คำจำกัดความของแรงสู่ศูนย์กลาง

แรงสู่ศูนย์กลางคือแรงที่กระทำต่อวัตถุที่เคลื่อนที่ไปตามเส้นทางโค้ง ทิศทางของแรงนี้จะมุ่งหน้าสู่ศูนย์กลางของเส้นโค้งเสมอ และเป็นสิ่งที่ทำให้วัตถุอยู่บนเส้นทางนั้น เพื่อป้องกันไม่ให้วัตถุเคลื่อนที่ต่อไปเป็นเส้นตรง

การเคลื่อนที่แนวโค้งและแรงสู่ศูนย์กลาง

สมมติว่าเรามีวัตถุเคลื่อนที่ไปตามเส้นทางวงกลม เพื่ออธิบายการเคลื่อนที่ของส่วนโค้งของร่างกายนี้ จะใช้ตัวแปรเชิงมุมและเชิงเส้น ตัวแปรเชิงมุมคือตัวแปรที่อธิบายการเคลื่อนที่ของวัตถุในแง่ของมุมที่วัตถุ "กวาด" ไปตามเส้นทางของมัน ในทางกลับกัน ตัวแปรเชิงเส้นคือตัวแปรที่ใช้ ตำแหน่งเทียบกับจุดที่หมุนและความเร็วในทิศทางสัมผัสของ เส้นโค้ง

ความเร่งสู่ศูนย์กลาง \({a_c}\) ที่เกิดขึ้นจากวัตถุที่เคลื่อนที่ในวิถี วงกลมด้วยความเร็วแทนเจนต์ \(v\) และที่ระยะห่าง \(r\) จากจุดหมุนจะเป็น มอบให้โดย:

\({a_c} = \frac{{{v^2}}}{r}\)

ความเร่งสู่ศูนย์กลางเป็นตัวแปรเชิงเส้นที่ใช้อธิบายการเคลื่อนที่ของเส้นโค้งและมุ่งตรงไปยังจุดศูนย์กลางของเส้นทางโค้ง ในทางกลับกัน ความเร็วเชิงมุม ω ของวัตถุ ซึ่งก็คือ อัตราการเปลี่ยนแปลงของมุมกวาด (เป็นเรเดียน) ต่อหน่วยเวลา ให้ไว้โดย:

\(\โอเมก้า = \frac{v}{r}\)

หรือ เราสามารถแก้หา \(v\):

\(v = \โอเมก้า r\)

นี่คือความสัมพันธ์ที่มีอยู่ระหว่างความเร็วเชิงเส้นและความเร็วเชิงมุม หากเราแทนค่านี้เข้ากับนิพจน์ความเร่งสู่ศูนย์กลาง เราจะได้:

\({a_c} = {\โอเมก้า ^2}r\)

กฎข้อที่สองของนิวตันบอกเราว่าความเร่งของร่างกายเป็นสัดส่วนโดยตรงกับแรงที่กระทำต่อวัตถุ และเป็นสัดส่วนผกผันกับมวลของมัน หรือในรูปแบบที่รู้จักกันดีที่สุด:

\(F = แม่\)

โดยที่ \(F\) คือแรง \(m\) คือมวลของวัตถุ และ \(a\) คือความเร่ง ในกรณีของการเคลื่อนที่แนวโค้ง ถ้ามีความเร่งสู่ศูนย์กลางก็จะต้องมีแรงด้วย สู่ศูนย์กลาง \({F_c}\) ที่กระทำต่อวัตถุที่มีมวล \(m\) และทำให้เกิดความเร่งสู่ศูนย์กลาง \({a_c}\) คือ พูด:

\({F_c} = ม{a_c}\)

เมื่อแทนนิพจน์ก่อนหน้าของความเร่งสู่ศูนย์กลาง เราได้มาว่า:

\({F_c} = \frac{{m{v^2}}}{r} = ม{\โอเมก้า ^2}r\)

แรงสู่ศูนย์กลางมุ่งตรงไปยังศูนย์กลางของเส้นทางโค้งและมีหน้าที่รับผิดชอบ การเปลี่ยนแปลงทิศทางที่วัตถุเคลื่อนที่อย่างต่อเนื่องเพื่อให้มันเคลื่อนที่ โค้ง.

