก่อนหน้านี้เราได้กล่าวถึงว่าหากเรามีเครื่องหมายกรณฑ์ในรูปแบบ \(\sqrt[n]{{{c^m}}}\) ใน ตัวส่วน เราสามารถหาเหตุผลหารผลหารโดยการคูณตัวเศษและตัวส่วนด้วย \(\sqrt[n]{{{c^{n –m}}}}\) เมื่อเปรียบเทียบสิ่งนี้กับกรณีที่นำเสนอนี้ เราสามารถทราบได้ว่า \(n = 6\), \(c = 4\) และ \(m = 3\) ดังนั้น ดังนั้น เราสามารถหาเหตุผลเข้าข้างตนเองของผลหารก่อนหน้าได้โดยการคูณตัวเศษและตัวส่วนด้วย \(\sqrt[6]{{{4^3}}}\):

\(\frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}}} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}} }\frac{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}}{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}\sqrt[6]{{{4^3}}}}}\sqrt[6]{{{4^3} }} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^6}}}}}\sqrt[6]{{{4^3}}} = \frac{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}}{6}\)

สุดท้าย สมมติว่าเรามีฟังก์ชันต่อไปนี้:

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }}\)

ดังที่แสดงในส่วนที่แล้ว ในการหาเหตุผลเข้าข้างตนเองของผลหารประเภทนี้ด้วยเครื่องหมายกรณฑ์ คุณต้องคูณตัวเศษและตัวส่วนด้วยคอนจูเกตของตัวส่วน ในกรณีนี้คอนจูเกตของตัวส่วนจะเป็น \(x – \sqrt x \) ดังนั้นนิพจน์จะเป็นดังนี้:

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }}\frac{{x – \sqrt x }}{{x – \sqrt x }} = \frac{1}{{\left( {x + \sqrt x } \right)\left( {x – \sqrt x } \right)}}\left( {x – \sqrt x } \right)\)

พัฒนาการคูณของคอนจูเกตทวินามของตัวส่วน ในที่สุดเราก็ได้:

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }} = \frac{{x – \sqrt x }}{{{x^2} – x}}\)

อ้างอิง

Aguilar Arturo, Bravo Fabian, Gallegos Herman, Cerón Miguel และ Reyes Ricardo (2009). เลขคณิต. เม็กซิโก: การศึกษาของเพียร์สัน.