แรงโน้มถ่วงในฐานะแรงสู่ศูนย์กลางและกฎข้อที่สามของเคปเลอร์

กฎข้อที่สามของการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ของเคปเลอร์ระบุว่ากำลังสองของคาบการโคจรซึ่งก็คือเวลา เวลาที่ดาวเคราะห์ดวงหนึ่งโคจรรอบดวงอาทิตย์ครบหนึ่งรอบนั้นแปรผันตามกำลังสามของแกนกึ่งเอกของ วงโคจร นั่นคือ:

\({T^2} = ค{r^3}\)

โดยที่ \(T\) คือคาบการโคจร \(C\) เป็นค่าคงที่ และ \(r\) คือกึ่งแกนเอก หรือระยะห่างสูงสุดระหว่างดาวเคราะห์กับดวงอาทิตย์ตลอดวงโคจรของมัน

เพื่อความง่าย ลองพิจารณาดาวเคราะห์ที่มีมวล \(m\) เคลื่อนที่ไปตามวงโคจรเป็นวงกลม รอบดวงอาทิตย์ แม้ว่าการวิเคราะห์นี้สามารถขยายไปถึงกรณีของวงโคจรทรงรีและได้ค่าเดียวกัน ผลลัพธ์. แรงที่ทำให้ดาวเคราะห์อยู่ในวงโคจรคือแรงโน้มถ่วง ซึ่งจะเป็น:

\({F_g} = \frac{{G{M_S}m}}{{{r^2}}}\)

โดยที่ \({F_g}\) คือแรงโน้มถ่วง \({M_S}\) คือมวลของดวงอาทิตย์ \(G\) คือค่าคงที่แรงโน้มถ่วงสากล และ \(r\) คือระยะห่างระหว่างดาวเคราะห์ และดวงอาทิตย์ อย่างไรก็ตาม หากดาวเคราะห์เคลื่อนที่ไปตามวงโคจรเป็นวงกลม ก็จะเกิดแรงสู่ศูนย์กลาง \({F_c}\) ที่คงวิถีดังกล่าวและในแง่ของความเร็วเชิงมุม \(\omega \) จะเป็น มอบให้โดย:

\({F_c} = ม{\โอเมก้า ^2}r\)

สิ่งที่น่าสงสัยก็คือ ในกรณีนี้ แรงโน้มถ่วงคือแรงสู่ศูนย์กลางที่ทำให้ดาวเคราะห์อยู่ในวงโคจรของมัน หรือพูดได้ไม่กี่คำ \({F_g} = {F_c}\) ดังนั้น เราจึงสามารถพูดได้ว่า:

\(\frac{{G{M_S}m}}{{{r^2}}} = ม{\โอเมก้า ^2}r\)

ซึ่งเราสามารถลดความซับซ้อนได้ดังนี้:

\(G{M_S} = {\โอเมก้า ^2}{r^3}\)

ความเร็วเชิงมุมสัมพันธ์กับคาบการโคจรดังนี้:

\(\โอเมก้า = \frac{{2\pi }}{T}\)

แทนที่สิ่งนี้ลงในสมการก่อนหน้าที่เราได้รับ:

\(G{M_S} = \frac{{4{\pi ^2}}}{{{T^2}}}{r^3}\)

ในที่สุดเราก็ได้จัดเรียงเงื่อนไขใหม่ว่า:

\({T^2} = \frac{{4{\pi ^2}}}{{G{M_S}}}{r^3}\)

อย่างหลังคือกฎข้อที่สามของเคปเลอร์ที่เรานำเสนอก่อนหน้านี้ และถ้าเราเปรียบเทียบค่าคงที่สัดส่วนมันจะเป็น \(C = 4{\pi ^2}/G{M_S}\)

แล้วแรงเหวี่ยงล่ะ?

การเคลื่อนไหวประเภทนี้มักพูดถึง "แรงเหวี่ยง" แทนแรงสู่ศูนย์กลาง เหนือสิ่งอื่นใดเพราะมันคือสิ่งที่เรารู้สึกอย่างชัดเจนเมื่อเราประสบสิ่งนี้ อย่างไรก็ตาม แรงเหวี่ยงหนีศูนย์เป็นแรงสมมติที่เกิดจากความเฉื่อย

ลองจินตนาการว่าเรากำลังนั่งอยู่ในรถที่แล่นด้วยความเร็วระดับหนึ่งและเบรกกระทันหัน เมื่อสิ่งนี้เกิดขึ้น เราจะรู้สึกถึงพลังที่ผลักเราไปข้างหน้า แต่พลังที่ชัดเจนที่เรารู้สึกนี้คือความเฉื่อยของร่างกายเราเองที่ต้องการรักษาสภาวะการเคลื่อนไหว

ในกรณีที่มีการเคลื่อนไหวเป็นเส้นโค้ง แรงเหวี่ยงคือความเฉื่อยของร่างกายที่ต้องการคงไว้ การเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงแต่อยู่ภายใต้แรงสู่ศูนย์กลางที่ทำให้มันอยู่บนเส้นทางโค้ง

อ้างอิง

เดวิด ฮัลลิเดย์, โรเบิร์ต เรสนิค และเจียร์ล วอล์คเกอร์ (2011). พื้นฐานของฟิสิกส์ สหรัฐอเมริกา: John Wiley & Sons, Inc.